2021年江苏常州市中考数学复习训练试卷

这是一份2021年江苏常州市中考数学复习训练试卷，共18页。试卷主要包含了在平面直角系中，点A等内容，欢迎下载使用。

2021年江苏常州市中考数学复习训练试卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．在平面直角系中，点A（﹣1，2）关于原点O对称的点A1的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，0）
2．求方程x2﹣x﹣6＝0的根的情况是（　　）
A．没有实根 B．两个不相等的实数根
C．两个相等的实数根 D．无法确定
3．某商场一天中售出李宁牌运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示，
鞋的尺码（单位：厘米）
23.5
24
24.5
25
26
销售量（单位：双）
1
2
2
5
1
则这11双鞋的尺码组成一组数据中众数和中位数分别为（　　）
A．25，25 B．24.5，25 C．26，25 D．25，24.5
4．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，OE＝3，CD＝8，AB＝（　　）

A． B．10 C． D．5
5．如图，已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝25°，则劣弧的长为（　　）

A． B． C． D．
6．已知二次函数y＝x2+2x+4，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线开口向下
B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是2
D．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1
7．已知⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A→B→C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E运动路程为x，CF＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a＝3；②当CF＝时，点E的运动路程为或或，则下列判断正确的是（　　）

A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．满足tanα＝的锐角α的度数是　 　．
10．一个正多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形是　 　边形．
11．已知方程x2﹣4x+1＝0的两个根是x1和x2，则x1+x2＝　 　．
12．一个不透明的口袋中装有1个黄球和1白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球然后放回，再搅匀任意摸出1个球，小红第1次摸到的是黄球，那么小红第2次摸到黄球的概率是　 　．
13．如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩（环数）的折线统计图，观察图形，甲、乙这10次射击成绩的方差S2甲，S2乙之间的大小关系是S2甲　 　S2乙．

14．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数表达式是y＝x+32．若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数为　 　℃．
15．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A、∠C的度数之比为4：5，则∠C的度数是　 　．

16．如图，为了测量某古城墙的高度，数学兴趣小组根据光的反射定律，把一面镜子放在离古城墙（CD）16m的点P处，然后观测者沿着直线DP后退到点B处．这时恰好在镜子里看到城墙顶端C，并量得BP＝3m．已知观测者目高AB＝1.5m，那么该古城墙（CD）的高度是　 　m．

17．已知：如图，E（﹣6，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比1：2，把△EFO在y右侧缩小，则点E的对应点E1的坐标为　 　．

18．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，则点F与点C的最小距离为　 　．

三．解答题（共10小题，满分84分）
19．（6分）计算：﹣2sin45°+2cos60°+|1﹣|．


20．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣3＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．



21．（8分）光明中学为了解学生上学的交通方式，现从全校学生中随机抽取了部分学生进行“我上学的交通方式”问卷调查，规定每人必须并且只能在“乘车”、“步行”、“骑车”和“其他”四项中选择一项，并将统计结果绘制了两幅不完整的统计图．

请解答下列问题：
（1）在这次调查中，该学校一共抽样调查了　 　名学生；
（2）在扇形统计图中“骑车”一项对应的扇形圆心角的度数是　 　°；
（3）补全条形统计图；
（4）若该学校共有1800名学生，试估计该学校学生中选择“步行”方式的人数．


22．（8分）甲、乙、丙3名医生志愿报名参加新冠肺炎救治工作．
（1）若随机抽取1名，则恰好抽中甲的概率是　 　；
（2）若随机抽取2名，试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出甲在其中的概率．


23．（8分）将线段AB放在正方形网格中，点A、点B均在格点上请你分别按要求在图中画点C（点C在格点上）．
（1）在图1中画Rt△ABC，使得tan∠ABC的值为；
（2）在图2中画Rt△ABC，使得tan∠ABC的值为1；
（3）在图3中画钝角△ABC，使得tan∠ACB的值为（请画出2种不同的图形）．


24．（8分）某数学小组开展了一次测量小山高度的活动，如图，该数学小组从地面A处出发，沿坡角为53°的山坡AB直线上行一段距离到达B处，再沿着坡角为22°的山坡BC直线上行600米到达C处，通过测量数据计算出小山高CD＝612m，求该数学小组行进的水平距离AD（结果精确到1m）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）



25．（8分）某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件．
（1）若想要这种童装销售利润每天达到1200元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？
（2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？

26．（10分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝﹣x+的图象交于A、B两点，点C的坐标为（1，），连接AC，AC平行于y轴．
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上的A、B之间的部分滑动（不与A、B重合），两直角边始终分别平行于x轴、y轴，且与线段AB交于M、N两点，试判断P点在滑动过程中△PMN是否与△CAB总相似，简要说明判断理由．



27．（10分）【问题情境】
（1）射影定理：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CD⊥AB，垂足为D，那么有：①CD2＝AD•BD；②AC2＝AB•AD；③BC2＝AB•BD；
请你证明射影定理中的结论③即BC2＝AB•BD．
【结论运用：请直接使用射影定理解决下列问题】
（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
①求证：△BOF∽△BED；
②若BE＝2，求OF的长．




28．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值．
（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m．是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．















参考答案
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．解：点A（﹣1，2）关于原点O对称的点A1的坐标是（1，﹣2），
故选：C．
2．解：根据题意得：△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，
即该方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
3．解：从小到大排列此数据为：23.5、24、24、24.5、24.5、25、25、25、25、25、26，
数据25出现了五次最多为众数．
25处在第6位为中位数．所以中位数是25，众数是25．
故选：A．
4．解：∵CD⊥AB且AB为直径，CD＝8，
∴，
连接CO，

∵在 Rt△COE中，OE＝3，CE＝4，
∴，
∴AB＝2CO＝10，
故选：B．
5．解：连接OA、OC，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝50°，
∴劣弧的长＝＝，
故选：D．

6．解：∵y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，3），当x＝﹣1时，y有最小值3，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
故A、B、C说法错误；D说法正确；
故选：D．
7．解：如图，
∵⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，
∴CE＝2，
∴⊙O上到直线l的距离为2的点有1个，
故选：A．

8．解：由已知，AB＝a，AB+BC＝5
当E在BC上时，如图，

∵E作EF⊥AE
∴△ABE∽△ECF
∴
∴
∴y＝﹣
∴当x＝
∴﹣
解得a1＝3，a2＝（舍去）
∴y＝﹣
当y＝时，＝﹣
解得x1＝，x2＝
当E在AB上时，y＝时，
x＝3﹣＝
故①②正确
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．解：∵tanα＝，
∴∠α＝30°，
故答案为：30°．
10．解：∵一个多边形的每一个外角都是72°，多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数为：360÷72＝5，
故答案为：5．
11．解：根据题意得x1+x2＝﹣＝4．
故答案为4．
12．解：∵口袋中装有1个黄球和1白球，共2个球，
∴摸到黄球的概率是，
虽然小红第1次摸到的是黄球，但是小红第2次摸到黄球的概率仍然是等于；
故答案为：．
13．解：由图中知，甲的成绩为7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，
乙的成绩为8，9，7，8，10，7，9，10，7，10，
甲＝（7+7+8+9+8+9+10+9+9+9）÷10＝8.5，
乙＝（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10＝8.5，
甲的方差S甲2＝[2×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+（10﹣8.5）2+5×（9﹣8.5）2]÷10＝0.85，
乙的方差S乙2＝[3×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+2×（9﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2]÷10＝1.45
∴S2甲＜S2乙．
故答案为：＜．
14．解：根据题意得x+32＝x，
解得x＝﹣40．
故答案是：﹣40．
15．解：∵∠A、∠C的度数之比为4：5，
∴设∠A＝4x，则∠C＝5x．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，即4x+5x＝180°，解得x＝20°，
∴∠C＝100°．
故答案为：100°．
16．解：由题意知∠CPD＝∠APB，∠CDP＝∠ABP＝90°，
∴△CPD∽△APB．
∴＝，
∴＝，
∴CD＝8．
故答案为：8．
17．解：∵以原点O为位似中心，相似比1：2，把△EFO在y右侧缩小，E（﹣6，2），
∴点E的对应点E1的坐标为（6×，﹣2×），即（3，﹣1），
故答案为：（3，﹣1）．
18．解：如图取AB的中点G，连接FG．FC．GC．
∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，
∴＝，
∵AB＝6，AG＝GB，
∴AG＝GB＝3，
∵AD＝9，
∴＝＝，
∴＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B═∠EAF＝90°，
∴∠FAG＝∠EAD，
∴△FAG∽△EAD，
∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，
∵DE＝3，
∴FG＝1，
∴点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，
∵GC＝＝3，
∴FC≥GC﹣FG，
∴FC≥3﹣1，
∴CF的最小值为3﹣1．
故答案为3﹣1．

三．解答题（共10小题，满分84分）
19．解：原式＝2﹣2×+2×+﹣1
＝2﹣+1+﹣1
＝2．
20．解：（1）∵x2﹣6x﹣3＝0，
∴x2﹣6x＝3，
则x2﹣6x+9＝3+9，即（x﹣3）2＝12，
∴x﹣3＝±2，
∴x1＝3+2，x2＝3﹣2；
（2）∵3x（x﹣1）＝2（1﹣x），
∴3x（x﹣1）＝﹣2（x﹣1），
∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（3x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣．
21．解：（1）本次调查中，该学校调查的学生人数为（20+5）÷50%＝50人，
故答案为：50；

（2）在扇形统计图中“骑车”一项对应的扇形圆心角的度数是360°×＝72°，
故答案为：72；

（3）步行的人数为50﹣（20+10+5）＝15（人），
补全图形如下：


（4）估计该学校学生中选择“步行”方式的人数为1800×＝540（人）．
22．解：（1）随机抽取1名，则恰是甲的概率是，
故答案为：；

（2）画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中甲在其中的结果数为4，
所以甲在其中的概率为＝．
23．解：（1）如图1中，△ABC即为所求作．
（2）如图2中，△ABC即为所求作．
（3）如图3中，△ABC即为所求作．

24．解：过B作BE⊥CD于E，过B作BH⊥AD于H，如图所示：
则四边形BEDH是矩形，
∴DE＝BH，BE＝DH，
在Rt△ACE中，∵BC＝600，∠CBE＝22°，
∴CE＝BC•sin22°＝600×0.37＝222（m），BE＝BC•cos22°＝600×0.92＝552（m），
∴DH＝BE＝552m，
∵CD＝612m，
∴BH＝DE＝CD﹣CE＝612﹣222＝390（m），
在Rt△ABH中，∵∠BAH＝53°，
∴tan53°＝，
∴AH≈＝300（m），
∴AD＝AH+DH＝300+552＝852（m），
答：该数学小组行进的水平距离AD约为852m．

25．解：（1）设要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价x元，
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得，x1＝10，x2＝20
∵当x＝20时，卖出的多，库存比x＝10时少，
∴要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价20元；
（2）设每件童装降价x元，利润为y元，
y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝15时，y取得最大值，此时y＝1250，
即每件童装降价15元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是1250元．
26．解：（1）由C（1，）得A（1，2），代入反比例函数中，得m＝2，
∴反比例函数解析式为：y＝，
解方程组，
由化简得：x2﹣5x+4＝0（x﹣4）（x﹣1）＝0，
解得x1＝4，x2＝1，
∴B（4，）；

（2）无论P点在AB之间怎样滑动，△PMN与△CAB总能相似．
∵B、C两点纵坐标相等，∴BC∥x轴，
∵AC∥y轴，∴△CAB为直角三角形，
同时△PMN也是直角三角形，AC∥PM，BC∥PN，∴△PMN∽△CAB．
（在理由中只要能说出BC∥x轴，∠ACB＝90°即可得分）
27．解：（1）证明：如图1，

∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
而∠CBD＝∠ABC，
∴Rt△CBD∽Rt△ABC，
∴CB：AB＝BD：BC，
∴BC2＝AB•BD；
（2）①证明：如图2，

∵四边形ABCD为正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，
∴BC2＝BO•BD，
∵CF⊥BE，
∴BC2＝BF•BE，
∴BO•BD＝BF•BE，
即 ＝，而∠OBF＝∠EBD，
∴△BOF∽△BED；
②在Rt△BCE中，BC＝6，BE＝2，
∴CE＝＝2，
∴DE＝BC﹣CE＝4；
在Rt△OBC中，OB＝BC＝3，
∵△BOF∽△BED，
∴＝，即：＝，
∴OF＝．
28．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；

（2）如下图，连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，

又因为AC是定值，所以此时△AMC的周长最小．
由题意可知OB＝OC＝3，OA＝1，
∴BC＝＝3，同理AC＝，
∴此时△AMC的周长＝AC+AM+MC＝AC+BC＝+3；
∵DE是抛物线的对称轴，与x轴交点A（1，0）和B（3，0），
∴AE＝BE＝1，对称轴为 x＝2，
由OB＝OC，∠BOC＝90°得∠OBC＝45°，
∴EB＝EM＝1，
又∵点M在第四象限，在抛物线的对称轴上，
∴M（2，﹣1）；

（3）存在这样的点P，使△FCG是等腰三角形．
∵点P的横坐标为m，故点F（m，﹣m2+4m﹣3），点G（m，m﹣3），
则FG2＝（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2，CF2＝（m2﹣4m）2+m2，GC2＝2m2，
当FG＝FC时，则（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2＝m2+（m2﹣4m）2，解得m＝0（舍去）或4；
当GF＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或3；
当FC＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或5或3（舍去），
综上，m＝5或m＝4或或3．