2023年河南省济源市中考一模数学试题

这是一份2023年河南省济源市中考一模数学试题，共37页。

2022-2023学年中原名校中考联盟测评(二)
数学
注意事项．
1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．
一、选择题(每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的
1. －3的相反数是（ ）
A. 3 B. C. －3 D.
2. 2023年3月5日，在第十四届全国人民代表大会第一次会议上，国务院总理在政府工作报告中指出；过去一年，我国经济发展遇到疫情等国内外多重超预期因素冲击，全年国内生产总值增长，城镇新增就业万人，万用科学记数法表示（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，直线，平分，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
5. 如图，的边在轴的负半轴上，点与原点重合，，交的延长线于点，已知，，，则点的坐标为( )

A. B. C. D.
6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
7. 如图，在四边形中，，对角线相交于点E，若，，则四边形的面积为（ ）

A. B. C. D.
8. 我国古代数学著作《算法续宗》中记载了这样一个问题，绳测井深，假若井不知深，先将绳三折入井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干？题意，用绳子测量井深，如果将绳子三折测井，井口外留绳子四尺；如果将绳子四折测井，那么井口外余下一尺．问井深几尺？绳长几尺？设绳长为h尺，井深为x尺，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知点，，，在二次函数的图象上，若，，，四个数中有且只有一个数大于0，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. 或 D.
10. 如图，正六边形，，点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，当运动到第秒时，的面积为（ ）

A. B. C. D. 1
二、填空题(每小题3分，共15分)
11. 写出一个图象开口向上，且经过点的二次函数的解析式：_______．
12. 不等式组的解集为，则a的取值范围是______________．
13. 河南某地中招体育考试项目采取统一考试的方式进行，项目为“两个必考项目+两个抽签考试项目”，抽答项目分为技能类(包含足球和篮球)和素质举(包括立定跳远和一分钟绳)，抽签项目“摇号产生”(从技能类和素质类中各随机抽取一个)，抽中“足球和立定跳远”的概率为___________．
14. 如图，扇形的圆心角，，将扇形沿射线平移得到扇形，与相交于点C，若点C为上靠近点A的三等分点，则阴影部分的面积为______________．

15. 如图，在矩形中，．有一动点P以的速度沿着的方向移动，连接，沿翻折，得到，则经过____________秒点落在边所在直线上．

三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)
16. (1)计算：；
(2)化简：．
17. 中华人民共和国第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日在北京召开，为了使七、八年级的同学们了解两会，争做新时代好少年，学校组织两会知识竞赛，满分100分，七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行统计，过程如下：收集数据；
七年级：99，95，95，91，100，86，77，93，85，79
八年级：99，91，97，63，96，97，100，94，87，76
整理数据：


7


七年级
0
a
2
6
八年级
1
1
1
7
分析数据：

平均数
众数
中位数
七年级
90
95
b
八年级
90
c
95
应用数据：
（1）由上表填空：_________，_________，_________；
（2）你认为哪个年级的学生对两会了解水平较高？请说明理由；
（3）请写出一条你了解的两会知识．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，射线在第一象限，且．

（1）过点B作轴于点B，交于点P；(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图)
（2）求图象经过点P的反比例函数的表达式；
（3）在（2）中的反比例函数图象上有一点Q，当其横坐标为4时，判断的形状，并说明理由．
19. 2023年3月5日是“向雷锋同志学习”60周年纪念日，某数学小组测量校内雷锋雕像（图1）的高度，如图2，小明站在教学楼前，眼睛在距离地面的点E处，测得需锋雕像的最高点A的仰角为，小红站在教学楼三楼每层楼高为，眼睛在距离三楼地面的C点，测得雷锋雕像的最高点A的俯角为．已知测量点C，E与教学楼的底部D在同一竖直线上，求雷锋雕像的高度（结果精确到．参考数据：，，）

20. 某经销商在生产厂家订购了两种畅销粽子，两种粽子的进货价和销售价如下表：
类别价格
A种
B种
进货价(元/盒)
25
30
销售价(元/盒)
32
40

（1）若经销商用1500元购进A，B两种粽子，其中A种的数量是B种数量的2倍少4盒，求A，B两种粽子各购进了多少盒；
（2）若经销商计划购进A种“粽子”的数量不少于B种“粽子”数量的2倍，且计划购进两种“粽子”共60盒，经销商该如何设计进货方案，才能使销售完后获得最大利润？最大利润为多少？
21. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动地球．”(如图1)这句话形容杠杆的作用之大：只要有合适的工具和一个合适的支点，利用杠杆原理就可以把地球(或像地球一样重的物体)轻松撬动．
小亮看到广场上有一块球形的大石头，他想知道这块球形石头的半径为多少，他找来一块棱长为的正方体木块和长度为的木棒，模仿阿基米德撬动地球的方法，如图2，石头和地面相切于点M，木棒和石头相切于点N，正方体横截面上的点E，F和木棒在同一平面内，点M、A，E，F在一条直线上．

（1）求证：；
（2）若木棒与水平面夹角，切点N恰好为的中点，则石头的半径为多少？(结果保留根号)
22. 如图，点在抛物线C：上．

（1）直接写出抛物线C的解析式____________，顶点Q的坐标：__________．
（2）点 在抛物线C：上，且在抛物线C对称轴的右侧，求a的值；
（3）在坐标平面内放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，平移该胶片，使所在抛物线对应的解析式恰为，求点移动的最短路程．
23. 已知和都是等腰三角形，，．

（1）当时：
①如图1，当点D在边上时，请直接写出和的数量关系：___________；
②如图2，当点D不在边上时，判断线段和的数量关系，并说明理由．
（2）如图3，当时，请直接写出和的数量关系：____________________；
（3）在(1)条件下，将绕点B逆时针旋转，当时，请直接写出的长度．
2022-2023学年中原名校中考联盟测评(二)
数学
注意事项．
1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．
一、选择题(每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的
1. －3的相反数是（ ）
A. 3 B. C. －3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【详解】的相反数是3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相反数的判断，掌握定义是解题的关键．即只有符号不同的两个数，称其中一个是另一个的相反数．
2. 2023年3月5日，在第十四届全国人民代表大会第一次会议上，国务院总理在政府工作报告中指出；过去一年，我国经济发展遇到疫情等国内外多重超预期因素冲击，全年国内生产总值增长，城镇新增就业万人，万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：万．
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的加法计算法则即可判断A；根据完全平方公式即可判断B；根据积的乘方计算法则即可判断C；根据负整数指数幂的计算法则即可判断D．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加法，积的乘方，完全平方公式，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
4. 如图，直线，平分，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线的定义得出，进而根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，若，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5. 如图，的边在轴的负半轴上，点与原点重合，，交的延长线于点，已知，，，则点的坐标为( )

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作轴于点，根据平行四边形的性质得出，根据含30度角的直角三角形的性质，求得，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质的，勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图所示，

过点作轴于点，
∵的边在轴的负半轴上，，，
∴，
∵，，
∴,，
∴,
∴，
∴，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，数形结合是解题的关键．
6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
7. 如图，在四边形中，，对角线相交于点E，若，，则四边形的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由四边形中， ，可得，再利用，，然后可求出，根据可得，从而可得答案．
【详解】解：∵四边形中， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是与三角形的高相关的面积问题，平行线的性质，熟练的掌握同高的两个三角形的面积之间的关系是解本题的关键．
8. 我国古代数学著作《算法续宗》中记载了这样一个问题，绳测井深，假若井不知深，先将绳三折入井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干？题意，用绳子测量井深，如果将绳子三折测井，井口外留绳子四尺；如果将绳子四折测井，那么井口外余下一尺．问井深几尺？绳长几尺？设绳长为h尺，井深为x尺，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设绳长为h尺，并深为x尺，根据将绳子三折测井，井口外留绳子四尺，可得方程；根据将绳子四折测井，那么井口外余下一尺，可得方程，由此即可得到但．
【详解】解：设绳长为h尺，井深为x尺，
由题意得， ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
9. 已知点，，，在二次函数的图象上，若，，，四个数中有且只有一个数大于0，则a的取值范围为（ ）
A B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，同理：，，，根据，，，四个数中有且只有一个数大于0，列不等式组，或者，问题随之得解．
【详解】根据题意有：，
同理：，，，
∵，，，四个数中有且只有一个数大于0，
∴，或者，
解得：，或者，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及不等式的知识，正确求出，，，值，根据题意列出不等式组，是解答本题的关键．
10. 如图，正六边形，，点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，当运动到第秒时，的面积为（ ）

A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】先证明∴是等边三角形，得到，由于点P的运动速度为每秒1个单位长度，则每运动12秒，点P就回到起始位置，进而得到当运动到第秒时，点P运动到的中点H处，过点E作于F，则，求出则，，即．
【详解】解：连接，如图所示，
∵，
∴O为正六边形的中心，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵点P的运动速度为每秒1个单位长度，
∴每运动12秒，点P就回到起始位置，
∵，
∴当运动到第秒时，点P运动到的中点H处，
过点E作于F，则，
∴，
∴，
∴，
∴，即
故选B．

【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，点的坐标规律探索，勾股定理等等，正确确定运动到第2023秒时点P的位置是解题的关键．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11. 写出一个图象开口向上，且经过点的二次函数的解析式：_______．
【答案】等
【解析】
【分析】设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)，根据开口向上，a＞0，可取a=1，将(0，1)代入得出c=1，即可得出二次函数表达式．
【详解】设二次函数的表达式为(a≠0)，
∵图象为开口向上，且经过(0，1)，
∴a＞0，c=1，
∴二次函数表达式可以为：(答案不唯一)．
故答案为：(答案不唯一)．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，得出a的符号和c=1是解题关键．
12. 不等式组的解集为，则a的取值范围是______________．
【答案】##
【解析】
【分析】先求出不等式①的解集，再根据不等式组的解集为求出a的取值范围即可．
【详解】解：
解不等式①得，
∵不等式组的解集为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确求出不等式①的解集是解题的关键．
13. 河南某地中招体育考试项目采取统一考试的方式进行，项目为“两个必考项目+两个抽签考试项目”，抽答项目分为技能类(包含足球和篮球)和素质举(包括立定跳远和一分钟绳)，抽签项目“摇号产生”(从技能类和素质类中各随机抽取一个)，抽中“足球和立定跳远”的概率为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】采用列表法列举即可求解．
【详解】用“A”、“B”分别表示足球和篮球项目，用“甲”、“乙”分别表示立定跳远和一分钟绳，列表如下：
技能类 素质类
甲
乙
A
A甲
A乙
B
B甲
B乙
则总的情况有4种，结果为“足球和立定跳远”的情况只有1种，
故抽中“足球和立定跳远”的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了采用列表法和树状图法列举求解概率的知识，正确画出列表或者树状图是解答本题的关键．
14. 如图，扇形的圆心角，，将扇形沿射线平移得到扇形，与相交于点C，若点C为上靠近点A的三等分点，则阴影部分的面积为______________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，过C点作于N点，过作于M点，利用点C为上靠近点A的三等分点，可得，即，根据平移可知：，即可得，易证明是等腰直角三角形，即，则有， ，根据，可得，在中，，即可得，解得：，问题随之得解．
【详解】连接，过C点作于N点，过作于M点，如图，


∵点C为上靠近点A的三等分点，
∴，
∴，即，
根据平移可知：，
∴，
∵，，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，即，
∵，，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求解扇形的面积，解直角三角形以及勾股定理等知识，构筑合理的辅助线求出，是解答本题的关键．
15. 如图，在矩形中，．有一动点P以的速度沿着的方向移动，连接，沿翻折，得到，则经过____________秒点落在边所在直线上．

【答案】或7
【解析】
【分析】分如图1所示，当点P在上时，如图2所示，当点P在上时，两种情况求出的长，再根据折叠的性质和勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：如图1所示，当点P在上时，
由折叠的性质可得，，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∵点P的运动速度为，
∴此时的运动时间为秒；

如图2所示，当点P在上时，
由折叠的性质可得，，
同理可求得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵点P的运动速度为，
∴此时的运动时间为7秒；
综上所述，当点P运动秒或7秒时点落在边所在直线上，
故答案为：或7．


【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，正确根据题意画出对应的示意图是解题的关键．
三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)
16. (1)计算：；
(2)化简：．
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂的计算法则以及二次根式的性质计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则进行计算化简即可．
【详解】（1）


；
（2）


．
【点睛】本题考查了分式的混合运算法则，负整数指数幂、零指数幂的计算法则以及二次根式的性质等知识，掌握负整数指数幂、零指数幂的计算法则，分式的混合运算法则是解答本题的关键．
17. 中华人民共和国第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日在北京召开，为了使七、八年级的同学们了解两会，争做新时代好少年，学校组织两会知识竞赛，满分100分，七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行统计，过程如下：收集数据；
七年级：99，95，95，91，100，86，77，93，85，79
八年级：99，91，97，63，96，97，100，94，87，76
整理数据：


7


七年级
0
a
2
6
八年级
1
1
1
7
分析数据：

平均数
众数
中位数
七年级
90
95
b
八年级
90
c
95
应用数据：
（1）由上表填空：_________，_________，_________；
（2）你认为哪个年级的学生对两会了解水平较高？请说明理由；
（3）请写出一条你了解的两会知识．
【答案】（1）2，92，97
（2）八年级的学生对两会了解水平较高，理由见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据所给的数据结合众数和中位数的定义求解即可；
（2）从平均数，中位数，众数出发阐述理由即可；
（3）根据两会的内容言之有理即可．
【小问1详解】
解：由题意得，；
将七年级的成绩从低到高排列为：77，79，85，86，91，93，95，95，99，100，处在最中间的两个数据分别为91，93，
∴七年级的中位数；
∵八年级成绩中，成绩为97出现了两次，出现的次数最多，
∴八年级的众数，
故答案为：2，92，97；
【小问2详解】
解：八年级的学生对两会了解水平较高，理由如下：
从平均数看，两个年级的平均成绩相同，从中位数和众数来看，八年级的中位数和众数都高于七年级的中位数和众数，
∴八年级学生对两会了解水平较高；
【小问3详解】
解：这次两会的传达了在新时代的背景下，我们要在强国建设，民族复兴的征程上勇毅前行，作为新时代下的学生，更应肩负起中华民族伟大的复兴任务．
【点睛】本题主要考查了频数分布表，中位数和众数，熟知相关知识是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，射线在第一象限，且．

（1）过点B作轴于点B，交于点P；(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图)
（2）求图象经过点P的反比例函数的表达式；
（3）在（2）中的反比例函数图象上有一点Q，当其横坐标为4时，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）是等腰三角形，理由见详解
【解析】
【分析】（1）以B为圆心，为半径画弧，交于点P，问题得解；
（2）根据（1）可求出点P的坐标为，问题得解；
（3）根据反比例函数的图象上有一点Q，当其横坐标为4，可得点Q的坐标为，结合点B的坐标为，点P的坐标为，利用勾股定理可得，问题得解．
【小问1详解】
以B为圆心，为半径画弧，交于点P，如图，

即：轴；
证明：根据作图可知，即，
则，进而有轴．
【小问2详解】
∵点B的坐标为，
∴，
根据（1）可知，
∴，
∵轴，
∴点P的坐标为，
∴，
∴图象经过点P的反比例函数的表达式为：，
【小问3详解】
是等腰三角形，理由如下：
∵反比例函数图象上有一点Q，当其横坐标为4，
∴点Q的坐标为，
∵点B的坐标为，点P的坐标为，
∴，，，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质以及勾股定理等知识，掌握等腰三角形的判定与性质，是解答本题的关键．
19. 2023年3月5日是“向雷锋同志学习”60周年纪念日，某数学小组测量校内雷锋雕像（图1）的高度，如图2，小明站在教学楼前，眼睛在距离地面的点E处，测得需锋雕像的最高点A的仰角为，小红站在教学楼三楼每层楼高为，眼睛在距离三楼地面的C点，测得雷锋雕像的最高点A的俯角为．已知测量点C，E与教学楼的底部D在同一竖直线上，求雷锋雕像的高度（结果精确到．参考数据：，，）

【答案】雷锋雕像的高度约为
【解析】
【分析】如图所示，过点作于G，过点E作于H，则四边形都是矩形，先推出，设，则，，先解，得到，再解，得到，从而建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点作于G，过点E作于H，则四边形都是矩形，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
解得，经检验，是原方程的解，
∴，
∴雷锋雕像的高度约为．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20. 某经销商在生产厂家订购了两种畅销的粽子，两种粽子的进货价和销售价如下表：
类别价格
A种
B种
进货价(元/盒)
25
30
销售价(元/盒)
32
40

（1）若经销商用1500元购进A，B两种粽子，其中A种的数量是B种数量的2倍少4盒，求A，B两种粽子各购进了多少盒；
（2）若经销商计划购进A种“粽子”的数量不少于B种“粽子”数量的2倍，且计划购进两种“粽子”共60盒，经销商该如何设计进货方案，才能使销售完后获得最大利润？最大利润为多少？
【答案】（1）则购进B种粽子20盒，A种粽子36盒
（2）购进A种“粽子”40盒，购进B种“粽子”20盒，获得最大利润，最大利润是480元
【解析】
【分析】(1) 设未知数，根据A种的数量是B种数量的2倍少4盒，列方程求解；
(2)设购进B种“粽子”m盒，销售利润为W元，根据A种“粽子”进货数量不少于B种“粽子”进货数量的2倍，可得，而，由一次函数性质可得购进A种“粽子”40盒，购进B种“粽子”20盒，获得最大利润，最大利润是480元．
【小问1详解】
设购进B种粽子x盒，

，
解得，
，
则购进B种粽子20盒，A种粽子36盒．
【小问2详解】
设购进B种“粽子”m盒，销售利润为W元，则购进A种“粽子”盒，
∵根据A种“粽子”进货数量不少于B种“粽子”进货数量的2倍，
∴ ，
解得，
根据题意得

，
∵，
∴W随m的增大而增大，
∴时，W取最大值，最大值为
(元)，
此时，
答：购进A种“粽子”40盒，购进B种“粽子”20盒，获得最大利润，最大利润是480元．
【点睛】本题考查一元一次方程，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式和函数关系式．
21. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动地球．”(如图1)这句话形容杠杆的作用之大：只要有合适的工具和一个合适的支点，利用杠杆原理就可以把地球(或像地球一样重的物体)轻松撬动．
小亮看到广场上有一块球形的大石头，他想知道这块球形石头的半径为多少，他找来一块棱长为的正方体木块和长度为的木棒，模仿阿基米德撬动地球的方法，如图2，石头和地面相切于点M，木棒和石头相切于点N，正方体横截面上的点E，F和木棒在同一平面内，点M、A，E，F在一条直线上．

（1）求证：；
（2）若木棒与水平面的夹角，切点N恰好为的中点，则石头的半径为多少？(结果保留根号)
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质可得，由、都与相切，可得，再根据四边形的内角和可得，利用，即可得出结论；
（2）连接，根据等腰三角形的性质可得O、N、E三点共线，且，利用直角三角形的性质可得，根据勾股定理可得，再进行求解即可．
小问1详解】
证明：∵，
∴，
又∵、都与相切，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：连接，∵，
∴是等腰直角三角形，
又∵N是的中点，
∴，且平分，
∴O、N、E三点共线，且，
∵，
∴，
∴，
在中，∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设石头的半径为，则，
∴，
在中，∵，，
∴，
∴，解得，或（舍），
∴石头的半径为：．

【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理及四边形的内角和，熟练掌握相关知识是解题的关键．
22. 如图，点在抛物线C：上．

（1）直接写出抛物线C的解析式____________，顶点Q的坐标：__________．
（2）点 在抛物线C：上，且在抛物线C的对称轴的右侧，求a的值；
（3）在坐标平面内放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，平移该胶片，使所在抛物线对应的解析式恰为，求点移动的最短路程．
【答案】（1），
（2）6 （3）
【解析】
【分析】（1）把代入抛物线解析式求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式求出顶点坐标即可；
（2）把代入（1）所求抛物线解析式，求出x的值即可得到答案；
（3）先判断出抛物线C平移到抛物线的平移方式，再根据两点之间，相等最短结合勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：把代入中得：，
∴，
∴抛物线C析式为，
∴顶点Q的坐标为，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：在中，当时，则，
解得或，
∵点 在抛物线C：上，且在抛物线C的对称轴的右侧，
抛物线对称轴为直线，
∴；
【小问3详解】
解：由题意得所在抛物线是由抛物线C平移得到的
∵所在抛物线对应的解析式恰为，
∴所在抛物线是由抛物线C向左平移6个单位长度，向上平移12个单位长度得到的，
由两点之间线段最短可知，点'移动的最短路程为．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图象的平移，二次函数的性质，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
23. 已知和都是等腰三角形，，．

（1）当时：
①如图1，当点D在边上时，请直接写出和的数量关系：___________；
②如图2，当点D不在边上时，判断线段和的数量关系，并说明理由．
（2）如图3，当时，请直接写出和的数量关系：____________________；
（3）在(1)的条件下，将绕点B逆时针旋转，当时，请直接写出的长度．
【答案】（1）；
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）①证出和都是等边三角形，即可求解；②证明即可求出答案；
（2）证明即可求出答案；
（3）分两种情况讨论，画出图形，由（1）得，， 先求，即可求出答案．
【小问1详解】
解：①∵和都等腰三角形，，
∴和都是等边三角形，
∴，
∴；
②∵和都是等腰三角形，，
∴和都是等边三角形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵和都是等腰三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即；
【小问3详解】
①解：连接，延长交于点F，如图所示，

∵是等腰三角形，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴
由（1）得，，
∴；
②连接，，且相交于点F，如图所示，

∵和都是等腰三角形，，
∴和都是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
由（1）得，，
∴；
综上，满足条件的或.
【点睛】本题考查几何综合题，涉及相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，难度较大，灵活运用所学知识是解题关键．