四川省泸县第五中学2020届高三下学期第四学月考试数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com2020年春四川省泸县第五中学高三第四学月考试

文科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】∵集合，集合

∴

故选C

2.复数z1＝2+i，若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z1z2＝（    ）

A. ﹣5 B. 5 C. ﹣3+4i D. 3﹣4i

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意可知，再利用复数的运算法则即可得出.

【详解】由题意可知，所以.

故选：A.

【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于容易题.

3.双曲线的渐近线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

直接由双曲线的渐近线的定义，即可求出渐近线方程.

【详解】由双曲线的方程可得，，焦点在轴上，

所以渐近线的方程为：，

故选：B.

【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.已知双曲线的标准方程，求双曲线的渐近线时，要先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后再确定双曲线的渐近线方程.

4.为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：

①样本数据落在区间的频率为0.45；

②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；

③样本的中位数为480万元.

其中正确结论的个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】

根据直方图求出，求出的频率，可判断①；求出的频率，可判断②；根据中位数是从左到右频率为的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间的比例，求出中位数，判断③.

【详解】由，，

的频率为，①正确；

的频率为，②正确；

的频率为，的频率为，

中位数在且占该组的，

故中位数为，③正确.

故选:D.

【点睛】本题考查补全直方图，由直方图求频率和平均数，属于基础题

5.已知，向量在向量上的投影为1，则与的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据条件可得出，从而得出，这样根据向量夹角的范围即可求出夹角．

【详解】解：在上的投影为：，

，

又，

．

故选：．

【点睛】考查投影的计算公式，向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角的方法，属于基础题．

6.已知一条对称轴为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据是的一条对称轴，求得，再根据的范围，即可求出值.

【详解】是的一条对称轴，

，，

，，

故选：A.

【点睛】本题主要考查三角函数的性质，考查运算求解能力，熟练掌握正弦型函数的对称轴是解答本题的关键，属于基础题.求解正弦型函数的对称轴，只需令，即可解出正弦型函数的对称轴为.

7.疫情期间，一同络平台听网课，在家坚持学习.某天上午安排了四节网课，分别是数学，语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育.现在，他准备在上午下午的课程中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

用列举法列出所有基本事件以及满足条件的基本事件，用古典概型概率公式即可求得概率.

【详解】将数学、语文、政治、地理分别记为，将英语，历史，体育分别记为，

在上午下午的课程中各任选一节，所有的可能为：

，，，，，，，，，

，，共12种情况.

选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的情况有，，，，，，，共8种情况.

所以，所求概率为，

故选：C.

【点睛】本题考查了古典概型，属于基础题.利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本事件的探求方法有两种，（1）枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的情况；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.

8.已知，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据对数函数的图像以及性质，即可容易判断大小，根据指数函数的性质，即可判断的范围，据此即可得到结果.

【详解】画出的图象如下所示：

由图可知，

又因为

故可得，则.

综上所述：.

故选：A.

【点睛】本题考查利用对数函数的图像以及指数函数的单调性比较大小，属基础题.

9.已知函数在为单调递增函数，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

要使分段函数在上是增函数，必须每一段都是增函数，且整体也是增函数，故且，解得a的取值范围即可．

【详解】要使得函数在上为增函数，

则满足，故；

则a的取值范围为．

故选：C．

【点睛】本题考查了分段函数为增函数的条件，正确理解增函数的定义是关键，属于基础题．

10.已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，若面面，则三棱锥的体积最大值为(    )

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意画出图形，可得连接OC，OB，则，两三棱锥高的和的最大值为，再求出三角形OBC面积的最大值得答案．

【详解】如图，

连接OC，OB，则，

两三棱锥高的和的最大值为．

要使三棱锥的体积最大，则面积，取最大值时，

三棱锥的体积最大值为．

故选：A．

【点睛】本题考查球内接多面体体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查数学转化思想方法，是中档题．

11.若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象(  )

A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

【答案】B

【解析】

【分析】

由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，诱导公式，得出结论．

【详解】根据已知函数

其中，的图象过点，，

可得，，

解得：．

再根据五点法作图可得，

可得：，

可得函数解析式为：

故把的图象向左平移个单位长度，

可得的图象，

故选B．

【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．

12.已知函数，若对任意在区间上总存在唯一的零点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

将问题转化为与在仅有一个交点，利用导数可确定的单调性，进而得到的大致范围，根据恒成立的思想，可根据的范围最终确定的范围.

【详解】，

当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

在上总存在唯一的零点，即与在仅有一个交点，

，即，，

，，，即的取值范围为.

故选：.

【点睛】本题考查根据函数在区间内的零点个数求解参数范围的问题，涉及到恒成立思想的应用；关键是能够根据导数求得函数的单调性，进而确定与的关系.

第II卷 非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线在点处的切线方程为________.

【答案】

【解析】

【分析】

求导，求出切线的斜率 ，用直线方程的点斜式，即可求解.

【详解】,

所以切线方程为.

故答案为:.

【点睛】本题考查切线的几何意义，属于基础题.

14.已知，则_____________.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意，根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得的值．

【详解】，

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．

15.已知等比数列的前n项和满足，则________.

【答案】-2

【解析】

【分析】

根据前项和与通项关系，求出时数列的公比，结合是等比数列，此公比也满足关系，再由时，，即可求出结论.

【详解】解：，

故，在原式中令有，

，即.

故答案:-2.

【点睛】本题考查数列的前项和与通项的关系，属于基础题.

16.已知函数，有下列四个命题：

①函数是奇函数；   

②函数在是单调函数；

③当时，函数恒成立； 

④当时，函数有一个零点，

其中正确的是____________

【答案】③④

【解析】

【分析】

①根据与的关系即可判断；②当时,,对求导可得,设,显然连续,利用零点存在性定理可得存在,使得,即可判断时的单调性,进而判断②；由②可知当时,为的最小值,判断是否成立即可判断③；利用零点存在性定理即可判断④.

【详解】由题,的定义域为,

①,且,所以不是奇函数,故①错误；

②,当时,,

则,

令,则,,

所以存在,使得,

所以当时,,是单调减函数；

当时,,是单调增函数,

所以②错误；

③由②可知,当时,在上有最小值,且,

所以,

因为,

由,则,即,

所以,

所以当时,恒成立,故③正确；

④当时,,且,,

所以在内有一个零点,故④正确.

故答案为:③④

【点睛】本题考查函数奇偶性的判断,考查利用导函数判断函数的单调性,考查利用导函数处理不等式恒成立问题.

三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.某省确定从2021年开始，高考采用“”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目；“1”表示从物理、历史中任选一门；“2”则是从生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目.某高中从高一年级2000名学生（其中女生900人）中，采用分层抽样的方法抽取名学生进行调查.

（1）已知抽取的名学生中含男生110人，求的值及抽取到的女生人数；

（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调杳（假定每名学生在这两个科目中必须洗择一个科目且只能选择一个科目）.下表是根据调查结果得到的列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；

（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理”的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.

附：，其中.

【答案】（1），女生人数为；（2）列联表见解析，有的把握认为选择科目与性别有关，理由见解析；（3）

【解析】

【分析】

（1）利用公式：每层抽取数总人数抽样比计算；

（2）利用公式计算即可；

（3）采用枚举法，枚举出基本事件总数以及事件“2人中至少有1名女生”所包含的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式计算即可.

【详解】（1）因为，所以，女生人数为.

（2）列联表为：

的观测值，所以有的把握认为选择科目与性别有关.

（3） 从90个选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽6名， 这6名学生中有4名男生，

记为，，，；2名女生记为，.抽取2人所有的情况为、、

、、、、、、、、、、

、、，共15种，选取的2人中至少有1名女生情况的有、

、、、、、、、，共9种，故所求

概率为.

【点睛】本题考查简单随机抽样、独立性检验以及古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，第三问在枚举情况的时候要注意细心，不要漏掉任意一种情况，本题属于基础题.

18.记为数列的前n项和，已知.

（1）求的值及的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

【答案】（1）；，， （2）

【解析】

【分析】

（1）由与的关系，当时，求出，将代入，求出，再由，即可求出；

（2）由（1）得，，裂项相消求和，即可求得结论.

【详解】解：（1）当时，

，

故，

即，

又，

故对任意，.

（2）由题知，

则前n项和

.

【点睛】本题考查数列的前项和与通项的关系，考查裂项相消法求数列和，属于基础题.

19.如图，四棱锥的底面是平行四边形，是等边三角形且边长是4，.

（1）证明：；

（2）若，求四棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】

取AP中点M，连接DM，BM，由等腰三角形的性质可得，，再由线面垂直的判定可得平面进一步得到；

由知，平面BDM，求出三角形BDM的面积，得到三棱锥的体积，进一步求得四棱锥的体积．

【详解】证明：取AP中点M，连接DM，BM，

，，

，，

，平面DMB．

又平面DMB，

由知，平面BDM，

在等边三角形PAB中，由边长为4，得，

在等腰三角形ADP中，由，，得，

又，，得．

．

则．

．

【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．

20.已知抛物线焦点为，直线过与抛物线交于两点.到准线的距离之和最小为8.

（1）求抛物线方程；

（2）若抛物线上一点纵坐标为，直线分别交准线于.求证：以为直径的圆过焦点.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意及抛物线定义，可知，从而可求出抛物线方程；

（2）当直线与轴垂直时，求出，坐标，进而证得以为直径的圆过焦点；当直线与轴不垂直时，设出直线方程，点和点坐标，并与抛物线方程联立，

 借助根与系数的关系以及向量数量积的坐标表示，证得，从而证出以为直径的圆过焦点.

【详解】（1）到准线的距离之和等于到焦点的距离之和，即为，

最小为通径，所以，解得，

所以抛物线方程为.

（2）抛物线焦点，准线方程：，

由点纵坐标为，得，

当直线与轴垂直时，

直线方程为，此时，， ，

直线：，直线：，

所以，，，

所以，圆心坐标为，半径，

焦点到圆心距离，

此时，以为直径的圆过焦点.

当直线与轴不垂直时，

设直线，设，

，得，，，

直线为代入准线得：

同理可得

，

所以，所以焦点在以为直径的圆上.

综上，以为直径的圆过焦点.

【点睛】本题考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系以及向量数量积的坐标表示，属于中档题.解决直线与圆锥曲线的位置关系的题型时，要注意韦达定理的应用.

21.已知函数在定义域内有两个不同的极值点．

（1）求实数的取值范围；

（2）设两个极值点分别为，，证明：.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）求出，令，则，分和两种情况讨论

（2）由（1）可知，，所以，要证：，即证，然后构造函数即可.

【详解】（1）由题意可知，的定义域为 且

令

则函数在定义域内有两个不同的极值点等价于

在区间内至少有两个不同的零点

由可知，

当时，恒成立，即函数在上单调，不符合题意，舍去. 

当时，由得，，即函数在区间上单调递增；

由得，，即函数在区间上单调递减；

故要满足题意，必有  解得：

（2）证明：由（1）可知，，所以

故要证：

即证：

即证：不妨设，即证

构造函数：  ，其中

由，所以函数在区间内单调递减，

所以，原式得证.

【点睛】本题考查了由极值点个数求参数的范围及利用导数证明不等式，属于较难题.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求和的直角坐标方程；

（2）设点，直线交曲线于两点，求的值.

【答案】（1）:,:（2）

【解析】

【分析】

（1）消去得到直线方程，再利用极坐标公式化简得到答案.

（2）将直线的参数方程代入，化简得到，利用韦达定理计算得到答案.

【详解】（1）直线的参数方程为（其中为参数），消去可得；

由，得，则曲线的直角坐标方程为.

（2）将直线的参数方程代入，得，

设对应的参数分别为，则，

.

【点睛】本题考查了直线的参数方程，极坐标，利用直线的参数方程的几何意义可以快速得到答案，是解题的关键.

23.已知函数．

（1）解不等式；

（2）若，对，，使成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)；(2).

【解析】

【分析】

（1）对x分类讨论，将不等式转化为代数不等式，求解即可；

（2）分别求出函数的最值，利用最值建立不等式，即可得到实数的取值范围．．

【详解】解：（1）不等式等价于或或

解得或或，所以不等式的解集为．

（2）由知，当时，；

，

当且仅当时取等号，

所以， 解得． 故实数的取值范围是．

【点睛】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．