2020届吉林省长春汽车经济技术开发区第六中学高三上学期第一次月考数学（理）试卷

2020届吉林省长春汽车经济技术开发区第六中学高三上学期第一次月考数学（理）试卷                      

考试说明： 1.考试时间为120分钟，满分150分。   

 2.考试完毕只交答题卡。

第Ⅰ卷

一、选择题（本题包括12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）

1．1．已知集合，，则=（   ）

A．       B．        C．（0,3）      D．（1,3）

2．若Z=（1+i）i（为虚数单位），则的虚部是（   ）

A．1 B．-1 C．i D．-i

3．若∈R，且。则“≠”是“≠”的（    ）

A．充分而不必要条件             B．必要而不充分条件

C． 充要条件                    D．既不充分又不必要条件

4．设等差数列的前项和为 ，是方程的两个根，则（   ）

A． B． C． D．

5．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（ ）

A．0             B．2               C．4                D．14

6．已知双曲线C：的渐近线方程为，且其右焦点为（5,0），则双曲线C的方程为（   ）

A．     B．     C．      D．

7．动点满足，则的最小值为（    ）

A．0                B．1                C．3                D．5

8．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 （   ）

  A．       B．      C．      D．      

9. （其中，，）的图象如图，为了得到的图象，只要将的图象

A．向左平移个单位长度     B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度      D． 向右平移个单位长度

10. 函数的零点个数为 （   ）

A．0 B．1 C．2 D．3

11. 若，且，则的值为(　　)

A．               B．              C．                D．

12. 若函数满足，则称为区间上的一组正交函数.给出四组函数：① ；    ② ；

③ ；  ④. 其中为区间上的正交函数的组数为（   ）       

 A．0              B．1                 C．2                D．3

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）

13. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是         ．

14. 二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为___________.

15.                

16. 定义在R上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，为数列的前项和，则=          .

三、解答题（17题—21题每题12分，22、23、24题选作10分，共70分。解答时请写出必要的文字说明，方程式和重要的演算步骤）

17．已知向量，，函数，。

（1）求函数的最小正周期；

（2）在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值。

18．如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，、分别为、中点．

（1）求证：；  

（2）求二面角的大小．

19.中国乒乓球队备战东京奥运会热身赛.种子选手与，，三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响.

（1）若至少获胜两场的概率大于，则入选征战里东京运会的最终大名单，否则不予入选，问是否会入选最终的大名单？

（2）求获胜场数的分布列和数学期望.

20.已知椭圆E：（）的离心率e=，并且经过定点P（，）．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足•=，若存在求m值，若不存在说明理由．

21．设函数。

（1）如果，求函数的单调递减区间；

（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（3）证明：当m>n>0时，。

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.

22．选修4-4 极坐标参数方程

在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为,半径为,以坐标原点为极点,x轴

的正半轴为极轴建立极坐标系.,直线l的参数方程为: （为参数)

(1)求圆C和直线l的极坐标方程;

(2)点的极坐标为，直线l与圆C相交于，求的值。

23.选修4-5 不等式选讲

    已知函数。

(1)当时，求不等式的解集；

(2)设，且当时，，求的取值范围．

                         答案

1．已知集合，，则=（   ）

A． B．

C．（0,3） D．（1,3）

答案：D

2．若（为虚数单位），则的虚部是（   ）

A．1 B．-1 C． D．

答案：B

3．若a∈R，且。则“a≠”是“|a|≠”的（    ）

A．充分而不必要条件     B．必要而不充分条件

C．充要条件             D．既不充分又不必要条件

答案：B

4．设等差数列的前项和为  、是方程的两个根，则（   ）

A． B． C． D．

答案：D

5．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（ ）

A．0   B．2   C．4   D．14

【答案】B

6．已知双曲线C：的渐近线方程为，且其右焦点为（5,0），则双曲线C的方程为（   ）

A． B．

C． D．

答案：B

7.动点满足，则的最小值为（  ）

A．0                B．1                C．3                D．5

答案：C

8．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 （   ）

A． B． C． D．

答案：C

9．（其中，，）的图象如图，为了得到的图象，只要将的图象

A．向左平移个单位长度     B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度      D． 向右平移个单位长度

答案：A

10．函数的零点个数为 （   ）

A．0 B．1 C．2 D．3

答案：A

11．若，且，则的值为(　　)

A．            B．       C．         D．

答案：A

12.若函数满足，则称为区间上的一组正交函数．给出四组函数：① ； ② ；③ ；  ④.其中为区间上的正交函数的组数为         A．0    B．1     C．2   D．3

答案：C

13. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是         ．

答案

14.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为        。

答案：-1

15.在矩形ABCD中，            。

答案：12

16. 定义在R上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，为数列的前项和，则=          .

答案：3

17、（本小题12分）已知向量，，

函数，。

（1）求函数的最小正周期；

（2）在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值。

答案：解：（1）    --------2分

∴函数的最小周期                            ----------4分

（2）

                 -------------6分

       ------------7分

      是三角形内角

      ∴，  ∴ 即： -------------8分

      ∴  即：     ----------------10分

      将可得： 解之得：

      ∴     

      ，      ∴                       ------------12分

18．如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，、分别为、中点．

（1）求证：；

（2）求二面角的大小．

答案：（1）连结,根据等边三角形三线合一可证得,由中位线可得,即可得, 根据线面垂直的判定定理可证得平面,从而可证得．（2）由面面垂直的性质定理可证得平面,从而可得证,根据线面垂直的判定定理可证得平面,过做垂直与，连接，则．根据二面角的定义可知即为所求,在中求即可．

试题解析：（1）连结，，．，，．

又 ，平面,平面,．

（2）平面平面，平面平面，，平面．

,又，平面     平面,

过做垂直与，连接，则   为所求二面角的平面角

则：，，则，故二面角的大小

19.中国乒乓球队备战里东京运会热身赛暨选拔赛于2016年7月14日在山东威海开赛.种子选手与，，三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响.

（1）若至少获胜两场的概率大于，则入选征战里东京运会的最终大名单，否则不予入选，问是否会入选最终的大名单？

（2）求获胜场数的分布列和数学期望.

【答案】（1）会入选最终的大名单；（2）

（2）获胜场数的可能取值为0,1,2,3，则

，……………………………………………………7分

……………………………………………………………………………………………………………………8分

…9分

………………………………………………………………………10分

所以获胜场数的分布列为：

……………………………………………………………………………………………………………………11分

数学期望为.………………………………………………12分

20.已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，）．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足•=，若存在求m值，若不存在说明理由．

【解答】解（Ⅰ）由题意：且，又c2=a2﹣b2

解得：a2=4，b2=1，即：椭圆E的方程为（1）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）

（*）

所以

=

由，

得

又方程（*）要有两个不等实根，

所以m=±2．

21、（本小题12分）设函数。

（1）如果，求函数的单调递减区间；

（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（3）证明：当m>n>0时，。

答案：解：（1）的定义域为     

当时，

当。所以的单调递减区间为。

（2）①当时，   ∴在（—1，+）上是增函数   

②当时，令，当时，得

所以的递增区间为                  

又因为在区间上单调递增

所以，由此得                    

综上，得                              

（3）要证：只需证

只需证

设，                                     

则            

由（1）知：即当时，在单调递减，

即时，有，―――――――12分

∴，所以，即是上的减函数，    

即当m>n>0，∴，故原不等式成立。      

22．在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为,半径为,以坐标原点为极点,x轴

的正半轴为极轴建立极坐标系.,直线l的参数方程为: （为参数)

(1)求圆C和直线l的极坐标方程;

(2)点的极坐标为，直线l与圆C相交于，求的值。

答案：解：圆的直角坐标方程为

代入圆得：

化简得圆的极坐标方程：   ……………… 3分

由得  

的极坐标方程为            ……………… 5分

（2）由得点的直角坐标为

直线的参数的标准方程可写成……………… 6分

代入圆得：                 

化简得：

                    ……………… 8分

           ………………   10分

23．已知函数。

(1)当时，求不等式的解集；

(2)设，且当时，，求的取值范围．

23.（1）当时，………………2分

       由得：

       ①得

       ②得

       ③得…………………………………………5分

       综上：不等式的解集为………………………………6分

  （2）

       ……………………………………7分

       由得：即

       依题意：

       即……………………………………………………9分

       的取值范围是……………………………………………………10分