2021年高考数学《考前30天大题冲刺》练习一(含答案详解)

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在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，2csC(acsC+ccsA)+b=0，
（1）求角C的大小；
（2）若，求△ABC的面积.
在某公司的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如图所示．食堂某天购进了90个面包，以（个）（其中）表示面包的需求量，T（元）表示利润．
（1）根据直方图计算需求量的中位数；
（2）估计利润T不少于100元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求T的数学期望．
如图,已知四棱锥SABCD,底面梯形ABCD中,BC∥AD,平面SAB⊥平面ABCD,△SAB是等边三角形,已知AC=2AB=4,BC=2AD=2DC=2.
(1)求证:平面SAB⊥平面SAC;
(2)求二面角BSCA的余弦值.
已知椭圆C：（）的离心率是，原点到直线的距离等于.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）已知点Q(0,3)，若椭圆C上总存在两个点A,B关于直线y=x+m对称，且，求实数m的取值范围．
已知函数．
（1）当k=3时，证明：f(x)有两个零点；
（2）已知正数α，β(α≠β)满足，若，
使得，试比较α+β与的大小．
\s 0 参考答案
解：(1)，由正弦定理可得
又
（2）由余弦定理可得，
又
的面积为

解：（1）需求量的中位数（个）（其它解法也给分）．
（2）由题意，当时，利润，
当时，利润，
即．
设利润不少于100元为事件，利润不少于100元时，即，
∴，即，由直方图可知，当时，
所求概率：．
（3）由题意，由于，，，
故利润的取值可为：80，120，160，180，
且，，，，
故得分布列为：
利润的数学期望：
．
(1)证明:在△BCA中,由于AB=2,CA=4,BC=2,
所以AB2+AC2=BC2,故AB⊥AC.
又平面SAB⊥平面ABCD,平面SAB∩平面ABCD=AB,AC⊂平面ABCD,
所以AC⊥平面SAB,
又AC⊂平面SAC,故平面SAC⊥平面SAB.
(2)解:如图,建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),
S(1,0,),C(0,4,0),=(1,-4,),=(-2,4,0),=(0,4,0).
设平面SBC的法向量n=(x1,y1,z1),
⇒
令y1=1,则x1=2,z1=,所以n=(2,1,).
设平面SCA的法向量m=(x2,y2,z2),⇒
令x2=-,所以m=(-,0,1).所以|cs|==,
易知二面角BSCA的平面角为锐角,
所以二面角BSCA的余弦值为.
解:（1）因为椭圆的离心率是，原点到直线的距离等于，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）根据题意可设直线的方程为，联立，整理得，
由，得．设，
则
又设的中点为，则.
由于点在直线上，所以，得代入，得，
所以，
因为，
所以
.
由，得，即，
所以，即，
所以，解得. 实数m的取值范围为.
解：（1）据题知，求导得：，
令，有；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
∴，
令，有；令，有，
故在和各有1个零点．∴有两个零点．
（2）由，而，
∴，
令，，则，
由，可得或；
①当时，（I）当时，，
则函数在上单调递增，故，
∴，
又∵在上是增函数，∴，即．
（II）当时，，
则函数在上单调递增，故，
∴，
又∵在上是增函数，∴，即．
②当时，同①理可证；
综上所述，．