2018年高考考点完全题数学（理）考点通关练习题 第三章　三角函数、解三角形与平面向量 28 word版含答案

这是一份2018年高考考点完全题数学（理）考点通关练习题 第三章　三角函数、解三角形与平面向量 28 word版含答案，共13页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。
考点测试28　平面向量的数量积及应用  一、基础小题1．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(m,1)，m∈R，若a⊥b，则m的值为(　　)A．－   B.  C．2   D．－2答案　A解析　由a⊥b，得a·b＝0，即－2m－1＝0，则m＝－.故选A.2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于 (　　)A．－16   B．－8  C．8   D．16答案　D解析　因为cosA＝，故·＝||||cosA＝||2＝16，故选D.3．已知向量a＝(2,7)，b＝(x，－3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为(　　)A．x<   B．－<x<C．x<   D．x<且x≠－答案　D解析　由a·b＝2x－21<0，得x<.当a与b共线时，＝，则x＝－.故x的取值范围为x<且x≠－.选D.4．已知|a|＝3，|b|＝5且a·b＝12，则a在b方向上的投影为(　　)A.   B．3  C．4   D．5答案　A解析　向量a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝＝，故选A.5．已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－，则λ等于 (　　)A.   B.  C.   D.答案　A解析　以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，由＝λ，得P(2λ，0)，由＝(1－λ)，得Q(1－λ，(1－λ))，所以·＝(－λ－1，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－(λ＋1)(2λ－1)－×(1－λ)＝－，解得λ＝.6．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.答案　3解析　由题意得(2a－b)2＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝4＋|b|2－4×1×|b|cos45°＝10，即|b|2－2|b|－6＝0，解得|b|＝3.7．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则向量a与b的夹角为________．答案　解析　由|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，得a·b＝2，cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝.8．在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．答案　解析　如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C，D，设M(x1，(x1－2))，N，由条件可得2||＝||，代入坐标化简得4x1＋x2＝，得x2＝－4x1，所以·＝(x1，(x1－2))·＝x1＋(x1－2)＝－4x＋12x1－3，x1∈.由二次函数的图象可知y＝－4x＋12x1－3在x1∈上是减函数，所以·的取值范围是．二、高考小题9．已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)A．30°   B．45°  C．60°   D．120°答案　A解析　cos∠ABC＝＝，所以∠ABC＝30°，故选A.10．设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)A．充分而不必要条件   B．必要而不充分条件C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件答案　D解析　当|a|＝|b|＝0时，|a|＝|b|⇔|a＋b|＝|a－b|；当|a|＝|b|≠0时，|a＋b|＝|a－b|⇔(a＋b)2＝(a－b)2⇔a·b＝0⇔a⊥b，推不出|a|＝|b|.同样，由|a|＝|b|也不能推出a⊥b.故选D.11．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)A．4   B．－4  C.   D．－答案　B解析　因为n⊥(tm＋n)，所以tm·n＋n2＝0，所以m·n＝－，又4|m|＝3|n|，所以cos〈m，n〉＝＝＝－＝，所以t＝－4.故选B.12．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)A．－   B.  C.   D.答案　B解析　建立平面直角坐标系，如图．则B，C，A，所以＝(1,0)．易知DE＝AC，则EF＝AC＝，因为∠FEC＝60°，所以点F的坐标为，所以＝，所以·＝·(1,0)＝.故选B.13．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.答案　－2解析　由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，知a⊥b，∴a·b＝m＋2＝0，∴m＝－2.14. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．答案　解析　由已知可得＝＋＝＋＝－＝(－)－(＋)＝－，＝＋＝＋＝－＝(－)－(＋)＝－，＝＋＝＋＝(－)－(＋)＝－，＝＋＝＋＝(－)－(＋)＝－，因为·＝4，所以·＝4，则·＝·＝·－2－2＋·＝·－(2＋2)＝×4－(2＋2)＝－1，所以2＋2＝，从而·＝·＝－2－2＋·＝－(2＋2)＋·＝－×＋×4＝＝.三、模拟小题15．在△ABC中，已知向量＝(2,2)，||＝2，·＝－4，则△ABC的面积为(　　)A．4   B．5  C．2   D．3答案　C解析　∵＝(2,2)，∴||＝＝2.∵·＝||·||cosA＝2×2cosA＝－4，∴cosA＝－，∵0<A<π，∴sinA＝，∴S△ABC＝||·||sinA＝2.故选C.16．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2＝＋且||＝||，则向量在方向上的投影为(　　)A.   B.  C．－   D．－答案　A解析　由2＝＋可知O是BC的中点，即BC为△ABC外接圆的直径，所以||＝||＝||，由题意知||＝||＝1，故△OAB为等边三角形，所以∠ABC＝60°.所以向量在方向上的投影为||cos∠ABC＝1×cos60°＝.故选A.17. 如图，在等腰直角△ABO中，设＝a，＝b，OA＝1，OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任一点，＝p，则p·(b－a)＝(　　)A．－   B.  C．－   D.答案　A解析　·(－)＝·＝(＋＋)·＝·＝·＋2＋·＝1××cos＋()2＋0＝－.∴p·(b－a)＝－.18．向量a＝(2,0)，b＝(x，y)，若b与b－a的夹角等于，则|b|的最大值为(　　)A．2   B．2  C．4   D.答案　C解析　由题意可知a，b不共线且|a|＝2，由a＝b－(b－a)，则有|a|2＝|b－a|2＋|b|2－2|b－a|·|b|cos，即4＝|b－a|2＋|b|2－2|b|·|b－a|×，即|b－a|2－|b|·|b－a|＋|b|2－4＝0，则判别式Δ＝(|b|)2－4(|b|2－4)≥0，即3|b|2－4|b|2＋16≥0，∴|b|2≤16，即|b|≤4，∴|b|的最大值为4.19．已知非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|，〈c－a，c－b〉＝，则的最大值为________．答案　解析　设＝a，＝b，则＝a－b.∵非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|，∴△OAB是等边三角形．设＝c，则＝c－a，＝c－b.∵〈c－a，c－b〉＝，∴点C在△ABC的外接圆上，∴当OC为△ABC的外接圆的直径时，取得最大值，为＝.20．已知向量a，b，c满足|a|＝，|b|＝a·b＝3，若(c－2a)·(2b－3c)＝0，则|b－c|的最大值是________．答案　＋1解析　设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ，∴cosθ＝＝＝，∵θ∈，∴θ＝.设＝a，＝b，c＝(x，y)，建立如图所示的平面直角坐标系．则A(1,1)，B(3,0)，∴c－2a＝(x－2，y－2)，2b－3c＝(6－3x，－3y)，∵(c－2a)·(2b－3c)＝0，∴(x－2)·(6－3x)＋(y－2)·(－3y)＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝1，故点C在以(2,1)为圆心，1为半径的圆上．又知b－c＝(3－x，－y)，∴|b－c|＝≤＋1＝＋1，即|b－c|的最大值为＋1.一、高考大题1．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值．解　(1)∵m⊥n，∴m·n＝0，故sinx－cosx＝0，∴tanx＝1.(2)∵m与n的夹角为，∴cos〈m，n〉＝＝＝，故sin＝.又x∈，∴x－∈，x－＝，即x＝，故x的值为.二、模拟大题2．如图，O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠AOC＝120°，向量，，的模分别为2，，4.(1)求|＋＋|；(2)若＝m＋n，求实数m，n的值．解　(1)由已知条件易知·＝||·||·cos∠AOB＝－3，·＝||·||·cos∠AOC＝－4，·＝0，∴|＋＋|2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝9，∴|＋＋|＝3.(2)由＝m＋n，可得·＝m2＋n·，且·＝m·＋n2，∴∴m＝n＝－4.3．已知向量＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．(1)若∥，求x与y之间的关系式；(2)在(1)的条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．解　(1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)，∴＝－＝(－x－4,2－y)．又∥且＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0.①(2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)，又⊥，∴·＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.②联立①②，化简得y2－2y－3＝0.解得y＝3或y＝－1.故当y＝3时，x＝－6，此时＝(0,4)，＝(－8,0)，∴S四边形ABCD＝||·||＝16；当y＝－1时，x＝2，此时＝(8,0)，＝(0，－4)，∴S四边形ABCD＝||·||＝16.4．已知向量a＝，b＝，且x∈.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．解　(1)a·b＝coscos－sinsin＝cos2x，x∈∵a＋b＝，∴|a＋b|＝ ＝＝2|cosx|.∵x∈，∴cosx>0，∴|a＋b|＝2cosx.(2)f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1＝22－.∵x∈，∴≤cosx≤1，∴当cosx＝时，f(x)取得最小值－；当cosx＝1时，f(x)取得最大值－1.