2020届四川省泸州市第四中学高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2020届四川省泸州市第四中学高三上学期期末考试

数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由得，，又因为，，故选B.

2．“”是“”的（ ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】试题分析：由不等式的性质知“”是真命题，但反过来，若，不能得出，如，但，因此选A.

【考点】充分必要条件.

3．某家庭去年收入的各种用途占比统计如下面的折线图，今年收入的各种用途占比统计如下面的条形图.已知今年的“旅行”费用比去年增加了3500元，则该家庭今年“衣食住”费用比去年增加了（  ）

A．2000元 B．2500元 C．3000元 D．3500元

【答案】B

【解析】根据折线图与条形图可得，即，从而得到“衣食住”费用的变化情况.

【详解】

设该家庭去年的收入为元，今年的收入为元，

由题意得， ，解得，

今年“衣食住”费用比去年多元，

故选B.

【点睛】

本题考查对条形图和折线图的认识和应用，考查分析问题解决问题的能力．

4．函数的大致图象为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】判断函数的奇偶性和对称性，利用的符号进行排除即可．

【详解】

，

函数是奇函数，图象关于原点对称，排除

，排除，故选：．

【点睛】

本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.

5．在中，边上的中线的长为，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意得【点睛】

本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。

6．已知角的终边经过点，则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先求出点P到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．

【详解】

角的终边经过点p（﹣1，），其到原点的距离r2

故cos，sin

∴sin cos.

故选B．

【点睛】

本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．

7．若=，=2，且（），则与的夹角是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】,,所以与的夹角是  .

8．在数列 中，，则的值为 （    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】 ，以上等式相加得 ， 。故选C。

9．已知函数为的导函数，则下列结论中正确的是 (  )

A．函数的值域与的值域不同

B．存在，使得函数和都在处取得最值

C．把函数的图象向左平移个单位，就可以得到函数的图象

D．函数和在区间上都是增函数

【答案】C

【解析】根据辅助角公式化简可得f（x）sin（x），求导化简可得g（x）sin（x），结合三角形的函数的图象和性质即可判断

【详解】

，值域为：［－，］，

，值域为：［－，］，

两函数的值域相同，所以，A错误；

B选项，不存在x0，使得函数f（x）和g（x）都在x0处取得极值点，B错误；

C选项，的图像向右平移个单位：与相同，C正确；

求出单调递增区间可知，在区间上不是增函数，D错误。

故选：C

【点睛】

本题考查了导数的应用和三角函数的图象和性质，属于中档题.

10．己知点，分别为双曲线的左、右顶点，点在双曲线上，若是顶角为的等腰三角形，则双曲线的方程为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】分析：由条件可得，不妨设点M在双曲线的右支上，由题意可得等腰△ABM中，且，由此可得点M的坐标，然后根据点M在双曲线上可得，故可得曲线方程．

详解：由题意得，故双曲线的方程为．

设点M在双曲线的右支上且在第一象限，

则在等腰△ABM中，有且，

∴点M的横坐标为，纵坐标为，

∴点M的坐标为．

又点在双曲线上，

∴，解得，

∴双曲线的方程为．

故选D．

点睛：对于圆锥曲线中的特殊几何图形的问题，解题时要根据题意将几何图形的性质转化为曲线中的有关系数的问题处理，如根据等腰三角形可得线段相等、底边上的高与底边垂直等．

11．定义在上的函数满足，当时，当时，则=（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据函数的周期性，将函数值进行转化即可．

【详解】

解：，为以6为周期的周期函数.

当时，

当时，，

， ， ，

， ， ，

，

．

故选：．

【点睛】

本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性，进行转化是解决本题的关键．

12．椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得出、关于的等式，从而可得出、的关系式.

【详解】

设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，焦距为，在中，由余弦定理得，

由椭圆和双曲线的定义得，解得.

代入，

得，

即，，

即，，因此，.

故选：B.

【点睛】

本题考查共焦点和共交点的椭圆和双曲线的综合问题，要充分结合椭圆、双曲线的定义以及余弦定理列等式求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

二、填空题

13．已知实数满足约束条件，则的最大值为_____

【答案】

【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的最大值．

【详解】

解：作出实数满足约束条件，对应的平面区域如图：（阴影部分）

由的得，平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．由解得．代入目标函数得．即的最大值为：．

故答案为．

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．

14．已知，，且∥，则实数___________.

【答案】

【解析】根据向量坐标的运算可得，，根据向量平行即可求出.

【详解】

由己知得，，，

由于∥,

所以

得.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量平行的充要条件，属于中档题.

15．若正三棱柱的棱长均相等，则与侧面所成角的正切值为___.

【答案】

【解析】试题分析：设棱长为1.取中点,连接,根据正三棱柱的特点,,根据线面角的定义可知,为与侧面所成角,在中，.

【考点】线面角的定义.

16．若过点可作曲线的切线恰有两条，则的最小值为__________

【答案】

【解析】求出f（x）的导数，设切点（x0，f（x0）），求得切线的方程，代入切点，整理化简可得2x03﹣（3+3a）x02+6ax0+b=0（）由条件切线恰有两条，方程（）恰有两根．令u（x）=2x3﹣（3+3a）x2+6ax+b，求出导数，求得极值点，令其中一个极值为0，可得3a+b=1，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值．

【详解】

f′（x）=3x2﹣6x，

过点P（a，b）作曲线的切线，

设切点（x0，f（x0）），则切线方程为：y﹣b=（3x02﹣6x0）（x﹣a），

将（x0，f（x0））代入得：f（x0）=（3x02﹣6x0）（x0﹣a）+b=x03﹣3x02，

即2x03﹣（3+3a）x02+6ax0+b=0（）   

由条件切线恰有两条，方程（）恰有两根．

令u（x）=2x3﹣（3+3a）x2+6ax+b，u′（x）=6x2﹣（6+6a）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1），

可得u（1）=0或u（a）=0，

即有3a+b=1或b=a3﹣3a2（舍去），

则=（3a+b）（）=4++≥4+2=4+2，

当且仅当b=a=时，取得等号．

即有的最小值为4+2，

故答案为：4+2

【点睛】

（1）本题考查导数的运用，考查求切线的方程和极值，考查基本不等式的运用（注意乘1法），考查转化思想和化简整理的运算能力．（2）本题的解题关键是常量代换，即把化成=（3a+b）（），再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.

三、解答题

17．已知数列的前项和为，，．

（1）求；

（2）求证:．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）由，得，两式相减整理得，然后利用累乘可得数列的通项公式．（2）由（1）可得，利用列项求和后利用放缩可得不等式成立．

试题解析：

（1）∵，

∴，

两式相减得，，

∴，

∴

又，满足上式．

∴．

（2）由（1）得．

∴

．

18．手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：

（1）求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；

（2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；

（3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间（150，170]的概率．

【答案】（1）125；（2）112；（3）

【解析】(1)由频率和为1,列出关于a的方程,然后求出的值,再利用中位数两边频率相等,求出中位数的值;

(2)根据一天行走步数不大于13000频率样本容量,求出频数;

(3)根据分层抽样原理抽取6人,利用列举法求出基本事件数,计算所求的概率值.

【详解】

解:(1)由题意,得,

所以.

设中位数为,则,

所以,所以中位数为125.

(2)由,

所以估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人.

(3)在区间,中有人,

在区间,中有人,

在区间,中有人,

按分层抽样抽取6人,则从,中抽取4人,,中抽取1人,,中抽取1人;

设从,中抽取职工为、、、,从,中抽取职工为,从,中抽取职工为,

则从6人中抽取2人的情况有、、、、、、、、、、、、、、共15种情况,它们是等可能的,

其中满足两人均来自区间,的有、、、、、共有6种情况,

所以两人均来自区间(150,170]的概率;

【点睛】

本题考查了利用频率分布直方图求中位数和古典概型的概率计算问题,属基础题.

19．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE翻折得到△ASE，且平面ASE⊥平面ABCE．

（1）求三棱锥B﹣CES的体积；

（2）设线段SC上一点G满足，在BE上是否存在点H使GH∥平面SAE？若存在，求出EH的长度；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2），理由见解析

【解析】(1)过作于,从而得到平面,进一步得到,由此求出三棱锥的体积.

(2)连接,交于,连接,推导出,由此能求出结果.

【详解】

解:(1)过作于,因为平面平面交线为,

所以平面.

在中由,得,

因为,所以.

所以三棱锥的体积为.

(2)连接,交于,连接,

因为,,

所以,所以,

又因为,所以,所以,所以.

又因为平面,平面,

所以平面,此时.

【点睛】

本题考查了折叠问题、三棱锥体积的求法和线面平行的判定定理,考查了转化思想和运算求解能力,属中档题.

20．已知函数在处取得极值.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）f（x）在（-∞，-1）递减；在（-1，+∞）递增；（2）.

【解析】【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，得到关于的方程，求出，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）问题等价于在[-2，2]上恰有两个不同的实根．令g（x）=xex+x2+2x，求出函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出m的范围即可．

试题解析：

（1）f'（x）=ex+xex+2ax+2，

∵f（x）在处取得极值， ∴f'（-1）=0，解得a=1．经检验a=1适合，

∴f（x）=xex+x2+2x+1，f'（x）=（x+1）（ex+2），

当x∈（-∞，-1）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（-∞，-1）递减；

当x∈（-1+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，+∞）递增．     

（2）函数y=f（x）-m-1在[-2，2]上恰有两个不同的零点，

等价于xex+x2+2x-m=0在[-2，2]上恰有两个不同的实根，

等价于xex+x2+2x=m在[-2，2]上恰有两个不同的实根． 

令g（x）=xex+x2+2x，∴g'（x）=（x+1）（ex+2），           

由（1）知g（x）在（-∞，-1）递减；  在（-1，+∞）递增．

g（x）在[-2，2]上的极小值也是最小值； ． 又，g（2）=8+2e2＞g（-2）， ∴，即．

点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.

21．已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为，且过点，圆是以线段为直径的圆，经过点且倾斜角为的直线与圆相切.

（1）求椭圆及圆的方程；

（2）是否存在直线，使得直线与圆相切，与椭圆交于两点，且满足？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）椭圆的方程为，圆的方程为；（2）不存在

【解析】【详解】

分析：（1）由题意得，再根据椭圆过点得到关于的方程组，求解后可得椭圆和圆的方程．（2）先假设存在直线满足条件．（ⅰ）当直线斜率不存在时，可得直线方程为，求得点的坐标后验证可得；（ⅱ）当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，结合根据系数的关系可得

不成立．从而可得不存在直线满足题意．

详解：(1)由题意知,,，圆的方程为

由题可知，解得 ，

所以椭圆的方程为，圆的方程为.

（2）假设存在直线满足题意.

由，可得，故．

（ⅰ）当直线的斜率不存在时，此时的方程为．

当直线时，可得

所以．

同理可得，当时，.

故直线不存在．

（ⅱ）当直线的斜率存在时，设方程为，

因为直线与圆相切，

所以，整理得①

由消去y整理得，

设，

则，，

因为，

所以，

则，即，

所以，

所以，

整理得②

由①②得，此时方程无解.

故直线不存在．

由（i）（ii）可知不存在直线满足题意.

点睛：圆锥曲线中存在性问题的求解步骤

假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．

22．在平面角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，将曲线向左平移个单位长度得到曲线.

（1）求曲线的参数方程；

（2）已知为曲线上的动点，两点的极坐标分别为，求的最大值.

【答案】（1）曲线的参数方程为（为参数）；（2）.

【解析】试题分析：（1）题设给出的是曲线的极坐标方程，把它变形为后利用把后者化为，向左平移2个单位长度后得到曲线 ，其方程为，其参数方程为 （为参数）.（2）两点的直角坐标为，利用（1）算出的曲线的参数方程计算，利用辅助角公式可以求其最大值.

解析：（1）,则曲线的直角坐标方程为，易知曲线为圆心是，半径为的圆，从而得到曲线的直角坐标方程为  ，故曲线的参数方程为 .

（2）两点的直角坐标分别为  ，依题意可设  ，则  ，

，故的最大值为.

23．设函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＞1解集;（2）根据题意可得|x+2|-|x-1|+4≥|1-m|有解，即|x+2|-|x-1|+4 的最大值大于或等于|1-m|，再利用绝对值的意义求得|x+2|-|x-1|+4 的最大值，从而求得m的范围．

试题解析：

（1）函数可化为

当时，，不合题意；当时，，即；当时，，即.综上，不等式的解集为.

（2）关于的不等式有解等价于，由（1）可知，（也可由，得），即，解得.