2018年高考考点完全题数学（理）考点通关练习题 第一章　集合与常用逻辑用语 3 word版含答案

考点测试3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一、基础小题

1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　　)

A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1

答案　C

解析　特称命题的否定为全称命题，所以将“存在”改为“任意”，“x>1”改为“x≤1”．故选C.

2．下列特称命题中真命题的个数为(　　)

①存在实数x，使x2＋2＝0；

②有些角的正弦值大于1；

③有些函数既是奇函数又是偶函数．

A．0 B．1

C．2  D．3

答案　B

解析　x2＋2≥2，故①是假命题；∀x∈R均有|sinx|≤1，故②是假命题；f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，③是真命题，故选B.

3．设非空集合A，B满足A⊆B，则以下表述正确的是(　　)

A．∃x0∈A，x0∈B B．∀x∈A，x∈B

C．∃x0∈B，x0∉A D．∀x∈B，x∈A

答案　B

解析　根据集合的关系以及全称、特称命题的含义可得B正确．

4．若命题p：对数函数都是单调函数，则綈p为(　　)

A．所有对数函数都不是单调函数

B．所有单调函数都不是对数函数

C．存在一个对数函数不是单调函数

D．存在一个单调函数不是对数函数

答案　C

解析　命题p：对数函数都是单调函数的否定綈p为存在一个对数函数不是单调函数．

5．下列命题中的假命题为(　　)

A．∀x∈R，ex>0 B．∀x∈N，x2>0

C．∃x0∈R，ln x0<1 D．∃x0∈N*，sin＝1

答案　B

解析　对于选项A，由函数y＝ex的图象可知，∀x∈R，ex>0，故选项A为真命题；对于选项B，当x＝0时，x2＝0，故选项B为假命题；对于选项C，当x0＝时，ln ＝－1<1，故选项C为真命题；对于选项D，当x0＝1时，sin＝1，故选项D为真命题．综上选B.

6．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)

A．锐角三角形有一个内角是钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数x，使>2

答案　B

解析　A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．

7．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(　　)

A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)

C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q

答案　A

解析　綈p表示甲没有降落在指定范围，綈q表示乙没有降落在指定范围，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”，也就是“甲没有降落在指定范围或乙没有降落在指定范围”．故选A.

8．已知命题p：∀x∈R，x2＋ax＋a2≥0；命题q：∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2，则下列命题中为真命题的是(　　)

A．p∧q B．p∨q

C．(綈p)∨q D．(綈p)∧(綈q)

答案　B

解析　因为x2＋ax＋a2＝2＋a2≥0，所以命题p为真命题；因为(sinx＋cosx)max＝，所以命题q为假命题．所以p∨q是真命题．

9．若命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A． B．(－1,3)

C．(－∞，－1]∪

解析　由已知条件可知，p和q均为真命题，由命题p为真得a≤0，由命题q为真得a≤－2或a≥1，所以a≤－2.

11．若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围为________．

答案　(－∞，－2)∪(2，＋∞)

解析　由于命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，结合图象知Δ＝a2－4>0，解得a>2或a<－2.

12．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：x∈(A∩B)，那么“綈p”是________．

答案　x∉A或x∉B

解析　x∈(A∩B)即x∈A且x∈B，所以其否定为：x∉A或x∉B.

二、高考小题

13．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为(　　)

A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n

答案　C

解析　根据特称命题的否定为全称命题，所以綈p：∀n∈N，n2≤2n，故选C.

14．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)

A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2

C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2

D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2

答案　D

解析　先将条件中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论．故选D.

15．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是(　　)

A．①③ B．①④

C．②③ D．②④

答案　C

解析　由不等式性质知：命题p为真命题，命题q为假命题，从而綈p为假命题，綈q为真命题．故p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∨q为假命题，故选C.

16．命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)

A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n

B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n

C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0

D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0

答案　D

解析　“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)>n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.

17．不等式组的解集记为D.有下列四个命题：

p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，

p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，

p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，

p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.

其中的真命题是(　　)

A．p2，p3 B．p1，p2

C．p1，p4 D．p1，p3

答案　B

解析　作出不等式组表示的可行域，如图所示，

令z＝x＋2y，则y＝－x＋，平移直线x＋2y＝0，可知当过点A(2，－1)时，z有最小值0，无最大值，故p1，p2为真命题，p3，p4为假命题．

18．若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

答案　1

解析　∵0≤x≤，∴0≤tanx≤1.

∵“∀x∈，tanx≤m”是真命题，

∴m≥1，∴实数m的最小值为1.

三、模拟小题

19．命题“∀a∈R，函数y＝x是增函数”的否定是(　　)

A．∀a∈R，函数y＝x是减函数

B．∀a∈R，函数y＝x不是增函数

C．∃a∈R，函数y＝x不是增函数

D．∃a∈R，函数y＝x是减函数

答案　C

解析　全称命题与特称命题的否定应先否定量词，再否定结论，它们的真假性相反．

20．设p，q是两个命题，若綈(p∨q)是真命题，那么(　　)

A．p是真命题且q是假命题

B．p是真命题且q是真命题

C．p是假命题且q是真命题

D．p是假命题且q是假命题

答案　D

解析　由綈(p∨q)是真命题可得p∨q是假命题，由真值表可得p是假命题且q是假命题．故选D.

21．已知命题p：“存在x0∈已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是(　　)

A．∀x∈R，f(－x)≠f(x)

B．∀x∈R，f(－x)≠－f(x)

C．∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)

D．∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)

答案　D

解析　根据偶函数的定义可知，如果一个函数f(x)不是偶函数，那么在定义域上一定存在x0，使得函数值不满足偶函数的定义f(－x0)＝f(x0)．故选D.

23．设命题p：函数f(x)＝tanx是其定义域上的增函数；命题q：函数g(x)＝3x－3－x为奇函数，则下列命题中真命题是(　　)

A．p∧q B．p∧(綈q)

C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∧q

答案　D

解析　函数f(x)＝tanx在，k∈Z上是增函数，在其定义域上并不单调，故命题p是假命题；函数g(x)＝3x－3－x的定义域为R，g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－g(x)，故g(x)为奇函数，所以命题q为真命题．结合选项可知应选D.

24．命题p：存在x0∈，使sinx0＋cosx0>；命题q：命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1，则四个命题(綈p)∨(綈q)、p∧q、(綈p)∧q、p∨(綈q)中，正确命题的个数为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

答案　B

解析　因为sinx＋cosx＝sin≤，故命题p为假命题；特称命题的否定为全称命题，易知命题q为真命题，故(綈p)∨(綈q)真，p∧q假，(綈p)∧q真，p∨(綈q)假．故选B.

一、高考大题

本考点在近三年高考中未涉及此题型．

二、模拟大题

1．已知a>0，设命题p：函数y＝logax在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．

解　若p真，∵函数y＝logax在R上单调递增，∴p：a>1.

若q真，不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立，

∴a>0且a2－4a<0，解得0<a<4，∴q：0<a<4.

∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p，q中必有一真一假．

①当p真q假时，解得a≥4.

②当p假q真时，解得0<a≤1.

故a的取值范围为(0,1]∪已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．

解　若p为真，则对称轴x＝－＝在区间(－∞，2]的右侧，即≥2，∴0<a≤1.若q为真，则方程16x2－16(a－1)x＋1＝0无实数根，

∴Δ＝2－4×16<0，∴<a<.

∵命题“p∧q”为真命题，∴命题p、q都为真，

∴∴<a≤1.

故实数a的取值范围为<a≤1.

3．已知命题p：函数y＝x2－2x＋a在区间(1,2)上有1个零点，命题q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求a的取值范围．

解　若命题p为真，则函数y＝x2－2x＋a在区间(1,2)上有1个零点，因为二次函数图象开口向上，对称轴为x＝1，所以所以0<a<1.

若命题q为真，则函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点，由Δ＝(2a－3)2－4>0，得4a2－12a＋5>0，解得a<或a>.

因为p∧q是假命题，p∨q是真命题，所以p，q一真一假．

①若p真q假，则所以≤a<1；

②若p假q真，则所以a≤0或a>.

故实数a的取值范围是a≤0或≤a<1或a>.

4．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，求m的取值范围．

解　由题意知m≠0，∴f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)为二次函数，若∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0，必须抛物线开口向下，即m<0.

f(x)＝0的两根x1＝2m，x2＝－m－3，则x1－x2＝3m＋3.

(1)当x1>x2，即m>－1时，必须大根x1＝2m<1，即m<.

(2)当x1<x2，即m<－1时，大根x2＝－m－3<1，即m>－4.

(3)当x1＝x2，即m＝－1时，x1＝x2＝－2<1也满足条件．

∴满足条件①的m的取值范围为－4<m<0.

若∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，则满足方程f(x)＝0的小根小于－4.

(1)当m>－1时，小根x2＝－m－3<－4且m<0，无解．

(2)当m<－1时，小根x1＝2m<－4且m<0，解得m<－2.

(3)当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2≤0恒成立，∴不满足②，

∴满足①②的m的取值范围是－4<m<－2.