2021年高考数学《考前30天大题冲刺》练习二(含答案详解)

这是一份2021年高考数学《考前30天大题冲刺》练习二(含答案详解)，共6页。试卷主要包含了2，0，5 2021年高考数学《考前30天大题冲刺》练习二1.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，.（1）若△ABC是以角C为顶角的等腰三角形，求sinA的值；（2）若bcosA+acosB=2，a+b=6，求△ABC的面积.        2.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（1）求X的分布列；（2）若要求，确定n的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？       3.如图所示，四棱锥P­ABCD的底面ABCD为矩形，AB=2，BC=2，点P在底面上的射影在AC上，E是AB的中点．(1)证明：DE⊥平面PAC；(2)若PA=PC，且PA与平面PBD所成的角的正弦值为，求二面角D­PA­B的余弦值．         4.已知椭圆C:+=1(a>0)的焦点在x轴上,且椭圆C的焦距为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点R(4,0)的直线l与椭圆C交于两点P,Q,过P作PN⊥x轴且与椭圆C交于另一点N,F为椭圆C的右焦点,求证:三点N,F,Q在同一条直线上.        5.已知函数f(x)=2ln x＋ax－(a∈R)的图象在x=2处的切线经过点(－4,2ln 2)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式＞mx－1恒成立，求实数m的取值范围．        
0.参考答案1.解：（1）由题意得,.因为是以角C为顶角的等腰三角形,所以,,所以,所以.因为是以角C为顶角的等腰三角形,所以,则.因为,所以,得.（2）因为,所以由余弦定理可得,即,整理得,则.因为,所以.因为,,所以.则的面积.2.解：（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而；；；；；；；所以X的分布列为：（2）由（1）知，，故n的最小值为19．（3）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）．当时，（元）．当时，（元）．可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选． 3.解：(1)证明：在矩形ABCD中，AB∶BC=∶1，且E是AB的中点，∴tan∠ADE=tan∠CAB=，∴∠ADE=∠CAB.∵∠CAB＋∠DAC=90°，∴∠ADE＋∠DAC=90°，即AC⊥DE.由点P在底面ABCD上的射影在AC上，可知平面PAC⊥平面ABCD，且交线为AC，∴DE⊥平面PAC.(2)记AC与BD的交点为O，∵PA=PC，且O是AC的中点，∴PO⊥AC.∵平面PAC⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD.取BC的中点F，连接OE，OF，∵底面ABCD为矩形，∴OE⊥OF.以O为坐标原点，分别以OE，OF，OP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，－，0)，B(1，，0)，D(－1，－，0)．设P(0,0，a)，则=(－1，，a)．设平面PBD的法向量为c=(x1，y1，z1)，又=(2,2，0)，=(0,0，a)，则有⇒令x1=，得y1=－1，∴平面PBD的一个法向量为c=(，－1,0)．由=，得a=1.设平面PAD的法向量为m=(x2，y2，z2)，又=(－2,0,0)，=(－1，，1)，则有⇒令y2=1，得z2=－，∴m=(0,1，－)．设平面PAB的法向量为n=(x3，y3，z3)，又=(0,2，0)，=(－1，，1)，则有⇒令x3=1，得z3=1，∴n=(1,0,1)．∴cos〈m，n〉===－，∴二面角D­PA­B的余弦值为－. 4. (1)解:因为椭圆C:+=1(a>0)的焦点在x轴上,所以a2>7-a2>0,即3.5<a2<7,因为椭圆C的焦距为2,且a2-b2=c2,所以a2-(7-a2)=1,解得a2=4,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)证明:由题知直线l的斜率存在,设l的方程为y=k(x-4),点P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x1,-y1),则得3x2+4k2(x-4)2=12,即(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0,Δ>0,x1+x2=,x1x2=,由题可得直线QN的方程为y+y1=(x-x1),又因为y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),所以直线QN的方程为y+k(x1-4)=(x-x1),令y=0,整理得x=+x1====1,即直线QN过点(1,0),又因为椭圆C的右焦点坐标为F(1,0),所以三点N,F,Q在同一条直线上.5.解：(1)由题意得f′(x)=＋a＋，x＞0，∴f′(2)=1＋a＋f′(2)，∴a=－1，∴f(x)的图象在x=2处的切线方程为y－f(2)=f′(2)(x－2)，即y=f′(2)x＋2ln 2－2－4f′(2)，∵点(－4,2ln 2)在该切线上，∴f′(2)=－，∴f′(x)=－1－=－≤0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．(2)由题意知x＞0，且x≠1，原不等式＞mx－1等价于(2lnx－x＋)＞m.设g(x)==f(x)，由(1)得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)=0，∴当0＜x＜1时，f(x)＞0，g(x)＞0；当x＞1时，f(x)＜0，g(x)＞0，∴在(0，＋∞)上，g(x)＞0恒成立．假设存在正数b，使得g(x)＞b＞0，若0＜b≤1，当x＞时，g(x)=＋＜＜b；若b＞1，当＜x＜1时，g(x)=＋＜＜b.∴不存在这样的正数b，使得g(x)＞b＞0，∴g(x)的值域为(0，＋∞)，∴m的取值范围为(－∞，0]．