2023届吉林省长春市第六中学高三上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023届吉林省长春市第六中学高三上学期第一次月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届吉林省长春市第六中学高三上学期第一次月考数学试题 一、单选题1．已知集合，，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式，求出，从而求出交集.【详解】，解得：，所以，因为，所以故选：A2．命题“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】将特称命题的否定改为全称命题即可【详解】命题“，”的否定是“，”，故选：D3．定义在R上的偶函数，对任意的，都有，，则不等式的解集是A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题目所给条件判断出函数的单调区间和零点，画出函数的大致图像，由此判断出正确选项.【详解】由于对任意的，都有，所以函数在上为减函数，由于函数是上的偶函数，故函数在上递增，且，由此画出函数大致图像如下图所示，由图可知，不等式的解集是.故选D.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.4．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函数的定义域判断A，由函数奇偶性及反比例函数单调性判断B，由特殊值判断C，根据导数判断函数的单调性判断D.【详解】对于A，由可知，即，故定义域不关于原点对称，函数不是奇函数，故选项A不正确；对于B，由知定义域为，关于原点对称， ，所以是奇函数，由在上单调递减，所以在上单调递增，所以在上单调递增，故选项B正确；对于C，由知，函数定义域为，关于原点对称，，所以是奇函数，因为，故在上不单调，故选项C不正确；对于D，，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，故选项D不正确；故选：B.5．已知向量，，若，则（　　）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵，∴.∴，即，∴,，故选B.【考点定位】向量的坐标运算 6．函数的图象大致是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函数值的正负排除B，由函数的奇偶性排除C，由函数在时的变化趋势排除D．从而得正确选项．【详解】由题意，排除B；又，不是偶函数也不是奇函数，排除C；当时，，排除D．故选：A．【点睛】本题考查函数函数解析式选取函数图象，解题方法是排除法，通过研究的性质，函数值的正负，变化趋势等排除错误选项，后可得正确选项．7．若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数得到函数为增函数，由题意可得，求解可得答案.【详解】解：在区间上恒成立在上单调递增又函数有唯一的零点在区间内即解得故选：A8．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用，转化，即得解【详解】由，可得可解的，故双曲线的渐近线方程为，故选：A.9．函数在区间的最小值、最大值分别为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.【详解】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D 10．在中，，，分别为内角，，的对边，若，，且，则（    ）A． B．4 C． D．5【答案】B【解析】由三角函数的基本关系式和，求得，再由正弦定理，得到，根据余弦定理，列出方程，即可求解.【详解】因为，则，所以，又因为，即，解得，又由，根据正弦定理，可得，由余弦定理，可得，整理得，即.故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档题．11．已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数，下列判断正确的是（    ）A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于直线对称【答案】C【分析】根据相邻两条对称轴之间的距离得出函数的最小正周期，由函数是偶函数，则的一条对称轴为，根据正弦函数的对称轴求出，将代入函数解析式，验证对称中心，将代入函数解析式，验证对称轴，由整体法结合正弦函数的单调性得出函数在上单调性，即可得出答案．【详解】图像相邻两条对称轴之间的距离为，即三角函数的周期为：,所以，即，所以,又是偶函数，故,即,又,解得,所以.对于选项A：最小正周期,故A错误；对于选项B： 当时，，不是正弦函数的对称中心，故B错误；对于选项C：由，故，由正弦函数图象可知，在上单调递增，故C正确由,对于选项D：当时，，故不是该函数的对称轴，故D错误；综上所述，选项C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了由正弦型函数的性质求解析式，对称轴，对称中心以及单调性，属于中档题．12．若且，且，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，求导，根据函数的单调性比大小即可.【详解】由，两边同时以为底取对数得，同理可得，，设，，则，，，，令，解得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，则，且，所以，故，故选：C. 二、填空题13．已知，则的值为______【答案】【分析】利用两角和差正切公式可求得，利用二倍角公式将所求式子构造为关于正余弦的齐次式，则配凑分母，分子分母同时除以可构造出关于的式子，代入求得结果.【详解】，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查关于正余弦的齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式的应用、同角三角函数关系的应用，属于常考题型.14．函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为___________.【答案】【分析】先求出定点，再将点代入直线中，结合基本不等式即可求解.【详解】解：函数的图像恒过定点所以又点在直线上所以，即当且仅当时，取等号.所以的最小值为故答案为：.15．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若为奇函数，则的最小值为_______．【答案】【分析】利用图象变换求得函数的解析式，由函数为奇函数，可得出关于的代数式，进而可求得正数的最小值.【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到的图象，由于函数为奇函数，则，，当时，正数取得最小值.故答案为：.【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，同时也考查了利用正弦型函数的奇偶性求参数，考查计算能力，属于中等题.16．已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】将零点问题转化为函数的与的交点个数问题，画出两函数的图象，利用导函数求出当直线与相切时的的值，数形结合求出实数的取值范围.【详解】作出函数的与图象如图：当时，，则，当为的切线时，即，解得，即切点为，代入得，故当时，函数与恰有三个交点，故恰有三个零点；当为的切线时，即，解得，即切点为，代入得，令当过原点时，，所以由图象可知：当时，满足函数与恰有三个交点，故恰有三个零点；综上的取值范围是．故答案为： 三、解答题17．已知是等差数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）设,求.【答案】(1) ； （2）.【分析】（1）利用基本量代换解得，可得通项公式；（2）求出，利用裂项相消法可得.【详解】（1）由，解得，所以.（2）由（1）可知：，所以，所以.18．某小区超市采取有力措施保障居民正常生活的物资供应．为做好日常生活必需的甲类物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图(如图)，现从小区超市某天购买甲类物资的居民户中任意选取5户．（Ⅰ）若将频率视为概率，求至少有两户购买量在单位：)的概率;（Ⅱ）若抽取的5户中购买量在单位：)的户数为2户，从这5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在单位：)的户数为ξ，求ξ的分布列和期望．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，数学期望为．【解析】（1）将频率视为概率，用户购买量在单位：)的概率为，至少有两户购买量在单位：)的对立事件是：有一户购买量在单位：)，没有用户在单位：)，利用对立事件的概率可求得答案.（2） 由题意得：的可能值为0，1，2，分别求随机变量取值的概率可得出分布列，再运用数学期望公式求得答案.【详解】（1）将频率视为概率，用户购买量在单位：)的概率为，则至少有两户购买量在单位：)的概率为；（2） 由题意得：的可能值为0，1，2，；；；ξ的分布列为 012P  ξ的数学期望为.【点睛】本题考查利用频率直方图求得概率，对立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.19．已知函数（）的最小正周期为.（1）求的值和函数的单调增区间；（2）求函数在区间上的取值范围.【答案】（1）；单调增区间为，；（2）.【解析】（1）先将函数解析式整理，得到，根据最小正周期，即可求出，由正弦函数的单调性，列出不等式求解，即可得出单调增区间；（2）先由，得到，根据正弦函数的性质，即可求出结果.【详解】（1），∵函数的最小正周期为，∴；∴，由，得，∴函数的单调增区间为，.（2）由得，所以，则.即的取值范围为.【点睛】本题主要考查由正弦型函数的周期求参数，考查求正弦型函数的单调区间，考查求正弦型函数在给定区间的值域，属于常考题型.20．在中，角的对边分别为，且满足．（Ⅰ）求角;（Ⅱ）若，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】(1)利用正弦定理边化角公式可得,再将整理可得；(2)根据余弦定理可得，，再由正弦、余弦定理的二倍角公式求得，根据余弦的差角公式可求得答案.【详解】（1）由正弦定理知，有，且，所以，由（1）得所以，，，，所以.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，以及正弦、余弦的二倍角公式，余弦的差角公式，属于中档题.21．如图，在四棱锥中，底面为正方形，⊥底面，，为的中点，为线段上的动点．（Ⅰ）求证：平面平面;（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由平面几何知识得再由线面垂直的性质得根据线面垂直的判定可证得AE⊥平面PAB，根据面面垂直的判定可得证．（Ⅱ）法1：取中点G，连结GE，GD，由二面角的定义得∠PDG为二面角的平面角，解三角形可求得答案；法2：以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方形的棱长为2，运用二面角的向量求解方法可求得答案.【详解】（Ⅰ）因为，E为PB中点，所以因为平面ABCD，所以由所以BC⊥平面PAB，所以，又所以AE⊥平面PAB，所以平面平面PAB．（Ⅱ）法1：取中点G，连结GE，GD，由，所以故平面EDC，因为PA⊥平面ABCD，所以由所以CD⊥平面PAD，所以所以∠PDG为二面角的平面角，在中所以；法2：以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方形的棱长为2，则有设平面PCD的一个法向量为平面ECD的一个法向量为有，，，又，，所以，由图示知二面角是锐角，所以二面角 P-DC-E的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，二面角的求解方法，属于中档题.22．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若时，，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）【分析】（1）求出函数的定义域，再对函数求导，然后分和判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间；（2）由，得，构造函数，然后利用导数求其最大值即可【详解】解：（1）因为，，，①当时，，则在上单调递增；②当时，↘↗ 即 在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，，即为 ，所以 ，令 ，即 ，又因为对于函数，，↘↗ 所以 ，即，所以 ，又，所以 故   .【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数讨论函数的单调性，利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是由已知条件将转化为，构造函数，再利用导数求其最大值，考查计算能力和转化思想，属于中档题