2020届吉林省长春六中、八中、十一中等省重点中学高三12月联考数学（文）试题（解析版）

2020届吉林省长春六中、八中、十一中等省重点中学高三12月联考数学（文）试题

一、单选题

1．若集合，，则（     ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】先解不等式求出集合M和N,再根据交集的运算求出.

【详解】

解:∵,,

∴.

故选:.

【点睛】

本题考查了交集的运算,指数不等式和一元二次不等式的解法,属基础题.

2．若实数，满足，，则的取值范围是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】先求出-2b的范围,再根据不等式的性质求出a-2b的范围.

【详解】

解:∵,∴,∴.

又∵,∴,

∴的取值范围(-2,3).

故选:A.

【点睛】

本题考查了不等式的基本性质,属基础题.

3．若，则下列不等式中恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据,利用不等式的性质和取特殊值可得正确选项.

【详解】

解:∵,∴,∴B正确,A错误;

取,,则,故CD错误.

故选:B.

【点睛】

本题考查了不等式的基本性质,属基础题.

4．关于“，则，至少有一个等于”及其逆命题的说法正确的是（     ）

A．原命题为真，逆命题为假 B．原命题为假，逆命题为真

C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题

【答案】D

【解析】通过举反例,可说明原命题和其逆命题都是假命题.

【详解】

解:若,,则,故原命题为假;

若,,则,故其逆命题为假.

故选:D.

【点睛】

本题考查了命题真假的判断,关键是根据条件举出反例,属基础题.

5．若数列中的项按一定规律变化，则实数最有可能的值是（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据数列前几项可知,数列满足从第二项起,每一项与其前一项的差都为3,从而得到x的可能值.

【详解】

解:根据数列可知,从第二项起,每一项与前一项的差等于,

∴.

故选:C.

【点睛】

本题考查了归纳推理和等差数列的定义,属基础题.

6．已知平面向量，满足，，且，则向量在方向上的投影是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据数量积的几何意义可知，在方向上的投影为||与向量，夹角的余弦值的乘积，即可求得答案．

【详解】

设向量与的夹角是，

则向量在方向上投影为.

故选：

【点睛】

本题考查向量投影的定义，熟练记准投影的求解公式是解决问题的关键，属基础题．

7．若实数，满足，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】直接利用基本不等式即可得出．

【详解】

因为，

当且仅当时等号成立，

所以，故的最大值是，

故选：

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，注意等号成立的条件，属于基础题．

8．若实数，满足不等式组，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入目标函数得答案．

【详解】

画出不等式组，表示的平面区域如下图阴影区域：

令，则，

据图分析知，当直线过原点O时，

即，时，取得最大值，且，

即，

故选：

【点睛】

本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

9．已知二次函数满足，若在区间上单调递减，且恒成立，则实数的取值范围是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设,根据可得,再根据在区间上单调递减,可知,进一步求出恒成立时,m的取值范围.

【详解】

解:设,

∵,∴,

∴,∴,∴.

又∵在区间上单调递减,∴,

∴是以为对称轴,开口向下的二次函数,

∴由恒成立,得,

∴实数的取值范围[0,6].

故选:.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质和不等式恒成立问题,属基础题.

10．已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列前项的和为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意可得奇数项之和减去首项后，除以偶数项之和，可得公比，再根据等比数列的前n项和公式计算得答案．

【详解】

由题意项数为奇数，∴奇数项之和减去首项后，除以偶数项之和，可得公比，

则，

∴等比数列前项和.

故选：.

【点睛】

本题考查了等比数列的前n项和公式，考查了等比数列中奇偶项的关系，是中档题．

11．函数的图像大致为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对f(x)求导,判断其单调性,然后结合时,,时,选出正确答案.

【详解】

解:由,得,

令,则,∴当x<0或时,;当时,,

∴在和上单调递减,在上单调递增,

又当时,;当时,,且.

故选:.

【点睛】

本题考查了根据函数的解析式确定函数的图象和利用导数研究函数的单调性,考查了数形结合思想,属中档题.

12．下列表述正确的是（    ）

①；

②若，则；

③若，，均是正数，且，，则的值是；

④若正实数，满足，且，则，均为定值

A．①②③ B．②④ C．②③ D．②③④

【答案】D

【解析】利用基本不等式和不等式的基本性质分别判断各项即可.

【详解】

解:①当时,,则,

当且仅当,即时取等号,故.

∵,∴当时,,故①不正确;

②若,则,则,故②正确;

③令,则,,,

∴,∴,∴.

∵,,,∴且,∴.

设,则,

又∵,∴,故③正确;

④,∵,,∴.

∵,∴,又,∴,

解方程组,得,故④正确.

故选:.

【点睛】

本题考查了利用基本不等式求最值和不等式的基本性质,考查了转化思想和方程思想,属中档题.

二、填空题

13．若数列是首项为，公差为的等差数列，则该数列中最接近于零的是第__________项．

【答案】

【解析】由已知可得数列的通项公式，令通项等于0，解得的估计值．

【详解】

据题意，得，

令，得到，又，

∴该数列最接近于零的是第项.

故答案为：8.

【点睛】

本题题考查等差数列的通项公式，考查了分析问题解决问题的能力，属基础题．

14．若函数，则不等式的解集是__________．

【答案】

【解析】根据分段函数的表达式，对进行分类讨论分别列出不等式组，求解即可．

【详解】

据题意，得或，

解得或，

∴所求不等式的解集是.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式，对进行分类讨论是解决本题的关键．

15．已知函数满足，若，则不等式的解集为__________．

【答案】

【解析】根据知,f(x)的周期为10,从而得到,再根据,解出不等式即可.

【详解】

解:∵,∴f(x)的周期为10,又,

∴,

∴由不等式,得,∴,

∴不等式的解集为.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了函数的周期性和对数不等式的解法,考查了转化思想,属基础题.

16．已知以区间上的整数为分子，以为分母的数组成集合，其所有元素的和为；以区间上的整数为分子，以为分母组成不属于集合的数组成集合，其所有元素的和为；……依此类推以区间上的整数为分子，以为分母组成不属于，…的数组成集合，其所有元素的和为，若数列前项和为，则__________．

【答案】

【解析】根据题意可得,从而得到,然后求出-即可.

【详解】

解:据题意,得,,

,

…,

,

∴,

∴,

∴.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了数列前n项和的求法和归纳推理,考查了计算和推理能力,属中档题.

三、解答题

17．已知函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）若将函数的图象沿轴向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式，结合函数的周期公式求解即可．

（2）根据图象平移关系求出g（x）的解析式，结合正弦函数的单调性进行求解即可．

【详解】

（1）∵，

，

，

，∴最小正周期T．

（2）据（1）求解知，，

∴

令，

∴，

∴，

∴所求的单调递增区间为.

【点睛】

本题主要考查两角和的正弦公式的应用，函数y＝Asin（ωx+）的图象变换规律，复合三角函数的单调性，属于中档题．

18．已知函数

（1）若函数的值域为，求实数的值；

（2）若对任意的成立，求实数的取值范围。

【答案】（1）1；（2）

【解析】(1)根据函数的值域为,可得,从而求出a的值;

(2)对任意的成立等价于对任意的成立,因此只需,然后求出的最小值即可得到a的范围.

【详解】

解:(1)∵函数的值域为,

∴,∴.

(2)∵对任意的成立,

∴对任意的成立,

∴对任意的成立,∴只需.

∵当时,,

∴.

∴实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查了根据函数的值域求参数的值和不等式恒成立问题,考查了转化思想和计算能力,属中档题.

19．已知在公比为的等比数列中，，.

（1）若，求数列的通项公式；

（2）当时，若等差数列满足，，，求数列的前项的和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据题意列出关于首项与公比的方程，求解，即可得出数列的通项公式．

（2）由q＜1，可得数列的通项公式，进而求得及，最后利用裂项相消法求的前n项和.

【详解】

（1）据题意，得，

解得或，

又∵

∴

∴

∴；

（2）据（1）求解知时，，

∴，

∴，，

∴，，

∴等差数列的公差，

∴，

∴

∴，

∴数列的前项和.

【点睛】

本题主要考查等差、等比数列的通项公式以及利用裂项相消法求数列的和，考查学生的运算能力．

20．已知在中，角，，的对边分别是，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求面积的最大值。

【答案】（1）；（2）

【解析】(1)根据,利用正弦定理将边化为角,进一步求出角;

(2)根据条件由余弦定理,可得,再结合,求出bc的范围,进一步求出面积的最大值.

【详解】

解:(1)∵,∴,

又∵,∴,

∴,∴,

∵,∴,

又,∴

(2)由(1)知,,

∵,∴由余弦定理,有,∴.

∵, ∴,

∴,当且仅当时等号成立,

∴,

∴三角形的面积的最大值为.

【点睛】

本题考查了正弦定理,余弦定理,面积公式和均值不等式,考查了转化思想和计算能力,属中档题.

21．已知等差数列的所有项和为，且该数列前项和为，最后项的和为.

（1）求数列的项数；

（2）求的值.

【答案】（1）50；（2）30

【解析】(1)根据条件结合等差数列的性质可得,再根据的所有项和为,即可求出项数n的值;

(2)根据(1)求出的首项和公差d,然后将用和d表示,再求出其值.

【详解】

解:(1)由题意,得,,

∴,

根据等差数列性质,可知,

∴,∴,

又的所有项和为,∴,

∴,即数列的项数为.

(2)由(1)知,,即,∴,

∴

.

【点睛】

本题考查了等差数列的性质和前n项和公式,考查了转化思想和方程思想,属基中档题.

22．已知函数且.

（1）讨论函数的极值；

（2）若，求函数在区间上的最值.

【答案】（1）当时，极大值，不存在极小值；当时，极小值，不存在极大值；

（2）当时，最大值为，最小值为；

当时，最大值为，最小值为；

当时，最大值为，最小值为；

当时，最大值为，最小值为；

当时，最大值为，最小值为.

【解析】（1）对函数求导，利用导数分类研究函数的单调性，进而得到极值．

（2）对a分类讨论，分别研究极值点与区间端点的关系，利用导数研究函数单调性极值与最值，即可得出结论．

【详解】

（1）因为，

所以，

讨论：

当时，令，得，令，得，

所以当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以当时，函数存在极大值，不存在极小值

当时，令，得，令，得，

所以当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以当时，函数存在极小值，不存在极大值.

（2）据（1）求解知，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

讨论：

当，即时，函数在区间上单调递减，

所以函数在区间上的最大值，最小值；

当，即时，函数在区间上单调递增，

所以函数在区间上的最大值，最小值；

当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以函数在区间上的最小值，最大值为与的较大者.

下面比较与的大小：

令，得，化简得，

所以或.

又，

所以，

所以当时，，函数在区间上的最大值；

所以当时，，函数在区间上的最大值；

所以当时，，函数在区间上的最大值；

综上，当时，函数在区间上的最大值为，最小值为；

当时，函数在区间上的最大值为，最小值为；

当时，函数在区间上的最大值为，最小值为；

当时，函数在区间上的最大值为，最小值为；

当时，函数在区间上的最大值为，最小值为.

【点睛】

本题考查了利用导数研究其单调性极值、最值的求法，涉及到分析法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．