2021年高考数学《考前30天大题冲刺》练习2(含答案详解)

这是一份2021年高考数学《考前30天大题冲刺》练习2(含答案详解)，共6页。试卷主要包含了6，对服务的好评率为0等内容，欢迎下载使用。

已知{an}是等差数列,{bn}是各项均为正数的等比数列,且b1=a1=1,b3=a4, b1+b2+b3=a3+a4.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式.
(2)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2016年“618”期间，某购物平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
(1)请完成关于商品和服务评价的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量X.
①求对商品和服务全为好评的次数X的分布列；
②求X的数学期望和方差．
附：临界值表
K2的观测值k=eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(其中n=a＋b＋c＋d)．
关于商品和服务评价的2×2列联表：
在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中点．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角的余弦值．
已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,2)，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋eq \r(6)=0相切，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求eq \(OA,\s\up11(→))·eq \(OB,\s\up11(→))的取值范围；
(3)若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点.
已知函数f(x)=lnx-(a+2)x2-ax,(a∈R)．
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若对任意x∈(0，+∞)，函数f(x)的图像不在x轴上方，求a的取值范围．
\s 0 参考答案
解：(1)设数列{an}的公差为d,{bn}的公比为q,
依题意得解得d=1,q=2,
所以an=1+(n-1)=n,bn=1×2n-1=2n-1.
(2)由(1)知cn=anbn=n·2n-1,则
Tn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1 ①
2Tn=1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1+n·2n ②
①-②得:-Tn=1·20+1·21+1·22+…+1·2n-1-n·2n
=-n·2n=(1-n)·2n-1.
所以Tn=(n-1)·2n+1.
解：(1)由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：
k=eq \f(200×80×10－40×702,150×50×120×80)≈11.111＞10.828，
故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关．
(2)①每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为eq \f(2,5)，且X取值可以是0,1,2,3.
其中P(X=0)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up10(3)=eq \f(27,125)；P(X=1)=Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up10(2)=eq \f(54,125)；P(X=2)=Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up10(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))=eq \f(36,125)；
P(X=3)=Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up10(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up10(0)=eq \f(8,125).
所以X的分布列为
②由于X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,5)))，则E(X)=3×eq \f(2,5)=eq \f(6,5)，D(X)=3×eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))=eq \f(18,25).
（1）证明：取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故可建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，则
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，则
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
易知向量 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
解：(1)由题意知eq \f(c,a)=eq \f(1,2)，eq \f(\r(6),\r(2))=b，即b=eq \r(3).
又a2=b2＋c2，所以a=2，c=1.故椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1.
(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x－4)，A(x1，y1)，B(x2，y2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－4，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y可得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12=0.
则Δ=322k4－4(3＋4k2)(64k2－12)＞0，解得0≤k2＜eq \f(1,4).
易知x1＋x2=eq \f(32k2,3＋4k2)，x1x2=eq \f(64k2－12,3＋4k2)，
所以eq \(OA,\s\up11(→))·eq \(OB,\s\up11(→))=x1x2＋y1y2=x1x2＋k2(x1－4)(x2－4)
=(1＋k2)x1x2－4k2(x1＋x2)＋16k2
=(1＋k2)·eq \f(64k2－12,3＋4k2)－4k2·eq \f(32k2,3＋4k2)＋16k2=25－eq \f(87,4k2＋3).
因为0≤k2＜eq \f(1,4)，
所以－eq \f(87,3)≤－eq \f(87,4k2＋3)＜－eq \f(87,4)，所以－4≤25－eq \f(87,4k2＋3)＜eq \f(13,4)，
所以eq \(OA,\s\up11(→))·eq \(OB,\s\up11(→))的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，\f(13,4))).
(3)因为点B，E关于x轴对称，所以E(x2，－y2)，
所以直线AE的方程为y－y1=eq \f(y1＋y2,x1－x2)(x－x1).
令y=0，可得x=x1－eq \f(y1x1－x2,y1＋y2).
因为y1=k(x1－4)，y2=k(x2－4)，
所以x=x1－eq \f(y1x1－x2,y1＋y2)=eq \f(2x1x2－4x1＋x2,x1＋x2－8)=eq \f(2×\f(64k2－12,3＋4k2)－4×\f(32k2,3＋4k2),\f(32k2,3＋4k2)－8)=1.
所以直线AE与x轴交于定点(1,0).
解：（1）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
则由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）对任意 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的图像不在 SKIPIF 1 < 0 轴上方，等价于对任意 SKIPIF 1 < 0 ，
都有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ．
由（1）知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，
又 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值也是最大值，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是减函数．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以要使得 SKIPIF 1 < 0 ，须 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．