2020届重庆市第八中学高三第四次月考（12月）数学（文）试题（解析版）

2020届重庆市第八中学高三第四次月考（12月）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】直接通过解不等式求出.

【详解】

解：集合，

故选：C.

【点睛】

本题考查集合补集的运算，是基础题.

2．若复数是纯虚数，其中是实数，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由纯虚数的定义可得m＝0，故，化简可得．

【详解】

复数z＝m（m+1）+（m+1）i是纯虚数，故m（m+1）＝0且（m+1）≠0，

解得m＝0，故z＝i，故i．

故选：B．

【点睛】

本题考查复数的分类和复数的乘除运算，属基础题．

3．抛物线上一点到其焦点的距离为3，则点M到坐标原点的距离为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【解析】根据抛物线的方程和定义可得，由此解得和，从而可得.

【详解】

由可知，抛物线的准线方程为，则，解得，

代入可得，，则点M到坐标原点的距离为.

故选：C.

【点睛】

本题考查抛物线的方程和定义，要求学生熟练掌握抛物线的定义的运用，属基础题.

4．设数列前n项和为，已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用得出，先求出，再利用递推式求出即可.

【详解】

解：当时，，

整理得，

又，得，

，得，

，得，

故选：C.

【点睛】

本题考查数列递推式的应用，是基础题.

5．已知向量，若，则向量与向量的夹角为（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由向量平行的坐标运算得到参数值，再根据得到两个向量垂直.

【详解】

，因为，所以，解得，

当时，，所以向量与向量的夹角为．

故选D

【点睛】

这个题目考查了向量平行的坐标运算以及向量点积的坐标运算，向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

6．已知函数在区间的最小值是（    ）

A．-2 B．-4 C．2 D．4

【答案】A

【解析】化简函数可得，结合定义域和二次函数的性质即可得到当时，函数有最小值.

【详解】

，

由知，，，

则当时，函数有最小值.

故选：A.

【点睛】

本题考查二倍角公式和配方法求二次函数的最值，注意仔细审题，认真计算，不要忽略定义域，属基础题.

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】该几何体是一个半圆柱和一个直三棱柱的组合体，根据三视图判断三棱柱的底面和高及半圆柱的底面半径，母线长的数据，把数据代入半圆柱与三棱柱的体积公式计算即可得到结果.

【详解】

由三视图知，该几何体是一个半圆柱和一个直三棱柱的组合体，半圆柱的底面是半径为3的半圆，母线长为6，直三棱柱的底面是直角边长度分别为3和6的直角三角形，高也为6，如图：

则几何体的体积为：.

故选：D.

【点睛】

本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键，属基础题.

8．定义[x]表示不超过x的最大整数，，例如：.执行如图所示的程序框图若输入的，则输出结果为（    ）

A．-4.6 B．-2.8 C．-1.4 D．-2.6

【答案】D

【解析】由已知的程序框图可以知道：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量z的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.

【详解】

模拟程序的运行，可得x=6.8，y=6-1.6=4.4，x=6-1=5；满足条件x≥0，执行循环体，x=2.2，y=2-0.4=1.6，x=2-1=1；满足条件x≥0，执行循环体，x= 0.8，y=0-1.6=－1.6，x=0-1=-1；不满足条件x≥0，退出循环，z=-1+(-1.6)=-2.6，则输出z的值为-2.6.

故选：D.

【点睛】

本题考查算法初步的程序框图问题，考查学生的运算求解能力，注意仔细检查，属基础题.

9．已知分别是双曲线的左、右焦点，点P为渐近线上一点，O为坐标原点，若为等边三角形，则C的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【解析】画出双曲线的图像，利用等边三角形的性质可知渐近线的斜率为，即，从而可求离心率.

【详解】

双曲线的图像如下图，

由为等边三角形可知，渐近线OP的倾斜角为，则渐近线的斜率为，

即，则.

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线求离心率的方法，注意充分利用几何性质可简化计算，属基础题.

10．为得到的图象，可将图象上所有点（    ）

A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变

B．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变

C．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

【答案】A

【解析】根据图象的变换规律进行判断即可得到结果.

【详解】

依题意，，则将图像上所有点向右平移个单位长度可得，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变可得，即A正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数的图象变换，要求熟练掌握图象的平移伸缩变换规律，属基础题.

11．已知函数，则（    ）

A．的图像关于直线对称 B．的图像关于点对称

C．在单调递减 D．在上不单调

【答案】B

【解析】观察函数的特点，求出定义域，在定义域内根据选项代入特殊值判断函数的对称性和单调区间，再进一步证明.

【详解】

解：，得函数定义域为，

，

，

所以，排除A；，排除C；

在定义域内单调递增，在定义域内单调递减，

故在定义域内单调递增，故排除D；

现在证明B的正确性：

，

所以的图像关于点对称，

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的基本性质，定义域、单调性、对称性，是中档题.

12．数列满足，若，且数列前n项和为，则（    ）

A．54 B．80 C．90 D．174

【答案】B

【解析】依题意可得，即数列是等差数列，由此求出，则，分析可知，，从而可求.

【详解】

，，

则数列是等差数列，公差与首项都为1，

，则，

又，

，，

同理可得，，

，

则.

故选：B.

【点睛】

本题考查根据递推关系求通项公式及求前n项和的方法，通过仔细审题和分析得出是解决本题的关键，属中档题.

二、填空题

13．若x,y满足约束条件，则的最大值为___________.

【答案】1

【解析】在平面直角坐标系内画出题中不等式组所表示的平面区域，作出直线l：-x+y=0，平移直线l，由图可得，当直线经过点C时，直线在y轴上的截距最大，由此求得结果.

【详解】

作出不等式组表示的平面区域，如图所示，

作出直线l：-x+y=0，平移直线l，由图可得，当直线经过点C时，直线在y轴上的截距最大，此时z=-x+y取得最大值，由，解得，即，

所以，的最大值为.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查线性规划，正确画出题中的不等式组表示的平面区城是解题的关键，属基础题.

14．已知函数为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为________.

【答案】

【解析】求出时的函数的解析式，计算，的值，求出切线方程即可．

【详解】

解：∵函数是奇函数，
，
当时，，
不妨设，则，
故，
故时，，
故，
故，，
故切线方程是：，
整理得：，
故答案为：．

【点睛】

本题考查了函数的奇偶性问题，考查求函数的切线方程，是一道中档题．

15．已知，则__________.

【答案】

【解析】通过对等式两边平方并构造齐次式可得，求解，再利用两角和的正切公式即可求得结果.

【详解】

由可得，，

即，

变形得，

则，整理得，解得，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式和齐次式的应用，注意仔细审题，认真计算，属中档题.

16．在中，D是BC边上一点，，，且与面积之比为，则________.

【答案】

【解析】根据题意画出图形，结合图形求得的值，再利用余弦定理求得AC、AB的值，最后利用三角形的面积公式求得AD的值．

【详解】

解：中，∠BAD＝∠DAC＝60°，如图所示；

；
由余弦定理得，，
，
解得AC＝6，
∴AB＝10；

；
，
解得．
故答案为：．

【点睛】

本题考查了解三角形的应用问题，是基础题．

三、解答题

17．随着时代的进步、科技的发展，“网购”已发展成为一种新的购物潮流，足不出户就可以在网上买到自己想要的东西，而且两三天就会送到自己的家门口，某网店统计了2015年至2019年（2015年时t=1）在该网店的购买人数（单位：百人）的数据如下表：

（1）依据表中给出的数据，求出y关于t的回归直线方程；

（2）根据（1）中的回归直线方程，预测2020年在该网店购物的人数是否有可能破万？

附：参考公式：回归方程中：，参考数据：.

【答案】（1）；（2）2020年在该网点购物的人数不会破万

【解析】（1）将表中数据代入公式即可求出y关于t的回归直线方程；

（2）2020年时，将其代入回归直线方程即可得到预测结果.

【详解】

（1）由表中数据可得，，，

所以，，所以；

（2）2020年时，此时，所以2020年在该网点购物的人数不会破万.

【点睛】

本题考查了回归分析的应用，其中利用公式正确求解回归直线方程是解题的关键，属基础题.

18．设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q，已知.

（1）求数列，的通项公式；

（2）记，求数列的前n项和.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由题中条件建立关于a1和d的方程组，解出a1和d，从而可得到b1与q，由等差数列与等比数列的通项公式可得到数列和的通项公式；

（2）结合（1）中结论得到的表达式，列出，由可得到，从而解得.

【详解】

（1）由，则（舍）或.

所以，；

（2）由（1）可得，，，则，

.

【点睛】

本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，体现了高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向，属中档题.

19．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面ABCD.

（1）求证：；

（2）若，且，求四棱锥P-ABCD的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）取CD的中点M，连接AM，由条件知四边形BCMA为正方形，可得，再由平面平面ABCD，平面ABCD，平面平面，即可证得平面PAD，从而证得；

（2）过点P作交AD的延长线于点E，可证PE为四棱锥的高，再根据几何关系计算相关棱长，并利用面积公式和，即可求得，进而求得四棱锥P-ABCD的体积.

【详解】

（1）证明：如图，在直角梯形ABCD中，取CD的中点M，连接AM，

由条件知四边形BCMA为正方形，

，，

∵平面平面ABCD，平面ABCD，

平面平面，平面PAD，

平面PAD，；

（2）过点P作交AD的延长线于点E，如图，

∵平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，

∴平面ABCD.

设，则，，

，

，，，

为等腰三角形，易得边上的高为，

，

，

.

【点睛】

本题主要考查线线垂直的证明和四棱锥的体积计算，考查考生的空间想象能力及运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算，属中档题.

20．已知圆，是圆M内一定点，动点P为圆M上任意一点，线段PN的垂直平分线l和半径MP相交于点C.

（1）求点C的轨迹方程；

（2）设直线与C交于不同两点A，B，点O为坐标原点，当的面积S取最大值时，求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根据几何关系可知，即点C的轨迹是一个以M，N为焦点的椭圆，由此可得椭圆方程；

（2）联立直线方程和椭圆方程可得，利用韦达定理和弦长公式可得，又点O到直线l的距离，由此可得面积，再利用基本不等式即可求出结果.

【详解】

（1）如图，由几何关系可得，，

即，所以点C的轨迹是一个以M，N为焦点的椭圆，

由题意知，，则，，，

故椭圆C的标准方程为；

（2）设，由得，

由韦达定理可得，，

点O到直线l的距离，

则

，

当且仅当，即时，S取得最大值.

【点睛】

本题考查与圆相关的轨迹方程和直线与椭圆的位置关系，要求学生在解决轨迹方程问题时要充分利用几何性质，减少运算难度，属难题.

21．已知函数，且.

（1）求a；

（2）设函数的导函数为，在函数的图像上取定两点，记直线AB的斜率为k，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】（1）先求导数，分析当时与题设矛盾；当时，研究其单调性并求出最小值，由题可知，，构造函数，求导求单调性可得最大值，由此得到；

（2）由（1）知时，，令，则，变形为，即，又，，，从而得证.

【详解】

（1），

当时，，则单调递增，又，则对一切，这与题设矛盾；

当时，令得.

当时，单调递减，当时，，单调递增，

故当时，取最小值.

于是对一切恒成立，当且仅当.①

令，则.

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

故当时，取最大值，因此，当且仅当时，①式成立.

综上所述，；

（2）由（1）知，

当单调递增，

当单调递减，

又由于，所以时，，

令，则，变形为，

所以，

又，

则，

所以.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的性质和证明不等式，着重考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属难题.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数，），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.点.

（1）写出曲线的普通方程和参数方程；

（2）曲线交曲线于A，B两点，若，求曲线的普通方程.

【答案】（1）曲线的普通方程为：，参数方程为：（为参数）；（2）曲线的普通方程为：或

【解析】（1）利用，将极坐标方程化为普通方程，进而可化为参数方程；

（2）曲线的参数方程代入曲线的普通方程，利用根与系数的关系列方程求出的值，进而可得曲线的普通方程．

【详解】

解：（1）

所以，曲线的普通方程为：

曲线的参数方程为：（为参数）

（2）将曲线的参数方程为代入曲线的普通方程为：

得：

或

所以曲线的普通方程为：或

【点睛】

本题考察极坐标方程和普通方程的互化，普通方程和参数方程的互化，考查了直线参数方程的应用，是基础题．

23．已知.

（1）求不等式的解集；

（2）的最小值为M，，，求的最小值.

【答案】（1）或；（2）

【解析】（1）将，求出的范围，进而可得的范围；

（2）首先求出的最小值，即可得的值，利用柯西不等式和基本不等式求的最小值.

【详解】

解：（1）∵，

，

不等式的解集为：；

（2），

所以，，

.

【点睛】

本题考查解绝对值不等式以及柯西不等式和基本不等式的应用，是中档题.