2020届吉林省长春汽车经济技术开发区第六中学高三上学期第一次月考数学（文）试卷

2020届吉林省长春汽车经济技术开发区第六中学高三上学期第一次月考数学（文）试卷

考试说明： 1.考试时间为120分钟，满分150分，选择题涂卡。

  2.考试完毕交答题卡。

第Ⅰ卷

一、选择题（本题包括12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）

1．已知集合，，则

A．    B．    C．   D．

2.若，则

A．        B．    C．    D．

3.已知向量 =(2，3)，=(3，2)，则=

A． B．2               C．5  D．50

4.设、均为单位向量，则“”是“⊥”的

A.充分而不必要条件     B.必要而不充分条件

C.充分必要条件      D.既不充分也不必要条件

5．函数在[0，2π]的零点个数为

A．2   B．3  C．4 D．5

6．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=

A．16 B．8 C．4     D．2

7．已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则

A．a=e，b=–1 B．a=e，b=1 C．a=，b=1 D．a=，

8.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=

A．   B．         C．   D．

9.若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=

A．2          B．              C．1          D．

10.已知，则a，b，c的大小关系为

A.    B.        C.      D.

11.已知定义在R上的函数满足，在区间上是增函数，且函数为奇函数，则

A.     B.

C.     D.

12.记不等式组表示的平面区域为D．命题；命题．下面给出了四个命题

①    ②   ③   ④

这四个命题中，所有真命题的编号是

A．①③   B．①②   C．②③   D．③④

第Ⅱ卷

二、填空题（本题包括4个小题，共20分）

13．设向量＝(4sin α，3)，＝(2，3cos α)，且∥，则锐角=_______

14.设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．

15. 已知函数，，则________

16.若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.

三、解答题：（17题到21题每题12分，选考题10分，共70分）

17.在△ABC中，a=3，，cosB=．

（1）求b，c的值；

（2）求sin（B+C）的值．

18.某食品工厂甲、乙两个车间包装某种饼干，在自动包装传递带上每隔15分钟抽取一袋饼干称其重量，测得数据如下（单位：g）

甲：100,  96， 101,  96， 97

乙：103,  93,  100,  95,  99

（1）这是哪一种抽样方法？

（2）估计甲、乙两个车间的平均数与方差，并说明哪个车间的产品更稳定。

19.设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．

（1）求{an}的通项公式；

（2）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．

20.如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．

（1）证明：平面平面；

（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．

21．已知函数．

（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；

（2）证明：当时，．

选考题（从22,23题中选择1题作答）

22(4-4)．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为

ρ＝2sinθ．

(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

(2)若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．

23(4-5)．设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围．

文科数学答案

1. C   2.B   3．A   4.C   5.B 6．C 7．D   8.D   9.A   10.A   11．B   12．A

13.   14.   15.   16.

17.解：（1）由余弦定理，得

．

因为，

所以．

解得．

所以．

（2）由得．

由正弦定理得．

在中，．

所以．

18．（1）系统抽样（2）甲车间的产品更稳定

试题解析：（1）系统抽样 

（2） 

故 ， 所以甲车间的产品更稳定。

19.解：（1）设的公差为．

因为，

所以．

因为成等比数列，

所以．

所以．

解得．

所以．

（2）由（Ⅰ）知，．

所以，当时，；当时，．

所以，的最小值为．

20．解：（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．

因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．

因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．

又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．

而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．

（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．

证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．

连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．

MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．

21．解：（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–．

由题设知，f ′（2）=0，所以a=．

从而f（x）=，f ′（x）=．

当0<x<2时，f ′（x）<0；当x>2时，f ′（x）>0．

所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．

（2）当a≥时，f（x）≥．

设g（x）=，则

当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．

故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．

因此，当时，．

22.(1)由得直线l的普通方程为x＋y－3－＝0．

又由ρ＝2sinθ，得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5．

(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3－t)2＋(t)2＝5，即t2－3t＋4＝0．由于Δ＝(3)2－4×4－2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1＋t2＝3，t1·t2＝4．又直线l过点P(3，)，A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3．

23．解：

（1）当时，

可得的解集为．

（2）等价于．

而，且当时等号成立．故等价于．

由可得或，所以的取值范围是．