河北省衡水中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题 Word版含解析

2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题）

1. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是

A.  B.  C.  D.

2. 等差数列的前n项和为，已知，且，则等于

A. 100 B. 50 C. 0 D.

3. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为   

A.  B.  C. 1 D. 4

4. 在中，D是AB边上一点，，且，则的值为

A.  B.  C.  D.

5. 已知双曲线的离心率，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为

A.  B.  C.  D.

6. 已知角满足，则

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数的部分图象如图所示，则

A.
B.
C.
D.

 

8. 已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列且，则等于

A.  B.  C.  D.

9. 已知点P为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点I是的内心三角形内切圆的圆心，若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是

A.  B.  C.  D.

10. 函数向右平移个单位后得到，若在上单调递增，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数，若当时，有解，则m的取值范围为

A.  B.  C.  D.

12. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆：，圆：，点，若点A，B分别为圆和圆上的动点，且，N为线段AB的中点，则MN的最小值为   

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题（本大题共4小题）

13. 己知向量，，则在方向上的投影为______．
14. 若函数只有一个极值点，则k的取值范围为______．
15. 已知抛物线E：的焦点为F，准线为，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作，垂足为M，AM的中点为N，若，则______
16. 数列为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是，，，，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，，如此继续，则______．

三、解答题（本大题共6小题）

17. 己知的面积为，且且．
    求角A的大小；
    设M为BC的中点，且，的平分线交BC于N，求线段AN的长度．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知等差数列前n项和，等比数列前n项和为，，，．
    若，求数列的通项公式；
    若，求．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知点F为抛物线E：的焦点，点在抛物线E上，且．

求抛物线E的方程；
已知点，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．






 

20. 已知数列的各项均为正数，它的前n项和满足，并且，，成等比数列．
    求数列的通项公式；
    设，为数列的前n项和，求．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数，．

Ⅰ求函数的单调区间；

Ⅱ令两个零点，，证明：．






 

22. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的焦距为4，且过点．

求椭圆C的方程

设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M、N两点，问是否存在直线l，使得F为的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】【分析】
本题考查函数的单调性，奇偶性，是基础题．根据函数单调性，奇偶性，对选项逐一判断即可．
【解答】
解：对于A，函数满足，定义域关于原点对称，且在上单调递增，故A正确；
对于B，，定义域关于原点对称，函数为偶函数，但在上单调递减，故B错；
对于C，函数不是偶函数，故C错；
对于D，，定义域关于原点对称，函数为偶函数，但在上不是增函数，故D错；
故选A．
2.【答案】C
 

【解析】解：设等差数列的公差为d，又，
，
解得，
，
故选：C．
由题意可得公差d的方程，解得d值代入等差数列的求和公式计算可得．
本题考查等差数列的性质和求和公式，求出公差是解决问题的关键，属基础题．
3.【答案】C
 

【解析】【分析】
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件，化简运算能力，属于基础题．
求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a的方程，解方程可得所求值．
【解答】
解：的导数为，
可得在点处的切线斜率为，
由切线与直线垂直，可得，
即．
故选：C．
4.【答案】D
 

【解析】
解：由在中，D是AB边上一点，，
则，
即，
故选：D．
由平面向量的线性运算可得：，即，得解．
本题考查了平面向量基本定理及向量的线性运算，属中档题．
5.【答案】C
 

【解析】【分析】
本题主要考查椭圆，双曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．
先根据椭圆的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，再由离心率求出a的值，最后根据得到b的值，可得到渐近线的方程．
【解答】
解：椭圆的焦点为，
故双曲线中的，且满足，故，
，
所以双曲线的渐近线方程为
故选C．
6.【答案】D
 

【解析】【分析】
本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由已知利用诱导公式可求，根据诱导公式，二倍角公式化简所求即可计算得解．
【解答】
解：，
．
故选D．
7.【答案】C
 

【解析】解：由函数的部分图象，
可得，由，求得．
再根据五点法作图，可得，，，
，
故选：C．
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，从而求得的值．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题．
8.【答案】C
 

【解析】解：由，
得，
即，
即，
，，
则．
故选：C．
由条件利用等差数列的性质可得，求得  的值，再根据计算．
本题考查等差数列、等比数列的性质，求出是解题的关键，属于中档题．
9.【答案】D
 

【解析】解：设的内切圆半径为r，则，，
，
，
，
由双曲线的定义可知：，，
，即．
又，
双曲线的离心率的范围是
故选：D．
根据条件和面积公式得出a，c的关系，从而得出离心率的范围．
本题考查了双曲线的性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
10.【答案】D
 

【解析】解：函数向右平移个单位后得到，
令，整理得，
由于在上单调递增，
所以，解得，由于，所以．
同理，解得，由于，所以．
故：的取值范围是
故选：D．
首先利用三角函数关系式的平移变换的应用求出的关系式，进一步利用函数的单调性和子集间的关系的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，三角函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
11.【答案】C
 

【解析】解：，
令，解得，
当时，，当时， 0'/>，
在上递减，在上递增，
当时，，
又，，，
，
，
故选：C．
先求导，判断出函数的单调性，可得函数值的情况，即可求出m的取值范围．
本题考查了导数和函数单调性和最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
12.【答案】A
 

【解析】【分析】
本题主要考查直线和圆的位置关系，两点间的距离公式，圆的标准方程，属于中档题．
设、，由已知条件可得设AB中点为，则，利用线段的中点公式求得，再由的范围求得的范围，则的最小值可求．
【解答】
解：设、，则
，，
，即，
，
设AB中点，则，
，
，
即，
点的轨迹是以为圆心、半径等于的圆，
的取值范围是，，
的范围为，则的最小值为1．
故选：A．
13.【答案】1
 

【解析】解：向量，，
，，
在方向上的投影为，．
故答案为：1．
根据，，得在上的投影为，，求出，代入投影的公式计算即可．
本题考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
14.【答案】
 

【解析】解：函数只有一个极值点，
，
若函数只有一个极值点，只有一个实数解，
则：，
从而得到：，
当时，成立．
当时，设，，
如图：
当两函数相切时，，此时得到k的最大值，但时不成立．
故k的取值范围为：
综上：k的取值范围为：
故答案为：．
利用函数求导函数 ，只有一个极值点时只有一个实数解有，设新函数设，，等价转化数形结合法即可得出结论，
本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法，数形结合法，考查了推理能力，属于中档题．
15.【答案】16
 

【解析】【分析】
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．
由题意画出图形，得到直线AB的斜率，进一步求得直线AB的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案．
【解答】
解：由题意画出图形如图，

，N为AM的中点，且，
，则直线AB的倾斜角为，斜率为．
由抛物线，得，则直线AB的方程为．
联立，得．
则，
．
故答案为16．
16.【答案】1
 

【解析】解：由数列的构造方法可知，，，，
可得，即，
故．
故答案为：1．
由数列的构造方法可知，，，，可得，即，进而得出结论．
本题考查了数列递推关系、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：由题可得：；
的面积为，；
；
又；
．
如图

在中，AM为中线，；
由知；
，；
由余弦定理得．
；
；
又因为，
，
；
；
．
 

【解析】根据已知条件求出角的正切值，再结合角的范围即可求解；
先根据条件求出b，c，a；再借助于面积之间的关系求出CN，BN之间的比例关系，结合题中条件即可求解．
本题主要考查向量的数量积的应用以及三角形中的有关计算，属于中档题目．．
18.【答案】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由，，，，得
，解得．
；
由，，得，即或．
当时，，此时，，；
当时，，此时，，．
综上，或5．
 

【解析】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由已知列关于d和q的方程组，求得q，可得数列的通项公式；
由，列式求得q，然后分类求解．
本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和的应用，考查计算能力，是中档题．
19.【答案】解：由抛物线定义可得：，解得．
抛物线E的方程为；
解法一：证明：点在抛物线E上，
，解得，
不妨取，
又因为，
则可得直线AF的方程：，
联立，化为，
解得或，从而．
又，
，
，
，轴平分，
因此点F到直线GA，GB的距离相等，
以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
解法二：证明：点在抛物线E上，
，解得，
不妨取，
由，可得直线AF的方程：，
联立，化为，
解得或，从而．
又，
可得直线GA，GB的方程分别为：
，，
故点到直线GA的距离，
同理可得点到直线GB的距离．
因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
 

【解析】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及与圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识，属于中档题．
由抛物线定义可得：，解得即可得出抛物线E的方程．
解法一：由点在抛物线E上，解得m，不妨取，，可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为，解得又，计算，，可得，，即可证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
解法二：由点在抛物线E上，解得m，不妨取，，可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为，解得又，可得直线GA，GB的方程，利用点到直线的距离公式可得：点到直线GA、GB的距离，若相等即可证明此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
20.【答案】解：对任意，有当时，
有
当并整理得，
而的各项均为正数，所以．
当时，有，解得或2，
当时，，此时成立；
当时，，此时不成立；舍去．
所以，，
．
 

【解析】根据可类比的得到，然后两式相减得到，再由的各项均为正数，可得到，再由等差数列的通项公式法可得到答案．
先根据，可得到，再由等差数列的前n项和公式可得到答案．
本题主要考查数列递推关系式的应用和等差数列的求和公式的应用．考查综合运用能力．
21.【答案】Ⅰ解：由题可知，
，单调递增，且，
当时，，当时，；
因此在上单调递减，在上单调递增．
Ⅱ证明：由有两个零点可知
由且可知，
当时，，当时，；
即的最小值为，
因此当时，，
可知在上存在一个零点；
当时，，
可知在上也存在一个零点；
因此，即．
 

【解析】本小题考查函数与导数的相关知识．函数的单调性以及函数的最值的求法，零点判断定理的应用，是难题．
Ⅰ求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间；
Ⅱ求出的导数，求解函数的最小值，通过零点判断定理，转化两个零点，，所在位置，即可证明：．
22.【答案】解：由已知可得，
解得，，
所以椭圆C的方程为．

由已知可得，，，
，
，
可设直线l的方程为，代入椭圆方程整理，得
．
设，，则
，，
，
，
即．
，，
，
即．
，
或．
由，得．
又时，直线l过B点，不合要求，
，
故存在直线l：满足题设条件．
 

【解析】由已知列出关于a，b，c的方程组，解得a，b，c，写出结果即可；
由已知可得，，所以，因为，所以可设直线l的方程为，代入椭圆方程整理，得设，，由根与系数的关系写出两根之和和两根之积的表达式，再由垂心的性质列出方程求解即可．
本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，三角形的垂心等概念，属于中档题．