2021届高考数学第二次模拟试卷二理含解析

2021届高考第二次模拟考试卷理科数学（二）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数与在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（    ）

A． B． C． D．

3．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则判断框内可以填（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数，则“”是“为奇函数”的（    ）

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

5．已知函数的部分图象如图所示．给出下列结论：

①，，；

②，；

③点为图象的一个对称中心；

④在上单调递减．

其中所有正确结论的序号是（    ）

A．①② B．②③ C．③④ D．②④

6．在中，，，，，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

8．已知数列的前项和为，，，则（    ）

A． B． C． D．

9．如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间．小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落，当有大量的小球都滚下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球．若一个小球从正上方落下，落到号位置的概率是（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数满足和，且当时，，则（    ）

A．0 B．2 C．4 D．5

11．已知双曲线的焦点在，过点的直线与两条渐近线的交点分别为M､N两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，若恰有四个不同的零点，则a取值范围为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．的展开式中的系数是______．（用数字作答）

14．已知函数，过点作曲线的切线l，则直线l与曲线及y轴围成的图形的面积为___________．

15．若实数，满足不等式组，则的最大值为________．

16．已知圆，，是圆上两点，点且，则最大值是______．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）数列的前项和为，点在函数的图象上．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和．

18．（12分）甲、乙两组各有位病人，且位病人症状相同，为检验、两种药物的药效，甲组服用种药物，乙组服用种药物，用药后，甲组中每人康复的概率都为，乙组三人康复的概率分别为、、．

（1）设甲组中康复人数为，求的分布列和数学期望；

（2）求甲组中康复人数比乙组中康复人数多人的概率．

19．（12分）在如图所示的圆柱中，为圆的直径，，是的两个三等分点，，，都是圆柱的母线．

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

20．（12分）已知动圆与轴相切且与圆相外切，圆心在轴的上方，点的轨迹为曲线．

（1）求的方程；

（2）已知，过点作直线交曲线于两点，分别以为切点作曲线的切线相交于，当的面积与的面积之比取最大值时，求直线的方程．

21．（12分）已知函数．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，关于的不等式有解，求的最大值．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

已知某曲线的参数方程为（为参数）．

（1）若是曲线上的任意一点，求的最大值；

（2）已知过的右焦点，且倾斜角为的直线与交于两点，设线段的中点为，当时，求直线的普通方程．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数，．

（1）若关于的不等式的整数解有且仅有一个值，当时，求不等式的解集；

（2）已知，若，，使得成立，求实数的取值范围．

理 科 数 学 答 案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】B

【解析】由题可得，则，因此，故选B．

2．【答案】C

【解析】，

又复数与在复平面内对应的点关于虚轴对称，所以，故选C．

3．【答案】A

【解析】执行给定的程序框图，可得：第1次循环：；

第2次循环：；第3次循环：；

第4次循环：；第5次循环：；

第6次循环：，

要使得输出的结果为，结合选项，判断框内可以填，故选A．

4．【答案】C

【解析】若函数为奇函数，且函数的定义域为，

，

，解得，

所以，“”是“为奇函数”的充分必要条件，故选C．

5．【答案】D

【解析】由图象可知，，，

再由，得，故①不正确，②正确；

由于为图象的一个对称中心，

又的最小正周期为，故其全部的对称中心为，

当时，对称中心为，故③错误；

由于为的单调递减区间，的最小正周期为，

故的单调递减区间为，

当时，即为，故④正确，

故选D．

6．【答案】A

【解析】因为，

所以，

解得，故选A．

7．【答案】B

【解析】如图，三视图的直观图为三棱锥为，且，，

按如图所示放在长方体中，则其外接球的直径等于长方体的对角线长，且，

因为长方体的对角线长为，

则外接球半径为，且体积为，故选B．

8．【答案】A

【解析】当时，，则，且，

即，所以．

两式作差得，

即，即，

所以，即．

则，

所以，故选A．

9．【答案】C

【解析】当小球经过第层时，第一次碰到钉子，向左或向右滚下的概率均为，

所以，．

当小球经过第层时，共碰到次钉子，要使得小球经过第号通道，必须满足次向右、次向左滚下，

所以，，同理可得．

要使得小球经过号位置（即第层号通道），可由第层号通道向右滚下、也可以由第层号通道向左滚下，

因此，，故选C．

10．【答案】C

【解析】函数满足和，

可函数是以为周期的周期函数，且关于对称，

又由当时，，

所以，故选C．

11．【答案】C

【解析】由题意，可得如下示意图：

其中，，知，

又，，即且，

∴中，有，得，

∴在中，，若与x轴夹角为，即，

∴，

由，即可得，故选C．

12．【答案】B

【解析】函数，

，，，因此时，函数单调递增；

，，，可得函数在单调递增；

在单调递减，

可得：在时，函数取得极大值，．

画出图象：

可知：．

令，

①时，函数无零点；

②时，解得或，

时，解得，此时函数只有一个零点，舍去，

，由，可知：此时函数无零点，舍去；

③，解得或，

解得，．

时，，．此时函数无零点，舍去；

因此，可得．

由恰有四个不同的零点，

∴，，，解得，

则a取值范围为，故选B．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

【解析】由题设二项式知：，

∴项，即，

∴系数为，故答案为．

14．【答案】

【解析】由，过点作曲线的切线l，

设切点为，则，所以切线的方程为，

由切线过点，则，解得，

所以切线的方程为，

直线l与曲线及y轴围成的图形的面积为，

故答案为．

15．【答案】256

【解析】作出可行域，如图内部（含边界），，

令，作直线，在直线中为直线的纵截距，直线向上平移时增大，

所以平行直线，当直线过点时，，

所以，故答案为256．

16．【答案】

【解析】如图所示，设是线段的中点，则，

因为，于是，

在中，，，，

由勾股定理得，

整理得，

故的轨迹是以为圆心，半径为的圆，

故，

又由圆的弦长公式可得

，

故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意知：点()均在二次函数的图象上，

故，

，

当时，，

当时，，也适合上式．

所以．

（2），

．

18．【答案】（1）分布列见解析，期望为；（2）．

【解析】（1）由题意可知，，

所以，，，

，，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

因此，．

（2）设乙组中康复人数为，记事件甲组中康复人数比乙组中康复人数多人，

，，

则．

19．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）连接，，

因为，是半圆的两个三等分点，所以，

又，

所以，，均为等边三角形，

所以，所以四边形是平行四边形，所以，

又因为，平面，平面，

所以平面．

因为，都是圆柱的母线，所以，

又因为平面，平面，所以平面．

又平面，，

所以平面平面，

又平面，所以平面．

（2）连接，

因为是圆柱的母线，所以圆柱的底面，

因为为圆的直径，所以，

所以直线，，两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系如图：

因为，所以，，，，

，，

由题知平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，则，

令，，，∴．

所以．

由图可知，二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．

20．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意知，到点的距离等于它到直线的距离，

由抛物线的定义知，圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线(除去坐标原点)，

则的方程为．

（2）由题意知，在曲线上，直线的斜率存在，

设方程为，

因为直线不经过点，所以．

由，可得，

设，，则，，

以为切点的切线方程为，即，

同理以为切点的切线为，

由，故两式做差整理得，

所以，

两式求和整理得，

故，

所以交点，

设到的距离为，到的距离为，

则，

设，则，当，即时，取最大值，

直线的方程为．

21．【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）．

【解析】（1）函数的定义域为，

．

，．

当时，；当时，，

函数在上单调递增，在上单调递减．

（2）设，

则．

当时，有两个根，不妨令，

又，，，

由题意舍去．

当时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

存在使成立，

，即．

又，，

，，，

．

令，则．

函数在上单调递增，

，即得最大值为．

22．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）依题意得，，

，

当，即时，，，

的最大值为．

（2），，

由于，整理得．

由直线的倾斜角为，依题意易知：，

可设直线的参数方程为（为参数），

代，得到，

易知，

设点和点对应的参数为和，

所以，，

则，

由参数的几何意义：，

，，

，所以，

所以直线的斜率为，

直线的普通方程为．

23．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）不等式，即，所以，

由，解得．

因为，所以，

当时，，

不等式等价于或或，

即或或，

故，

故不等式的解集为．

（2）因为，

由，

可得，

又由，，使得成立，

则，解得或．

故实数的取值范围为．