2020届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三上学期期末考试数学（文）试题

2019-2020学年秋四川省叙州区第一中学高三期末考试

文科数学试题

第I卷(选择题  共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）

1．已知复数是纯虚数（i是虚数单位），则实数a等于

A．-2 B．2 C． D．-1

2．设全集是实数集，，则

A．    B．      C．     D．

3．设等差数列前项和为，若，，则

A．18 B．16 C．14 D．12

4．函数的部分图象大致是

A．B．C．D．

5．“”是“直线与圆相切”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为

A．1：3 B．1：4 

C．1：5 D．1：6

7．设平面向量，，若与的夹

角为锐角，则的取值范围是

A．     B．     

C．        D．

8．已知是两条不同直线,是两个不同平面,下列命题中的假命题是

A．若则 B．若则

C．若则 D．若在内，则

9．将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），则所得图象的的一条对称轴方程为

A． B． C． D．

10．已知，且，则向量在方向上的投影为

A． B． C．1 D．

11．《张丘建算经》卷上一题为“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月（按30天计）共织布390尺，最后一天织布21尺”，则该女第一天共织多少布？

A．3 B．4 C．5 D．6

12．过抛物线焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于两点，若且，则的值为

A．8 B． C． D．4

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13．已知向量,,，若,则______．

14．当时，函数有最小值，则的值为________.

15．已知三棱锥中，,，则三棱锥的外接球的表面积为________________.

16．已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是           

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）

17．（12分）17．某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班（人数均为 人）进行教学（两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致），数学期终考试成绩茎叶图如下：

（I）现从乙班数学成绩不低于 分的同学中随机抽取两名同学，求至少有一名成绩为 分的同学被抽中的概率；

（Ⅱ）学校规定：成绩不低于 分的优秀，请填写下面的联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．

附：参考公式及数据

18.（12分）的内角A，B，C的对边分别为，已知.

（I）求B；

（II）若的周长为，求的面积.

19．（12分）如图1，在梯形中，，，，过，分别作的垂线，垂足分别为，，已知，，将梯形沿，同侧折起，使得平面平面，平面平面，得到图2.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积.

20．（12分）已知是椭圆与抛物线的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点．

（Ⅰ）求椭圆及抛物线的方程；

（Ⅱ）设过且互相垂直的两动直线，与椭圆交于两点，与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值

21．（12分）已知函数（是自然对数的底数）.

（Ⅰ）讨论极值点的个数；

（Ⅱ）若是的一个极值点，且，证明：.

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.  [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中.已知曲线(为参数)，.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线.

（I）写出直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（Ⅱ）在曲线上取一点，使点到直线的距离最大，求最大距离及此时点的坐标.

23．设.

（I）解不等式；

（Ⅱ）已知x，y实数满足，且的最大值为1，求a的值.

2019-2020学年秋四川省叙州区第一中学高三期末考试

文科数学试题参考答案

1．C 2．A 3．C 4．B 5．C 6．A 7． B 8．C 9．B 10．A 11．C 12．A

13．   14．  15．        16．

17．（I）乙班数学成绩不低于分的同学共有名,其中成绩为分的同学有两名,画数状图(略)知,从中随机抽取两名同学共有种,至少有一名成绩为分的同学被抽中的事件数为种,所求概率为.                                            

(Ⅱ)如图所示

由知, 可以判断：有把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.   18．（Ⅰ）,

，

,

，

.

,

.

(Ⅱ)由余弦定理得，

，

，

，

.  

19．（1）设，取中点，连接，

∵四边形为正方形，∴为中点，

∵为中点，∴且，

因为平面平面，平面平面，，

平面，所以平面，

又∵平面平面，∴平面平面，同理，平面，

又∵，，∴，

∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，

∵平面，平面，∴平面.

（2）因为，平面，平面，所以

∴点到平面的距离等于点到平面的距离.

∴三棱锥的体积公式，可得.

20．（Ⅰ）抛物线：一点

，即抛物线的方程为，

又在椭圆：上

，结合知（负舍）， ，

椭圆的方程为，抛物线的方程为.

（Ⅱ）由题可知直线斜率存在，设直线的方程，

①当时，，直线的方程，，故

②当时，直线的方程为，由得.

由弦长公式知 .

同理可得.

.

令，则，当时，，

综上所述：四边形面积的最小值为8.

21．（Ⅰ）的定义域为，，

①若，则，

所以当时，；当时，，

所以在上递减，在递增.

所以为唯一的极小值点，无极大值，

故此时有一个极值点.

②若，令，

则，，

当时，，

则当时，；当时，；

当时，.

所以－2，分别为的极大值点和极小值点，

故此时有2个极值点.

当时，，

且不恒为0，

此时在上单调递增，无极值点

当时，，

则当时，；当时，

；当时，.

所以，－2分别为的极大值点和极小值点，

故此时有2个极值点.

综上，当时，无极值点；

当时，有1个极值点；

当或时，有2个极值点.

（Ⅱ）证明：若是的一个极值点，

由（Ⅰ）可知，

又，所以，

且，则，

所以.

令，则，

所以，

故

又因为，所以，令，得.

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以是唯一的极大值点，也是最大值点，

即，

故，即.

22．解：（1）的直角坐标方程为

曲线的普通方程为

（2）设，则

当时，最大，

，，

23．解：（1）当时，不等式化为，此时，

当时，不等式化为，成立，

当时，不等式化为，此时，

综上所述，原不等式的解集为；

（2）柯西不等式得，因为，

所以，（当时，取等号），

又因为的最大值为1，所以.