北师大版必修1第三章 指数函数和对数函数6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较教案及反思

函数的奇偶性

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1、  理解函数的奇偶性及其图像特征；

2、  能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征；

一、函数奇偶性定义

1、图形描述：

    函数的图像关于轴对称为偶函数；

函数的图像关于原点轴对称为奇函数

定量描述

一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，则称为偶函数；如果都有，则称为奇函数；如果与同时成立，那么函数既是奇函数又是偶函数；如果与都不能成立，那么函数既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

　  如果函数是奇函数或偶函数，则称函数具有奇偶性。

特别提醒：

1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断与这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。

二、函数具有奇偶性的几个结论

1、是偶函数的图像关于轴对称；是奇函数的图像关于原点对称。

    2、奇函数在有定义，必有。

3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。

4、是定义域为且要关于原点对称，那么就有以下结论：

奇奇奇  偶偶偶   奇奇偶   偶偶偶   奇偶奇

5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。

6、多项整式函数的奇偶性

多项式函数是奇函数的偶次项的系数和常数项全为零；

多项式函数是偶函数的奇次项的系数全为零。

类型一 函数奇偶性的判断

例1：判断下列函数是否具有奇偶性：

(1)f(x)＝2x4＋3x2；   (2)f(x)＝＋x；

解析：(1)函数f(x)的定义域为R，

又∵f(－x)＝2(－x)4＋3(－x)2

＝2x4＋3x2＝f(x)，

∴函数f(x)＝2x4＋3x2是偶函数．

(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，

又∵f(－x)＝－x＝－(＋x)＝－f(x)，

∴函数f(x)＝＋x是奇函数．

答案：（1）偶函数  （2）奇函数

练习1：判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x2＋1；

(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；

答案：（1）偶函数  （2）奇函数

练习2：(2014～2015学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是(　　)

A．y＝x＋1　　　　　 B．y＝－x2

C．y＝  D．y＝x|x|

答案：D

类型二 分段函数奇偶性的判定

例2：用定义判断函数f(x)＝的奇偶性．

解析：任取x>0，则－x<0.

∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1

＝－(－x2＋1)＝－f(x)．

又任取x<0，则－x>0.

∴f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1

＝－(x2－1)＝－f(x)．

对x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)成立．∴函数f(x)为奇函数．

答案：奇函数

练习1：判断函数f(x)＝的奇偶性．

答案：奇函数.

练习2：如果F(x)＝是奇函数，则f(x)＝________.的单调性

答案：2x＋3

类型三 利用奇(偶)函数图象的对称特征，求关于原点对称的区间上的解析式
例3：若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求：当x≥0时，函数f(x)

的解析式．

解析：当x>0时，－x<0，

∵当x<0时，f(x)＝x(1－x)，

∴f(－x)＝－x(1＋x)，

又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴－f(x)＝－x(1＋x)，∴f(x)＝x(1＋x)，

又f(0)＝f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，

∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．

答案：x(1＋x)

练习1：(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋1，则函数f(x)的解析式为________________．

答案：　f(x)＝

练习2：(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的表达式为(　　)

A．f(x)＝x＋1  B．f(x)＝x－1

C．f(x)＝－x＋1  D．f(x)＝－x－1

答案：D

类型四 抽象函数奇偶性的证明

例4：已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证： f(x)为奇函数．

解析：令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，

∴f(0)＝0，再令a＝－x，b＝x，

则f(0)＝f(－x)＋f(x)，∴f(－x)＝－f(x)，且定义域x∈R关于原点对称，∴f(x)是奇函数．

答案：见解析

练习1：已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数x1、x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证： f(x)为偶函数．

答案：令x1＝0，x2＝x，

得f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)， ①

令x1＝x，x2＝0，得f(x)＋f(x)＝2f(0)·f(x)， ②

由①②得， f(－x)＝f(x)，且定义域x∈R关于原点对称，

∴函数f(x)为偶函数．

2：已知是定义在上的任意一个增函数，，则必定为（  ）

 A、增函数且为奇函数  B、增函数且为偶函数  C、减函数且为奇函数  D、减函数且为偶函数

答案：A

类型五 含有参数的函数的奇偶性的判断

例5：设a为实数，讨论函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1的奇偶性．

解析：当a＝0时，f(x)＝x2＋|x|＋1，
∴f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1
＝x2＋|x|＋1＝f(x)，
∴当a＝0时，函数f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(1)＝2＋|1－a|，
f(－1)＝2＋|1＋a|，
假设f(1)＝f(－1)，
则|1－a|＝|1＋a|，(1－a)2＝(1＋a)2，
∴a＝0，这与a≠0矛盾，
假设f(－1)＝－f(1)，则2＋|1＋a|＝－2－|1－a|这显然不可能成立(∵2＋|1＋a|>0，－2－|1－a|<0)，
∴f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，
∴当a≠0时，函数f(x)是非奇非偶函数．

答案：非奇非偶.

练习1：(2014～2015学年度河南省实验中学高一月考)已知函数f(x)＝x2＋，常数a∈R，讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由．

答案：偶函数

练习2：(2014～2015学年度潍坊市四县市高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝ax＋(其中a、b为常数)的图象经过两点(1,2)和(2，)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)的奇偶性．

答案：(1)f(x)＝x＋.(2)f(x)为奇函数．

类型六 利用奇偶性确定函数中字母的值

例6: 已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.求实数a、b的值；

解析：∵f(x)为奇函数，

∴f(－x)＋f(x)＝0，

∴＝－，

∴－3x＋b＝－3x－b，∴b＝0.

又f(2)＝，∴＝，∴a＝2.

答案：a＝2.b＝0.

练习1: (2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝为奇函数.求b的值；

答案：b=0

练习2: 若函数是奇函数，则　　；若函数为偶函数，则　　。

答案: ;

类型七：利用奇偶性解不等式
例7：已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数且是减函数，若f(m－1)＋f(1－2m)≥0，求实数m的取值范围．

解析：由题意知，

得－<m<.

由函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数及f(m－1)＋f(1－2m)≥0，得f(m－1)≥f(2m－1)．

∵函数f(x)在(－2,2)上是减函数，

∴m－1≤2m－1，得m≥0.

∴实数m的取值范围是[0，)．

答案：[0，)．

练习1：定义在[－2,2]上的偶函数f(x)，当x≥0时单调递减，设f(1－m)<f(m)，求m的取值

范围．

答案：.

练习2：(2014～2015学年度河南省实验中学高一上学期月考)已知偶函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f(2x－1)<f()的x的取值范围是(　　)

A．  B．

C．  D．

答案：C

类型八 利用奇偶性求函数值

例8：已知函数f(x)与g(x)满足f(x)＝2g(x)＋1，且g(x)为R上的奇函数，f(－1)＝8，求

f(1)．

解析：∵f(－1)＝2g(－1)＋1＝8，

∴g(－1)＝.

又∵g(x)为奇函数，∴g(－1)＝－g(1)．

∴g(1)＝－g(－1)＝－.

∴f(1)＝2g(1)＋1＝2×(－)＋1＝－6.

答案：－6.

练习1：已知f(x)为奇函数，在区间[3,6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝(　　)
A．－15　　 B．－13　　
C．－5　　 D．5

答案:A

练习2: (2014～2015学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于(　　)

A．0　　　     B．1　　　

C．　　　     D．5

答案：C

    1、判断下列函数的奇偶性：

（1）；   （2）；                   

    答案：（1）奇函数   （2）既不是奇函数也不是偶函数。

    2、已知函数是奇函数，定义域为，又在上为增函数，且

，则满足的的取值范围是           。

答案：。

3、  若，且，求的值；

答案：5

    4、已知是上的奇函数，且当时，，求的解析式。

答案:

5、已知奇函数，求的值。

答案：

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基础巩固

1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝(　　)

A．3　　　 B．－3　　　

C．2　　　 D．7

答案：　C

2．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定经过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)，其中正确命题的个数是(　　)

A．1　　　 B．2　　　

C．3　　　 D．4

答案：　A

3．若二次函数f(x)＝x2＋(b－2)x在区间[1－3a,2a]上是偶函数，则a、b的值是(　　)

A．2,1  B．1,2

C．0,2  D．0,1

答案：　B

4．(2014·湖南理，3)已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)

A．－3  B．－1

C．1  D．3

答案：　C

5．(2014·全国新课标Ⅰ理，3)设函数f(x)、g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)

A．f(x)g(x)是偶函数  B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数  D．|f(x)g(x)|是奇函数

答案：　C

6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是(　　)

A．f(x)＝－x(x－2)  B．f(x)＝x(|x|－2)

C．f(x)＝|x|(x－2)  D．f(x)＝|x|(|x|－2)

答案：　D

7．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝______.

答案：4

能力提升

8．偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则f(－4)______f(a2＋4)(a∈R)．(填：>、<、≥、≤)

答案：　≥

9．(2014～2015学年度青海师范大学附属第二中学高一上学期月考)设函数f(x)＝x2－2|x|(－3≤x≤3)．

(1)证明：f(x)是偶函数；

(2)画出此函数的图象，并指出函数的单调区间．

答案：　(1)∵－3≤x≤3，∴函数f(x)的定义域关于原点对称．

f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)，

∴f(x)是偶函数．

(2)函数f(x)的图象如图所示．

由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[1,3]，单调递减区间为[－3，－1]，[0,1]．

10．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝(x2＋1)(x＋1)，求f(x)、g(x)．

答案： 得f(x)＝x2＋1，g(x)＝x(x2＋1)．