还剩21页未读，
继续阅读
河南省平顶山市郏县2020-2021学年九年级（上）期末数学试卷 解析版
展开
这是一份河南省平顶山市郏县2020-2021学年九年级（上）期末数学试卷 解析版，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知α为锐角，且sinα＝，则α的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
2．如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2B．（x﹣2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6
4．下列说法不正确的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．一个角是直角的四边形是矩形
5．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．AC：AE＝1：3B．CE：EA＝1：3C．CD：EF＝1：2D．AB：EF＝1：2
6．如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，则路宽xm应满足的方程是（ ）
A．（40﹣x）（70﹣x）＝400B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝400
C．（40﹣x）（70﹣x）＝2400D．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2400
7．根据表格对应值：
判断关于x的方程ax2+bx+c＝3的一个解x的范围是（ ）
A．1.1＜x＜1.2B．1.2＜x＜1.3C．1.3＜x＜1.4D．无法判定
8．如图所示△DEF是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
9．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D．9月份该厂利润达到200万元
10．如图一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，直至得到C10，若点P（28，m）在第10段抛物线C10上，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．计算：×﹣tan45°＝ ．
12．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值为 ．
13．在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有 个．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（2a，a）是反比例函数y＝的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是 ．
15．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．用适当的方法解下列方程：
（1）3x2﹣6x+1＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣1）2；
（3）x2﹣x＝﹣1．
17.为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共抽查了 人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数．
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．
18.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
19.在升旗结束后，小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好至C处且与地面成60°角，小明从绳子末端C处拿起绳子放在头顶，后退至E点，此时绳子末端D与旗杆的顶端A成45°仰角，已知小明身高DE＝1.5m．求旗杆AB的高度．（结果保留根号）
20.某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
（1）每千克涨价x元，那么销售量表示为 千克，涨价后每千克利润为 元（用含x的代数式表示．）
（2）要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？这时应进货多少千克？
21.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．
（1）求证：△BC1F∽△AGC1；
（2）若C1是AB的中点，AB＝6，BC＝9，求AG的长．
22.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（﹣3，1）、B（m，3）两点，
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）写出使一次函数的值大于反比例函数的x的取值范围；
（3）连接AO、BO，求△ABO的面积．
23.如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．
（1）求m，n的值以及函数的解析式；
（2）对于（1）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；
（3）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，求证：△BCD∽△OBA．
2020-2021学年河南省平顶山市郏县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知α为锐角，且sinα＝，则α的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】根据sin60°＝解答即可．
【解答】解：∵α为锐角，sinα＝，sin60°＝，
∴α＝60°．
故选：C．
2．如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看是一个正方形，在正方形的左下角有一个小正方形．
故选：B．
3．用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2B．（x﹣2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣4x+2＝0，
∴x2﹣4x+4＝2，
∴（x﹣2）2＝2，
故选：B．
4．下列说法不正确的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．一个角是直角的四边形是矩形
【分析】由菱形的判定和矩形的判定以及平行四边形的判定可求解．
【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形是正确的，故该选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，故该选项不符合题意；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形是正确的，故该选项不符合题意；
D、一个角是直角的四边形是矩形是错误的，故该选项符合题意；
故选：D．
5．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．AC：AE＝1：3B．CE：EA＝1：3C．CD：EF＝1：2D．AB：EF＝1：2
【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，据此可得结论．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，
∴AC：AE＝1：3，故A选项正确；
CE：EA＝2：3，故B选项错误；
CD：EF的值无法确定，故C选项错误；
AB：EF的值无法确定，故D选项错误；
故选：A．
6．如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，则路宽xm应满足的方程是（ ）
A．（40﹣x）（70﹣x）＝400B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝400
C．（40﹣x）（70﹣x）＝2400D．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2400
【分析】根据题意和图形中的数据可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
（40﹣2x）（70﹣3x）＝40×70×（1﹣），
即（40﹣2x）（70﹣3x）＝2400，
故选：D．
7．根据表格对应值：
判断关于x的方程ax2+bx+c＝3的一个解x的范围是（ ）
A．1.1＜x＜1.2B．1.2＜x＜1.3C．1.3＜x＜1.4D．无法判定
【分析】利用表中数据得到x＝1.3和x＝1.4时，代数式ax2+bx+c的值一个小于3，一个大于3，从而可判断当1.3＜x＜1.4时，代数式ax2+bx+c的值为3．
【解答】解：当x＝1.3时，ax2+bx+c＝2.29，
当x＝1.4时，ax2+bx+c＝3.76，
所以方程的解的范围为1.3＜x＜1.4．
故选：C．
8．如图所示△DEF是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据位似变换的定义对各选项进行判断．
【解答】解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为A点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点．
故选：A．
9．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D．9月份该厂利润达到200万元
【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
【解答】解：A、设反比例函数的解析式为y＝，
把（1，200）代入得，k＝200，
∴反比例函数的解析式为：y＝，
当x＝4时，y＝50，
∴4月份的利润为50万元，故此选选项正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选选项正确，不合题意；
C、当y＝100时，则100＝，
解得：x＝2，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故此选项不正确，符合题意．
D、设一次函数解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
故一次函数解析式为：y＝30x﹣70，
故y＝200时，200＝30x﹣70，
解得：x＝9，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，故此选项正确，不合题意．
故选：C．
10．如图一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，直至得到C10，若点P（28，m）在第10段抛物线C10上，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第偶数号抛物线都在x轴下方，然后求出到抛物线平移的距离，再根据向右平移以及沿x轴翻折，表示出抛物线C10的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解．
【解答】解：令y＝0，则﹣x（x﹣3）＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
∴A1（3，0），
由图可知，抛物线C10在x轴下方，
相当于抛物线C1向右平移3×9＝27个单位，再沿x轴翻折得到，
∴抛物线C10的解析式为y＝（x﹣27）（x﹣27﹣3）＝（x﹣27）（x﹣30），
∵P（28，m）在第10段抛物线C10上，
∴m＝（28﹣27）（28﹣30）＝﹣2．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．计算：×﹣tan45°＝ ﹣1 ．
【分析】根据二次根式的乘法运算的法则和特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：×﹣tan45°＝﹣1＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值为 0 ．
【分析】根据判别式即可求出答案．
【解答】解：由判别式可知：△＝4﹣4（k﹣1）＞0，
∴k＜2，
∵k﹣1≠0，
∴k＜2且k≠1，
∴k的最大整数值为0，
故答案为：0
13．在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有 7 个．
【分析】根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【解答】解：设袋中红球有x个，
根据题意，得：＝0.7，
解得：x＝7，
经检验：x＝7是分式方程的解，
所以袋中红球有7个，
故答案为：7．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（2a，a）是反比例函数y＝的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是 4 ．
【分析】先利用反比例函数解析式y＝确定P点坐标为（2，1），由于正方形的中心在原点O，则正方形的面积为16，然后根据反比例函数图象关于原点中心对称得到阴影部分的面积为正方形面积的．
【解答】解：把P（2a，a）代入y＝得2a•a＝2，解得a＝1或﹣1，
∵点P在第一象限，
∴a＝1，
∴P点坐标为（2，1），
∴正方形的面积＝4×4＝16，
∴图中阴影部分的面积＝S正方形＝4．
故答案为4．
15．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是 ①②③⑤ ．
【分析】①根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得∠PAE＝∠MAE＝45°，然后利用“角边角”证明△APE和△AME全等；
②根据全等三角形对应边相等可得PE＝EM＝PM，同理，FP＝FN＝NP，证出四边形PEOF是矩形，得出PF＝OE，证得△APE为等腰直角三角形，得出AE＝PE，PE+PF＝OA，即可得到PM+PN＝AC；
③根据矩形的性质可得PF＝OE，再利用勾股定理即可得到PE2+PF2＝PO2；
④判断出△POF不一定等腰直角三角形，△BNF是等腰直角三角形，从而确定出两三角形不一定相似；
⑤由线段垂直平分线的性质可得MO＝PO，由等腰三角形的性质可得∠MOE＝∠POE，同理可证∠POF＝∠NOF，即可证点M，点O，点N三点共线．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∵PM⊥AC，
∴∠AEP＝∠AEM＝90°，
在△APE和△AME中，
，
∴△APE≌△AME（ASA），
故①正确；
②∵△APE≌△AME，
∴PE＝EM＝PM，
同理，FP＝FN＝NP，
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE
∴四边形PEOF是矩形．
∴PF＝OE，
在△APE中，∠AEP＝90°，∠PAE＝45°，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴AE＝PE，
∴PE+PF＝OA，
又∵PE＝EM＝PM，FP＝FN＝NP，OA＝AC，
∴PM+PN＝AC，
故②正确；
③∵四边形PEOF是矩形，
∴PE＝OF，
在直角△OPF中，OF2+PF2＝PO2，
∴PE2+PF2＝PO2，
故③正确；
④∵△APE≌△AME，
∴AP＝AM
△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，
∴△POF与△BNF不一定相似，
故④错误；
⑤∵△APE≌△AME，
∴ME＝PE，
∴AE是MP是中垂线，
∴MO＝OP，
又∵OE⊥MP，
∴∠MOE＝∠POE，
同理可证∠POF＝∠NOF，
∵∠POE+∠POF＝∠EOF＝90°，
∴∠MOE+∠POE+∠POF+∠NOF＝180°，
∴点M，点O，点N三点共线，
故⑤正确，
故答案为①②③⑤．
三．解答题
16．用适当的方法解下列方程：
（1）3x2﹣6x+1＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣1）2；
（3）x2﹣x＝﹣1．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用直接开平方法求解即可；
（3）先整理方程，再利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵a＝3，b＝﹣6，c＝1，
∴△＝（﹣6）2﹣4×3×1＝24＞0，
则x＝＝＝，
即x1＝，x2＝；
（2）∵（2x﹣1）2＝（x﹣1）2，
∴2x﹣1＝x﹣1或2x﹣1＝1﹣x，
解得x1＝0，x2＝；
（3）方程整理，得：x2﹣4x+4＝0，
则（x﹣2）2＝0，
∴x﹣2＝0，
则x1＝x2＝2．
17.为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共抽查了 人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数．
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．
【考点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．
【专题】统计的应用；概率及其应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由“良好”的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）求出“不合格”的学生人数为20人，从而补全条形统计图；由360°乘以学习效果“一般”的学生人数所占的百分比即可；
（3）画出树状图，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）这次活动共抽查的学生人数为80÷40%＝200（人）；
故答案为：200；
（2）“不合格”的学生人数为200﹣40﹣80﹣60＝20（人），
将条形统计图补充完整如图：
学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为360°×＝108°；
（3）把学习效果“优秀”的记为A，“良好”记为B，“一般”的记为C，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽取的2人学习效果全是“良好”的结果有2个，
∴抽取的2人学习效果全是“良好”的概率＝＝．
18.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
【考点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明；
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN．
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴四边形ADCE为矩形．
19.在升旗结束后，小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好至C处且与地面成60°角，小明从绳子末端C处拿起绳子放在头顶，后退至E点，此时绳子末端D与旗杆的顶端A成45°仰角，已知小明身高DE＝1.5m．求旗杆AB的高度．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】设绳子AC的长为x米；由三角函数得出AB＝AC•sin60°，过D作DF⊥AB于F，则△ADF是等腰直角三角形，得出AF＝DF＝x•sin45°，由AB﹣AF＝BF＝1.5得出方程，解方程求出x，得出AB．
【解答】解：过点D作DFEB交AB于点F，则BF＝DE＝1.5．设AB＝x．
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝＝＝，
在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AF＝x﹣1.5，AD＝＝（x﹣），
又AD＝AC，
∴＝（x﹣），
解得：x＝，
即旗杆AB的高为m．
20.某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
（1）每千克涨价x元，那么销售量表示为 千克，涨价后每千克利润为 元（用含x的代数式表示．）
（2）要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？这时应进货多少千克？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知直接得出每千克水产品获利，进而表示出销量，即可得出答案；
（2）利用每千克水产品获利×月销售量＝总利润，进而求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：销售量为（500﹣10x）千克，
涨价后每千克利润为：50+x﹣40＝10+x（千克）
故答案是：（500﹣10x）；（10+x）；
（2）由题意可列方程：（10+x）（500﹣10x）＝8000，
整理，得：x2﹣40x+300＝0
解得：x1＝10，x2＝30，
因为又要“薄利多销”
所以x＝30不符合题意，舍去．
x＝10符合题意．
此时10+x＝60，500﹣10x＝400．
答：销售单价应定为60元，这时应进货400千克．
21.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．
（1）求证：△BC1F∽△AGC1；
（2）若C1是AB的中点，AB＝6，BC＝9，求AG的长．
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意和图形可以找出△BC1F∽△AGC1的条件，从而可以解答本题；
（2）根据勾股定理和（1）中的结论可以求得AG的长．
【解答】证明：（1）由题意可知∠A＝∠B＝∠GC1F＝90°，
∴∠BFC1+∠BC1F＝90°，∠AC1G+∠BC1F＝90°，
∴∠BFC1＝∠AC1G，
∴△BC1F∽△AGC1．
（2）∵C1是AB的中点，AB＝6，
∴AC1＝BC1＝3．
∵∠B＝90°，
∴BF2+32＝（9﹣BF）2，
∴BF＝4，
由（1）得△AGC1∽△BC1F，
∴，
∴，
解得，AG＝．
22.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（﹣3，1）、B（m，3）两点，
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）写出使一次函数的值大于反比例函数的x的取值范围；
（3）连接AO、BO，求△ABO的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），反比例函数的解析式为y＝（a≠0），把A（﹣3，1）代入y＝即可求出反比例函数的解析式，把B（m，3）代入y＝﹣求出B的坐标，把A、B的坐标代入y＝kx+b求出k、b，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据A、B的坐标和图象得出即可；
（3）求出一次函数和两坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），反比例函数的解析式为y＝（a≠0），
把A（﹣3，1）代入y＝得：a＝﹣3，
即反比例函数的解析式为y＝﹣，
把B（m，3）代入y＝﹣得：3＝﹣，
解得：m＝﹣1，
即B的坐标为（﹣1，3），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得：，
解得：k＝1，b＝4，
即一次函数的解析式为y＝x+4；
（2）∵函数y＝﹣和y＝x+4的交点为A（﹣3，1）、B（﹣1，3），
∴使一次函数的值大于反比例函数的x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1或x＞0；
（3）
设一次函数y＝x+4和x轴的交点为N，和y轴的交点为M，
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣4，
即OM＝4，ON＝4，
∵A（﹣3，1）、B（﹣1，3），
∴△ABO的面积为S△MON﹣S△BOM﹣S△AON＝×4×4﹣×4×1﹣×4×1＝4．
23.如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．
（1）求m，n的值以及函数的解析式；
（2）对于（1）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；
（3）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，求证：△BCD∽△OBA．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）m＝﹣1，n＝3，函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）y最大值＝4，y最小值＝0；
（3）证明见解答．
【分析】（1）首先解方程求得A、B两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）由抛物线y＝﹣x2+2x+3解析式，可得对称轴为x＝1，根据增减性可知：x＝1时，y有最大值，当x＝3时，y有最小值；
（3）根据解方程直接写出点C的坐标，然后确定顶点D的坐标根据勾股定理的逆定理可得∠DBC＝90°，根据边长可得△AOB和△DBC两直角边的比相等，则两直角三角形相似．
【解答】解：（1）∵m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n，
用因式分解法解方程：（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴m＝﹣1，n＝3，
∴A （﹣1，0），B （0，3），
把（﹣1，0），（0，3）代入得，
，
解得，；
∴函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．
综上所述，m＝﹣1，n＝3，
函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）解：抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，顶点为D（1，4），
在0≤x≤3范围内，
当x＝1时，y最大值＝4；
当x＝3时，y最小值＝0；
（3）证明：由y＝﹣x2+2x+3，
易得，A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0），D（1，4）
则，，，
∵CD2＝DB2+CB2，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
∴∠AOB＝∠DBC，
在Rt△AOB和Rt△DBC中，
，，
∴，
∴△BCD∽△OBA．
x
1.1
1.2
1.3
1.4
ax2+bx+c
﹣0.59
0.84
2.29
3.76
x
1.1
1.2
1.3
1.4
ax2+bx+c
﹣0.59
0.84
2.29
3.76
1．已知α为锐角，且sinα＝，则α的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
2．如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2B．（x﹣2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6
4．下列说法不正确的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．一个角是直角的四边形是矩形
5．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．AC：AE＝1：3B．CE：EA＝1：3C．CD：EF＝1：2D．AB：EF＝1：2
6．如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，则路宽xm应满足的方程是（ ）
A．（40﹣x）（70﹣x）＝400B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝400
C．（40﹣x）（70﹣x）＝2400D．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2400
7．根据表格对应值：
判断关于x的方程ax2+bx+c＝3的一个解x的范围是（ ）
A．1.1＜x＜1.2B．1.2＜x＜1.3C．1.3＜x＜1.4D．无法判定
8．如图所示△DEF是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
9．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D．9月份该厂利润达到200万元
10．如图一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，直至得到C10，若点P（28，m）在第10段抛物线C10上，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．计算：×﹣tan45°＝ ．
12．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值为 ．
13．在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有 个．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（2a，a）是反比例函数y＝的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是 ．
15．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．用适当的方法解下列方程：
（1）3x2﹣6x+1＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣1）2；
（3）x2﹣x＝﹣1．
17.为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共抽查了 人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数．
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．
18.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
19.在升旗结束后，小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好至C处且与地面成60°角，小明从绳子末端C处拿起绳子放在头顶，后退至E点，此时绳子末端D与旗杆的顶端A成45°仰角，已知小明身高DE＝1.5m．求旗杆AB的高度．（结果保留根号）
20.某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
（1）每千克涨价x元，那么销售量表示为 千克，涨价后每千克利润为 元（用含x的代数式表示．）
（2）要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？这时应进货多少千克？
21.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．
（1）求证：△BC1F∽△AGC1；
（2）若C1是AB的中点，AB＝6，BC＝9，求AG的长．
22.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（﹣3，1）、B（m，3）两点，
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）写出使一次函数的值大于反比例函数的x的取值范围；
（3）连接AO、BO，求△ABO的面积．
23.如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．
（1）求m，n的值以及函数的解析式；
（2）对于（1）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；
（3）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，求证：△BCD∽△OBA．
2020-2021学年河南省平顶山市郏县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知α为锐角，且sinα＝，则α的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】根据sin60°＝解答即可．
【解答】解：∵α为锐角，sinα＝，sin60°＝，
∴α＝60°．
故选：C．
2．如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看是一个正方形，在正方形的左下角有一个小正方形．
故选：B．
3．用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2B．（x﹣2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣4x+2＝0，
∴x2﹣4x+4＝2，
∴（x﹣2）2＝2，
故选：B．
4．下列说法不正确的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．一个角是直角的四边形是矩形
【分析】由菱形的判定和矩形的判定以及平行四边形的判定可求解．
【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形是正确的，故该选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，故该选项不符合题意；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形是正确的，故该选项不符合题意；
D、一个角是直角的四边形是矩形是错误的，故该选项符合题意；
故选：D．
5．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．AC：AE＝1：3B．CE：EA＝1：3C．CD：EF＝1：2D．AB：EF＝1：2
【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，据此可得结论．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，
∴AC：AE＝1：3，故A选项正确；
CE：EA＝2：3，故B选项错误；
CD：EF的值无法确定，故C选项错误；
AB：EF的值无法确定，故D选项错误；
故选：A．
6．如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，则路宽xm应满足的方程是（ ）
A．（40﹣x）（70﹣x）＝400B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝400
C．（40﹣x）（70﹣x）＝2400D．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2400
【分析】根据题意和图形中的数据可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
（40﹣2x）（70﹣3x）＝40×70×（1﹣），
即（40﹣2x）（70﹣3x）＝2400，
故选：D．
7．根据表格对应值：
判断关于x的方程ax2+bx+c＝3的一个解x的范围是（ ）
A．1.1＜x＜1.2B．1.2＜x＜1.3C．1.3＜x＜1.4D．无法判定
【分析】利用表中数据得到x＝1.3和x＝1.4时，代数式ax2+bx+c的值一个小于3，一个大于3，从而可判断当1.3＜x＜1.4时，代数式ax2+bx+c的值为3．
【解答】解：当x＝1.3时，ax2+bx+c＝2.29，
当x＝1.4时，ax2+bx+c＝3.76，
所以方程的解的范围为1.3＜x＜1.4．
故选：C．
8．如图所示△DEF是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据位似变换的定义对各选项进行判断．
【解答】解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为A点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点．
故选：A．
9．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D．9月份该厂利润达到200万元
【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
【解答】解：A、设反比例函数的解析式为y＝，
把（1，200）代入得，k＝200，
∴反比例函数的解析式为：y＝，
当x＝4时，y＝50，
∴4月份的利润为50万元，故此选选项正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选选项正确，不合题意；
C、当y＝100时，则100＝，
解得：x＝2，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故此选项不正确，符合题意．
D、设一次函数解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
故一次函数解析式为：y＝30x﹣70，
故y＝200时，200＝30x﹣70，
解得：x＝9，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，故此选项正确，不合题意．
故选：C．
10．如图一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，直至得到C10，若点P（28，m）在第10段抛物线C10上，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第偶数号抛物线都在x轴下方，然后求出到抛物线平移的距离，再根据向右平移以及沿x轴翻折，表示出抛物线C10的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解．
【解答】解：令y＝0，则﹣x（x﹣3）＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
∴A1（3，0），
由图可知，抛物线C10在x轴下方，
相当于抛物线C1向右平移3×9＝27个单位，再沿x轴翻折得到，
∴抛物线C10的解析式为y＝（x﹣27）（x﹣27﹣3）＝（x﹣27）（x﹣30），
∵P（28，m）在第10段抛物线C10上，
∴m＝（28﹣27）（28﹣30）＝﹣2．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．计算：×﹣tan45°＝ ﹣1 ．
【分析】根据二次根式的乘法运算的法则和特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：×﹣tan45°＝﹣1＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值为 0 ．
【分析】根据判别式即可求出答案．
【解答】解：由判别式可知：△＝4﹣4（k﹣1）＞0，
∴k＜2，
∵k﹣1≠0，
∴k＜2且k≠1，
∴k的最大整数值为0，
故答案为：0
13．在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有 7 个．
【分析】根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【解答】解：设袋中红球有x个，
根据题意，得：＝0.7，
解得：x＝7，
经检验：x＝7是分式方程的解，
所以袋中红球有7个，
故答案为：7．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（2a，a）是反比例函数y＝的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是 4 ．
【分析】先利用反比例函数解析式y＝确定P点坐标为（2，1），由于正方形的中心在原点O，则正方形的面积为16，然后根据反比例函数图象关于原点中心对称得到阴影部分的面积为正方形面积的．
【解答】解：把P（2a，a）代入y＝得2a•a＝2，解得a＝1或﹣1，
∵点P在第一象限，
∴a＝1，
∴P点坐标为（2，1），
∴正方形的面积＝4×4＝16，
∴图中阴影部分的面积＝S正方形＝4．
故答案为4．
15．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是 ①②③⑤ ．
【分析】①根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得∠PAE＝∠MAE＝45°，然后利用“角边角”证明△APE和△AME全等；
②根据全等三角形对应边相等可得PE＝EM＝PM，同理，FP＝FN＝NP，证出四边形PEOF是矩形，得出PF＝OE，证得△APE为等腰直角三角形，得出AE＝PE，PE+PF＝OA，即可得到PM+PN＝AC；
③根据矩形的性质可得PF＝OE，再利用勾股定理即可得到PE2+PF2＝PO2；
④判断出△POF不一定等腰直角三角形，△BNF是等腰直角三角形，从而确定出两三角形不一定相似；
⑤由线段垂直平分线的性质可得MO＝PO，由等腰三角形的性质可得∠MOE＝∠POE，同理可证∠POF＝∠NOF，即可证点M，点O，点N三点共线．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∵PM⊥AC，
∴∠AEP＝∠AEM＝90°，
在△APE和△AME中，
，
∴△APE≌△AME（ASA），
故①正确；
②∵△APE≌△AME，
∴PE＝EM＝PM，
同理，FP＝FN＝NP，
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE
∴四边形PEOF是矩形．
∴PF＝OE，
在△APE中，∠AEP＝90°，∠PAE＝45°，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴AE＝PE，
∴PE+PF＝OA，
又∵PE＝EM＝PM，FP＝FN＝NP，OA＝AC，
∴PM+PN＝AC，
故②正确；
③∵四边形PEOF是矩形，
∴PE＝OF，
在直角△OPF中，OF2+PF2＝PO2，
∴PE2+PF2＝PO2，
故③正确；
④∵△APE≌△AME，
∴AP＝AM
△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，
∴△POF与△BNF不一定相似，
故④错误；
⑤∵△APE≌△AME，
∴ME＝PE，
∴AE是MP是中垂线，
∴MO＝OP，
又∵OE⊥MP，
∴∠MOE＝∠POE，
同理可证∠POF＝∠NOF，
∵∠POE+∠POF＝∠EOF＝90°，
∴∠MOE+∠POE+∠POF+∠NOF＝180°，
∴点M，点O，点N三点共线，
故⑤正确，
故答案为①②③⑤．
三．解答题
16．用适当的方法解下列方程：
（1）3x2﹣6x+1＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣1）2；
（3）x2﹣x＝﹣1．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用直接开平方法求解即可；
（3）先整理方程，再利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵a＝3，b＝﹣6，c＝1，
∴△＝（﹣6）2﹣4×3×1＝24＞0，
则x＝＝＝，
即x1＝，x2＝；
（2）∵（2x﹣1）2＝（x﹣1）2，
∴2x﹣1＝x﹣1或2x﹣1＝1﹣x，
解得x1＝0，x2＝；
（3）方程整理，得：x2﹣4x+4＝0，
则（x﹣2）2＝0，
∴x﹣2＝0，
则x1＝x2＝2．
17.为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共抽查了 人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数．
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．
【考点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．
【专题】统计的应用；概率及其应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由“良好”的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）求出“不合格”的学生人数为20人，从而补全条形统计图；由360°乘以学习效果“一般”的学生人数所占的百分比即可；
（3）画出树状图，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）这次活动共抽查的学生人数为80÷40%＝200（人）；
故答案为：200；
（2）“不合格”的学生人数为200﹣40﹣80﹣60＝20（人），
将条形统计图补充完整如图：
学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为360°×＝108°；
（3）把学习效果“优秀”的记为A，“良好”记为B，“一般”的记为C，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽取的2人学习效果全是“良好”的结果有2个，
∴抽取的2人学习效果全是“良好”的概率＝＝．
18.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
【考点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明；
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN．
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴四边形ADCE为矩形．
19.在升旗结束后，小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好至C处且与地面成60°角，小明从绳子末端C处拿起绳子放在头顶，后退至E点，此时绳子末端D与旗杆的顶端A成45°仰角，已知小明身高DE＝1.5m．求旗杆AB的高度．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】设绳子AC的长为x米；由三角函数得出AB＝AC•sin60°，过D作DF⊥AB于F，则△ADF是等腰直角三角形，得出AF＝DF＝x•sin45°，由AB﹣AF＝BF＝1.5得出方程，解方程求出x，得出AB．
【解答】解：过点D作DFEB交AB于点F，则BF＝DE＝1.5．设AB＝x．
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝＝＝，
在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AF＝x﹣1.5，AD＝＝（x﹣），
又AD＝AC，
∴＝（x﹣），
解得：x＝，
即旗杆AB的高为m．
20.某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
（1）每千克涨价x元，那么销售量表示为 千克，涨价后每千克利润为 元（用含x的代数式表示．）
（2）要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？这时应进货多少千克？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知直接得出每千克水产品获利，进而表示出销量，即可得出答案；
（2）利用每千克水产品获利×月销售量＝总利润，进而求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：销售量为（500﹣10x）千克，
涨价后每千克利润为：50+x﹣40＝10+x（千克）
故答案是：（500﹣10x）；（10+x）；
（2）由题意可列方程：（10+x）（500﹣10x）＝8000，
整理，得：x2﹣40x+300＝0
解得：x1＝10，x2＝30，
因为又要“薄利多销”
所以x＝30不符合题意，舍去．
x＝10符合题意．
此时10+x＝60，500﹣10x＝400．
答：销售单价应定为60元，这时应进货400千克．
21.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．
（1）求证：△BC1F∽△AGC1；
（2）若C1是AB的中点，AB＝6，BC＝9，求AG的长．
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意和图形可以找出△BC1F∽△AGC1的条件，从而可以解答本题；
（2）根据勾股定理和（1）中的结论可以求得AG的长．
【解答】证明：（1）由题意可知∠A＝∠B＝∠GC1F＝90°，
∴∠BFC1+∠BC1F＝90°，∠AC1G+∠BC1F＝90°，
∴∠BFC1＝∠AC1G，
∴△BC1F∽△AGC1．
（2）∵C1是AB的中点，AB＝6，
∴AC1＝BC1＝3．
∵∠B＝90°，
∴BF2+32＝（9﹣BF）2，
∴BF＝4，
由（1）得△AGC1∽△BC1F，
∴，
∴，
解得，AG＝．
22.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（﹣3，1）、B（m，3）两点，
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）写出使一次函数的值大于反比例函数的x的取值范围；
（3）连接AO、BO，求△ABO的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），反比例函数的解析式为y＝（a≠0），把A（﹣3，1）代入y＝即可求出反比例函数的解析式，把B（m，3）代入y＝﹣求出B的坐标，把A、B的坐标代入y＝kx+b求出k、b，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据A、B的坐标和图象得出即可；
（3）求出一次函数和两坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），反比例函数的解析式为y＝（a≠0），
把A（﹣3，1）代入y＝得：a＝﹣3，
即反比例函数的解析式为y＝﹣，
把B（m，3）代入y＝﹣得：3＝﹣，
解得：m＝﹣1，
即B的坐标为（﹣1，3），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得：，
解得：k＝1，b＝4，
即一次函数的解析式为y＝x+4；
（2）∵函数y＝﹣和y＝x+4的交点为A（﹣3，1）、B（﹣1，3），
∴使一次函数的值大于反比例函数的x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1或x＞0；
（3）
设一次函数y＝x+4和x轴的交点为N，和y轴的交点为M，
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣4，
即OM＝4，ON＝4，
∵A（﹣3，1）、B（﹣1，3），
∴△ABO的面积为S△MON﹣S△BOM﹣S△AON＝×4×4﹣×4×1﹣×4×1＝4．
23.如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．
（1）求m，n的值以及函数的解析式；
（2）对于（1）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；
（3）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，求证：△BCD∽△OBA．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）m＝﹣1，n＝3，函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）y最大值＝4，y最小值＝0；
（3）证明见解答．
【分析】（1）首先解方程求得A、B两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）由抛物线y＝﹣x2+2x+3解析式，可得对称轴为x＝1，根据增减性可知：x＝1时，y有最大值，当x＝3时，y有最小值；
（3）根据解方程直接写出点C的坐标，然后确定顶点D的坐标根据勾股定理的逆定理可得∠DBC＝90°，根据边长可得△AOB和△DBC两直角边的比相等，则两直角三角形相似．
【解答】解：（1）∵m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n，
用因式分解法解方程：（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴m＝﹣1，n＝3，
∴A （﹣1，0），B （0，3），
把（﹣1，0），（0，3）代入得，
，
解得，；
∴函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．
综上所述，m＝﹣1，n＝3，
函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）解：抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，顶点为D（1，4），
在0≤x≤3范围内，
当x＝1时，y最大值＝4；
当x＝3时，y最小值＝0；
（3）证明：由y＝﹣x2+2x+3，
易得，A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0），D（1，4）
则，，，
∵CD2＝DB2+CB2，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
∴∠AOB＝∠DBC，
在Rt△AOB和Rt△DBC中，
，，
∴，
∴△BCD∽△OBA．
x
1.1
1.2
1.3
1.4
ax2+bx+c
﹣0.59
0.84
2.29
3.76
x
1.1
1.2
1.3
1.4
ax2+bx+c
﹣0.59
0.84
2.29
3.76
相关试卷
2022-2023学年河南省平顶山市郏县九年级（上）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年河南省平顶山市郏县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省平顶山市郏县九年级（上）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年河南省平顶山市郏县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省平顶山市郏县七年级（下）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年河南省平顶山市郏县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
