2020届四川省泸州市泸县第二中学高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2020届四川省泸州市泸县第二中学高三上学期期末考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先解不等式得集合A与B，再根据交集定义得结果.

【详解】

根据题意：集合，集合，

故选：．

【点睛】

本题考查一元二次不等式与对数不等式解法以及交集的定义，考查基本分析求解能力，属基础题.

2．“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】log2（2x﹣3）＜1，化为0＜2x﹣3＜2，解得．

∴“log2（2x﹣3）＜1”是“”的充分不必要条件．

3．小张刚参加工作时月工资为元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少元，则目前小张的月工资为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据条形图求得刚参加工作的月就医费，从而求得目前的月就医费；利用折线图可知目前月就医费占收入的，从而可求得月工资.

【详解】

由条形图可知，刚参加工作的月就医费为：元

则目前的月就医费为：元

目前的月工资为：元

本题正确选项：

【点睛】

本题考查利用统计图表求解数据的问题，属于基础题.

4．中所在的平面上的点满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】已知，由向量的减法可得，再化简运算即可.

【详解】

解：因为，

所以，

所以，

故选D．

【点睛】

本题考查了向量的减法，重点考查了向量的线性运算，属基础题.

5．函数的图像大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先判断函数为偶函数排除；再根据当时， ，排除得到答案.

【详解】

，偶函数，排除；

当时， ，排除

故选：

【点睛】

本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案.

6．已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据，以及和，即可求解出的值.

【详解】

因为，所以，

所以，所以，

所以，所以.

故选：C.

【点睛】

本题考查根据向量的模长以及垂直关系求解向量夹角，难度较易.已知向量的模长求解向量的夹角时，可通过数量积计算公式进行化简求解.

7．已知角的终边经过点，则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先求出点P到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．

【详解】

角的终边经过点p（﹣1，），其到原点的距离r2

故cos，sin

∴sin cos.

故选B．

【点睛】

本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．

8．已知双曲线的离心率为，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点(4，1)得另一个方程，联立可得.

【详解】

因为离心率为，所以①；因为点(4，1)在双曲线上，所以②；

因为③；联立①②③可得，故选C.

【点睛】

本题主要考查双曲线方程的求解，根据已知条件建立方程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用.

9．数列中，已知且则

A．19 B．21 C．99 D．101

【答案】D

【解析】利用累加法及等差数列的求和公式可求.

【详解】

因为，所以，，.

上面各式相加可得，故选D.

【点睛】

本题主要考查数列通项公式的求解，利用累加法求解数列通项公式时注意数列项数的变化.

10．将函数的图像向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（  ）

A．函数的最大值为 B．函数的最小正周期为

C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增

【答案】D

【解析】根据平移变换和伸缩变换的原则可求得的解析式，依次判断的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果.

【详解】

函数向右平移个单位长度得：

横坐标伸长到原来的倍得：

最大值为，可知错误；

最小正周期为，可知错误；

时，，则不是的对称轴，可知错误；

当时，，此时单调递增，可知正确.

本题正确选项：

【点睛】

本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.

11．已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由和都是定义在上的偶函数，可推导出周期为4，而，即可计算.

【详解】

因为都是定义在上的偶函数，所以，即，又为偶函数，所以，所以函数周期，

所以，故选B.

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期求函数值，属于中档题.

12．已知函数，若，都大于0，且，则的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先求导，判断函数的单调性，由此得到，，变形化简，即可得到的取值范围。

【详解】

， ，

当时，，当时，；

因为，都大于0，且，

所以，

即，，

变形有，，

所以，

即，故，选A。

【点睛】

本题主要考查利用导数判断函数的单调性，以及单调性定义的应用，意在考查学生逻辑推理和数学运算能力。

二、填空题

13．若x，y满足约束条件，则的最大值为______．

【答案】10

【解析】作出不等式组表示的平面区域，利用线性规划知识求解。

【详解】

作出不等式组表示的平面区域如下：

作出直线，当直线往下平移时，变大，

当直线经过点时，

【点睛】

本题主要考查了利用线性规划求目标函数的最值知识，考查作图及计算能力，属于基础题。

14．若向量(，1)，(1，﹣3)，则在方向上的投影为_____．

【答案】

【解析】分别求出和，利用即可计算出结果.

【详解】

，，

∴在方向上的投影为：．

故答案为：

【点睛】

本题考查平面向量的投影及其计算，考查学生对投影的理解和计算，属基础题.

15． “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，尺，为的中点，，寸，则圆柱底面的直径长是_________寸”．（注：l尺=10寸）

【答案】26

【解析】

由勾股定理，代入数据即可求得．

【详解】

解：∵，，

∵ 寸，

∴ 寸，

在中，∵，

∴ ，

∴ 寸，

∴ 圆柱底面的直径长是寸．

故答案为：26．

【点睛】

考查了学生对勾股定理的熟练应用，考查了数形结合思想，属于基础题．

16．已知抛物线的焦点为，直线与交于 ，两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为____．

【答案】

【解析】由题意结合抛物线的定义和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.

【详解】

如图所示，设抛物线的准线为，作于点，于点，

由抛物线的定义可设：，

由勾股定理可知：，

由梯形中位线的性质可得：，

则：.

当且仅当时等号成立.

即的最小值为.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义及其应用，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题

17．某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001~900.

（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001~090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为025，求样本中所有成绩编号之和；

（2）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层.已知该校高三学生有540人选做A题目，有360人选做B题目，选取的样本中，A题目的成绩平均数为5，方差为2，B题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25.

（i）用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差；

（ii）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5.从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率.

【答案】(1)4300；(2) （i）平均数为5.2，方差为1.36.（ii）

【解析】（1）根据系统抽样的特征,各个编号成等差数列,根据等差数列的首项与公差即可求得前10项的和.

（2）根据分层抽样特征可知抽出的样本中A题目的成绩有6个,B题目的成绩有4个.求出10名学生的总成绩,即可得10名学生的平均成绩.根据所给A题目和B题目的平均数和方差,将方差公式变形,即可求得10名学生的成绩方差.从选取的成绩可知,A题目中超过平均成绩的有3人,B题目超过平均值的有2人,根据古典概型概率求法,用列举法把所有情况列举出来,即可得解.

【详解】

（1）由题易知,若按照系统抽样的方法,抽出的编号可以组成以25为首项,以90为公差的等差数列,故样本编号之和即为该数列的前10项之和,

所以.

（2）（i）由题易知,若按照分层抽样的方法,抽出的样本中A题目的成绩有6个,按分值降序分别记为,,…,；B题目的成绩有4个,按分值降序分别记为,,,.

记样本的平均数为,样本的方差为.由题意可知,

,

,

所以,估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2,方差为1.36.

（ii）本选做题阅卷分值都为整数,且选取的样本中,A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5,易知样本中A题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个,分别为,,,B题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个,分别为,.

从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种10方法,为：

,,,,,,,,,,

其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有6种,为：

,,,,,,

记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据,取到的两个成绩来自不同题目”为事件,

所以.

【点睛】

本题考查了简单随机抽样中的系统抽样与分层抽样的方法与特征,平均数及方差的求法,古典概型概率的求法.方差公式的应用与变形是解决问题的关键,属于中档题.

18．如图，菱形ABCD的边长为a，∠D＝60°，点H为DC边中点，现以线段AH为折痕将△DAH折起使得点D到达点P的位置且平面PHA⊥平面ABCH，点E，F分别为AB，AP的中点.

（1）求证：平面PBC∥平面EFH；

（2）若三棱锥P﹣EFH的体积等于，求a的值.

【答案】（1）见解析；（2）a＝2

【解析】（1）分别证明EH∥平面PBC和EF∥平面PBC，再由EF∩EH＝E，即可证明结论；

（2）根据条件求出AH，DH＝PH＝CH，然后证明PH⊥平面ABCH，又点F为AP的中点，则S△PEF＝S△AEF，故VH－PEF＝VH－AEF，则，据此计算求解即可.

【详解】

（1）证明：菱形ABCD中，∵E，H分别为AB，CD的中点，∴BE∥CH，BE＝CH，

∴四边形BCHE为平行四边形，则BC∥EH，又EH⊄平面PBC，∴EH∥平面PBC，

又点E，F分别为AB，AP的中点，则EF∥BP，又EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC，

由EF∩EH＝E，∴平面EFH∥平面PBC；

（2）在菱形ABCD中，∠D＝60°，则△ACD为正三角形，

∴AH⊥CD，AH，DH＝PH＝CH，

折叠后，PH⊥AH，又平面PHA⊥平面ABCH，平面PHA∩平面ABCH＝AH，从而PH⊥平面ABCH．

在△PAE中，点F为AP的中点，则S△PEF＝S△AEF，∴VH－PEF＝VH－AEF，

而VH－PEF+VH－AEF＝VH－PAE，

∴

，

∴a3＝8，即a＝2．故a＝2．

【点睛】

本题考查面面平行和椎体体积的相关问题，面面平行证明的关键是在一个平面中找两条相交的直线，它们都平行于另一个平面，属中档题.

19．设数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）在中，将代得： ，由两式作商得：，问题得解。

（2）利用（1）中结果求得，分组求和，再利用等差数列前项和公式及乘公比错位相减法分别求和即可得解。

【详解】

（1）由n＝1得，

因为，

当n≥2时，，

由两式作商得：（n＞1且n∈N），

又因为符合上式，

所以（n∈N）．

（2）设，

则bn＝n＋n·2n，

所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1＋2＋…＋n）＋

设Tn＝2＋2·22＋3·23＋…+（n－1）·2n－1＋n·2n，①

所以2Tn＝22＋2·23＋…（n－2）·2n－1＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，②

①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，

所以Tn＝（n－1）·2n＋1＋2．

所以，

即．

【点睛】

本题主要考查了赋值法及方程思想，还考查了分组求和法及乘公比错位相减法求和，考查计算能力及转化能力，属于中档题。

20．已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线，与以右焦点为圆心，半径为的圆相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）线段是椭圆过右焦点的弦，且，求的面积的最大值以及取最大值时实数的值.

【答案】（1）；（2）3，1.

【解析】（1）由圆与直线相切可得圆心到直线的距离等于半径，求出，根据椭圆离心率，求出a，进而求出b，得到椭圆得方程。

（2）分类讨论思想，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合二次函数得最值，确定当直线MN与x轴垂直时的面积最大。

【详解】

（1）设，，

则直线的方程为：，即.

∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，解之得.

∵椭圆的离心率为，即，所以，所以，

∴椭圆的方程为.

（2）由（1）得，，

由题意得直线的斜率不为0，故设直线的方程为：，

代入椭圆方程化简可得，

恒成立，

设，，则，是上述方程的两个不等根，

∴，.

∴的面积

设，则，，则，.

令，则恒成立，

则函数在上为减函数，故的最大值为，

所以的面积的最大值为，当且仅当，即时取最大值，

此时直线的方程为，即直线垂直于轴，此时，即.

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系，考查分类讨论的思想。圆与直线的位置关系有三种，可用代数法和几何法进行判断。

21．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，设函数有最小值，求的值域.

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】（1）先求出，分和两种情形，利用导数的符号判断函数的单调性即可.

（2）求出并将其化简为，构建新函数，利用（1）的单调性及零点存在定理可得有唯一的，它就是函数最小值点，利用导数可求该最小值的值域.

【详解】

解：（1）定义域为，

.

令，①

，

当时，，，

即且不恒为零，故单调递增区间为，，

当时，，方程①两根为，，

由于，

.

故，

因此当时，，单调递增，

，，单调递减，

，，单调递减，

，，单调递增，

综上，当时，在单调递增，单调递增，

当时，在单调递增，

，单调递减；

在单调递增.

（2），

设，

由（1）知，时，在单调递增，

由于，，

故在存在唯一，使，

，

又当，，即，单调递减，

，，即，单调递增，

故时，

，.

又设，，

，

故单调递增，故，

即，即.

【点睛】

（1）一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．

（2）求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判断，有时导数的零点不易求，则需要虚设零点，利用零点满足的方程化简函数的极值（或最值）．

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线相交于两点，若，求值．

【答案】（1）；（2）或

【解析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则即可求得结果；（2）将直线参数方程代入曲线直角坐标方程，可求得和，根据直线参数方程参数的几何意义可知，代入可求得结果.

【详解】

（1）由，得

，即

（2）将直线的参数方程代入曲线的方程得：

设是方程的根，则：，

∴

，又

    或

【点睛】

本题考查了简单曲线的极坐标方程、直线参数方程的几何意义的应用，关键是能够根据几何意义将已知弦长表示为韦达定理的形式，构造出关于的方程，属中档题．

23．已知函数，.

（1）求函数的值域；

（2）若函数的值域为，且，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先化简得到分段函数f(x)，再求出分段函数的值域得解；（2）对a分类讨论，根据得到实数a的取值范围.

【详解】

（1）函数可化简为

可得当时，.

当时，.

当时，.

故的值域.

（2）当时，，，，所以不符合题意.

当时，因为，所以函数的值域，

若，则，解得或，从而符合题意.

当时，因为，所以函数的值域，

此时一定满足，从而符合题意.

综上，实数的取值范围为.

【点睛】

本题主要考查绝对值函数的值域的求法，考查集合之间的关系和参数范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.