2020-2021学年3.3.1几何概型练习题

这是一份2020-2021学年3.3.1几何概型练习题，共6页。试卷主要包含了3　几何概型，下列关于几何概型的说法错误的是，在区间，在街道旁边有一游戏等内容，欢迎下载使用。

3．3.1 几何概型
[A组 学业达标]
1．下列关于几何概型的说法错误的是( )
A．几何概型也是古典概型中的一种
B．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关
C．几何概型中每一个结果的发生具有等可能性
D．几何概型在一次试验中能出现的结果有无限个
解析：几何概型与古典概型是两种不同的概型．
答案：A
2．在区间(15，25]内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(3,10) D.eq \f(5,10)
解析：a∈(15，25]，∴P(17答案：C
3．在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( )
A.eq \f(9,25) B.eq \f(16,25)
C.eq \f(3,10) D.eq \f(1,5)
解析：以AG为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG的长度应介于6厘米到8厘米之间．∴所求概率P(A)＝eq \f(2,10)＝eq \f(1,5).
答案：D
4．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( )
A.eq \f(1,12) B.eq \f(3,8)
C.eq \f(1,16) D.eq \f(5,6)
解析：由题意可知在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P＝eq \f(5,80)＝eq \f(1,16).
答案：C
5．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于eq \f(S,4)的概率是
( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(2,3)
解析：如图，在△ABC中，在AB上取点D使BD＝eq \f(1,4)AB，则eq \f(h,H)＝eq \f(1,4)，此时S△DBC＝eq \f(1,4)S.在AB边上取点P，则所有的随机结果为AB上的点，而使面积大于eq \f(S,4)的点落在AD上，∴P＝eq \f(3,4).
答案：C
6．在1 000 mL水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是__________．
解析：由几何概型知，P＝eq \f(3,1 000).
答案：eq \f(3,1 000)
7．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是__________．
解析：以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，
当P落在阴影部分内时符合要求．∴P＝eq \f(3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(π,3)×12)),\f(\r(3),4)×22)＝eq \f(\r(3)π,6).
答案：eq \f(\r(3)π,6)
8．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为__________．
解析：点P到点A的距离小于等于a可以看作是随机的，点P到点A的距离小于等于a可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率：
P＝eq \f(\f(1,8)×\f(4,3)πa3,a3)＝eq \f(1,6)π.
答案：eq \f(1,6)π
9．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边长作一个正方形，求作出的正方形面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率．
解析：如图所示，点M落在线段AB上的任一点上是等可能的，并且这样的点有无限多个．
设事件A为“所作正方形面积介于36 cm2与81 cm2之间”，它等价于“所作正方形边长介于6 cm与9 cm之间”．
取AC＝6 cm，CD＝3 cm，则当M点落在线段CD上时，事件A发生．
所以P(A)＝eq \f(|CD|,|AB|)＝eq \f(3,12)＝eq \f(1,4).
10．在街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板．规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱才可玩；若压在正方形塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问：
(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？
(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？
解析：(1)如图①所示，因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1 cm时，所以O落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交接，这个范围的面积等于92－72＝32(cm2)，因此所求的概率是eq \f(32,92)＝eq \f(32,81).
(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心O与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1 cm时，如图②阴影部分，四块合起来面积为π cm2，故所求概率是eq \f(π,81).
[B组 能力提升]
11．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为eq \f(1,2)，则eq \f(AD,AB)＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(3,2) D.eq \f(\r(7),4)
解析：由于满足条件的点P发生的概率为eq \f(1,2)，且点P在边CD上运动，根据图形的对称性当点P在靠近点D的CD边的eq \f(1,4)分点时，EB＝AB(当点P超过点E向点D运动时，PB>AB)．设AB＝x，过点E作EF⊥AB交AB于点F，则BF＝eq \f(3,4)x.在Rt△FBE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝eq \f(7,16)x2，即EF＝eq \f(\r(7),4)x，所以eq \f(AD,AB)＝eq \f(\r(7),4).
答案：D
12．如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )
A.eq \f(4－π,2) B.eq \f(π－2,2)
C.eq \f(4－π,4) D.eq \f(π－2,4)
答案：B
13．如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是__________．
解析：设事件A＝{小鸡正在正方形的内切圆中}，则事件A的几何区域为内切圆的面积S＝πR2(2R为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得P(A)＝eq \f(πR2,（2R）2)＝eq \f(π,4)，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为eq \f(π,4).
答案：eq \f(π,4)
14．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为__________．
解析：设圆面半径为R，如图所示：
△ABC的面积S△ABC＝3·S△AOC＝3·eq \f(1,2)AC·OD＝3·CD·OD＝3·Rsin 60°·Rcs 60°＝eq \f(3\r(3)R2,4)，
所以P＝eq \f(S△ABC,πR2)＝eq \f(3\r(3)R2,4πR2)＝eq \f(3\r(3),4π).
答案：eq \f(3\r(3),4π)
15．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
(2)若a是从区间[0，3]上任取的一个数，b是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解析：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
(1)基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A包含9个基本事件，故事件A发生的概率为
P(A)＝eq \f(9,12)＝eq \f(3,4).
(2)试验的全部结果所构成的区域为
{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}．
构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率为P(A)＝eq \f(3×2－\f(1,2)×22,3×2)＝eq \f(2,3).