2020届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三上学期期末考试数学（理）试题

2019-2020学年秋四川省叙州区第一中学高三期末考试

理科数学试题

第I卷(选择题  共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）

1．已知复数是纯虚数（i是虚数单位），则实数a等于

A．-2 B．2 C． D．-1

2．设全集是实数集，，则

A．    B．      C．     D．

3．设等差数列前项和为，若，，则

A．18 B．16 C．14 D．12

4．函数的部分图象大致是

A．B．C．D．

5．“”是“直线与圆相切”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为

A．1：3 B．1：4 

C．1：5 D．1：6

7．设平面向量，，若与的夹

角为锐角，则的取值范围是

A．     B．     

C．        D．

8．已知是两条不同直线,是两个不同平面,下列命题中的假命题是

A．若则 B．若则

C．若则 D．若在内，则

9．将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），则所得图象的的一条对称轴方程为

A． B． C． D．

10．已知，且，则向量在方向上的投影为

A． B． C．1 D．

11．如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为

A． B． C． D．

12．过抛物线焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于两点，若且，则的值为

A．8 B． C． D．4

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13．已知向量,,，若,则______．

14．当时，函数有最小值，则的值为________.

15．已知三棱锥中，,，则三棱锥的外接球的表面积为________________.

16．已知函数，则关于不等式的解集为_______．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）

17.（12分）的内角A，B，C的对边分别为，已知.

（I）求B；

（II）若的周长为，求的面积.

18．（12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）

（1）应收集多少位女生样本数据？

（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.

（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.

附：

19．（12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.

20．（12分）已知是椭圆与抛物线的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点．

（1）求椭圆及抛物线的方程；

（2）设过且互相垂直的两动直线，与椭圆交于两点，与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值

21．（12分）已知函数（是自然对数的底数）.

（Ⅰ）讨论极值点的个数；

（Ⅱ）若是的一个极值点，且，证明：.

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.  [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中.已知曲线(为参数)，.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线.

(1)写出直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

(2)在曲线上取一点，使点到直线的距离最大，求最大距离及此时点的坐标.

23．设.

（1）解不等式；

（2）已知x，y实数满足，且的最大值为1，求a的值.

2019-2020学年秋四川省叙州区第一中学高三期末考试

理科数学试题参考答案

1．C 2．A 3．C 4．B 5．C 6．A 7．B 8．C 9．B 10．A 11．D 12．A

13．   14．  15．   16．

17．（Ⅰ）,

，

,

，

.

,

.

(Ⅱ)由余弦定理得，

，

，

，

.

18．（1）由分层抽样性质，得到；（2）由频率分布直方图得；（3）利用2×2列联表求.

试题解析：

（1）由，所以应收集90位女生的样本数据。       

（2）由频率发布直方图得，该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75.                                                                

（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以平均体育运动时间与性别列联表如下：

每周平均体育运动时间与性别列联表

结合列联表可算得

有95％的把握认为“该校学生的平均体育运动时间与性别有关”

19．（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．

由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD．

又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．

（2）在平面内作，垂足为，

由（1）可知，平面，故，可得平面.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

由（1）及已知可得，，，.

所以，，，.

设是平面的法向量，则

即可取.

设是平面的法向量，则

即可取.

则，

所以二面角的余弦值为.

20．（Ⅰ）抛物线：一点

，即抛物线的方程为，

又在椭圆：上

，结合知（负舍）， ，

椭圆的方程为，抛物线的方程为.

（Ⅱ）由题可知直线斜率存在，设直线的方程，

①当时，，直线的方程，，故

②当时，直线的方程为，由得.

由弦长公式知 .

同理可得.

.

令，则，当时，，

综上所述：四边形面积的最小值为8.

21．（Ⅰ）的定义域为，，

①若，则，

所以当时，；当时，，

所以在上递减，在递增.

所以为唯一的极小值点，无极大值，

故此时有一个极值点.

②若，令，

则，，

当时，，

则当时，；当时，；

当时，.

所以－2，分别为的极大值点和极小值点，

故此时有2个极值点.

当时，，

且不恒为0，

此时在上单调递增，无极值点

当时，，

则当时，；当时，

；当时，.

所以，－2分别为的极大值点和极小值点，

故此时有2个极值点.

综上，当时，无极值点；

当时，有1个极值点；

当或时，有2个极值点.

（Ⅱ）证明：若是的一个极值点，

由（Ⅰ）可知，

又，所以，

且，则，

所以.

令，则，

所以，

故

又因为，所以，令，得.

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以是唯一的极大值点，也是最大值点，

即，

故，即.

22．解：（1）的直角坐标方程为

曲线的普通方程为

（2）设，则

当时，最大，

，，

23．解：（1）当时，不等式化为，此时，

当时，不等式化为，成立，

当时，不等式化为，此时，

综上所述，原不等式的解集为；

（2）柯西不等式得，因为，

所以，（当时，取等号），

又因为的最大值为1，所以.