2021年高考数学《考前30天大题冲刺》练习5(含答案详解)

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已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足a=3bcs C.
(1)求eq \f(tan C,tan B)的值；
(2)若a=3，tan A=3，求△ABC的面积．
为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.
(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；
(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列及数学期望.
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=eq \f(2π,3)，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，
AD=CD=BC=CF.
(1)求证：EF⊥平面BCF；
(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.
如图，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，过抛线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 作两条直线与 SKIPIF 1 < 0 相切于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，分别交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，圆心点 SKIPIF 1 < 0 到抛物线准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 的角平分线垂直 SKIPIF 1 < 0 轴时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率；
（3）若直线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
已知函数f(x)=ex-ax2+1,g(x)=(e-2)x+2,且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2.
(1)求a,b的值;
(2)证明:当x>0时,g(x)≤f(x).

\s 0 参考答案
解：(1)由正弦定理eq \f(a,sin A)=eq \f(b,sin B)=eq \f(c,sin C)=2R及a=3bcs C可得2Rsin A=3×2Rsin Bcs C，
即sin A=3sin Bcs C.
∵A＋B＋C=π，∴sin A=sin(B＋C)=3sin Bcs C，
∴sin Bcs C＋cs Bsin C=3sin Bcs C，
∴cs Bsin C=2sin Bcs C，∴eq \f(cs Bsin C,sin Bcs C)=2，故eq \f(tan C,tan B)=2.
(2)法一：(直接法)由A＋B＋C=π，得tan(B＋C)=tan(π－A)=－3，
即eq \f(tan B＋tan C,1－tan B·tan C)=－3，将tan C=2tan B代入得
eq \f(3tan B,1－2tan2B)=－3，解得tan B=1或tan B=－eq \f(1,2).
根据tan C=2tan B，得tan C，tan B同号，
又tan C，tan B同时为负数不合题意，
∴tan B=1，tan C=2，
∴sin B=eq \f(\r(2),2)，sin C=eq \f(2\r(5),5)，sin A=eq \f(3\r(10),10)，
由正弦定理可得eq \f(3,\f(3\r(10),10))=eq \f(b,\f(\r(2),2))，∴b=eq \r(5)，
∴S△ABC=eq \f(1,2)absin C=eq \f(1,2)×3×eq \r(5)×eq \f(2\r(5),5)=3.
法二：(整体代入法)由A＋B＋C=π，得tan(B＋C)=tan(π－A)=－3，
即eq \f(tan B＋tan C,1－tan B·tan C)=－3，将tan C=2tan B代入得eq \f(3tan B,1－2tan2B)=－3，
解得tan B=1或tan B=－eq \f(1,2).
根据tan C=2tan B得tan C，tan B同号，又tan C，tan B同时为负数不合题意，
∴tan B=1，tan C=2.
又∵a=3bcs C=3，∴bcs C=1，∴abcs C=3，
∴abcs Ctan C=6，
∴S△ABC=eq \f(1,2)absin C=eq \f(1,2)×6=3.
解：(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，
送考2次的有100人，送考3次的有80人，
∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为eq \f(20×1＋100×2＋80×3,200)=2.3.
(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，
另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，
“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，
“这两人送考次数相同”为事件D，
由题意知X的所有可能取值为0,1,2，
P(X=1)=P(A)＋P(B)=eq \f(C\\al(1,20)C\\al(1,100),C\\al(2,200))＋eq \f(C\\al(1,100)C\\al(1,80),C\\al(2,200))=eq \f(100,199)，
P(X=2)=P(C)=eq \f(C\\al(1,20)C\\al(1,80),C\\al(2,200))=eq \f(16,199)，P(X=0)=P(D)=eq \f(C\\al(2,20)＋C\\al(2,100)＋C\\al(2,80),C\\al(2,200))=eq \f(83,199)，
∴X的分布列为
E(X)=0×eq \f(83,199)＋1×eq \f(100,199)＋2×eq \f(16,199)=eq \f(132,199).
解：(1)证明：在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，
∵AB∥CD，∠BCD=eq \f(2π,3)，
∴AB=2，∴AC2=AB2＋BC2－2AB·BC·cs eq \f(π,3)=3.
∴AB2=AC2＋BC2，∴BC⊥AC.
∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥CF，而CF∩BC=C，
∴AC⊥平面BCF.
∵四边形ACFE是矩形，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BCF.
(2)由(1)知，以CA，CB，CF所成直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ(0≤λ≤eq \r(3))，
则C(0,0,0)，A(eq \r(3)，0,0)，B(0,1,0)，M(λ，0,1)，
∴eq \(AB,\s\up11(→))=(－eq \r(3)，1,0)，eq \(BM,\s\up11(→))=(λ，－1,1)，
设平面MAB的法向量为n1=(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(AB,\s\up11(→))＝0,n1·\(BM,\s\up11(→))＝0))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\r(3)x＋y＝0,λx－y＋z＝0))，
令x=1，则n1=(1，eq \r(3)，eq \r(3)－λ)，为平面MAB的一个法向量.
易知n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量，
设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ，
则cs θ=eq \f(|n1·n2|,|n1|·|n2|)=eq \f(1,\r(1＋3＋\r(3)－λ2)×1)=eq \f(1,\r(λ－\r(3)2＋4)).
∵0≤λ≤eq \r(3)，∴当λ=0时，cs θ有最小值eq \f(\r(7),7)，
∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，
此时二面角的余弦值为eq \f(\r(7),7).
解：（1）∵点 SKIPIF 1 < 0 到抛物线准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）∵当 SKIPIF 1 < 0 的角平分线垂直 SKIPIF 1 < 0 轴时，点 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ．
（3）设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，……①
SKIPIF 1 < 0 方程： SKIPIF 1 < 0 ．……②
①-②得：直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的函数在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
(1)解:由题设得f′(x)=ex-2ax,
所以解得a=1,b=e-2.
(2)证明:由(1)知,f(x)=ex-x2+1,
令函数h(x)=f(x)-g(x)=ex-x2-(e-2)x-1,所以h′(x)=ex-2x-(e-2),
令函数(x)=h′(x),则′(x)=ex-2,
当x∈(0,ln 2)时,′(x)<0,h′(x)单调递减;
当x∈(ln 2,+∞)时,′(x)>0,h′(x)单调递增,
又h′(0)=3-e>0,h′(1)=0,0所以,存在x0∈(0,1),使得h′(x)=0,
当x∈(0,x0)∪(1,+∞)时,h′(x)>0;当x∈(x0,1),h′(x)<0,
故h(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
又h(0)=h(1)=0,所以h(x)=ex-x2-(e-2)x-1≥0,当且仅当x=1时取 等号.
故当x>0时,g(x)≤f(x).
X
0
1
2
P
eq \f(83,199)
eq \f(100,199)
eq \f(16,199)