2023-2024学年湖北省宜昌市枝江重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省宜昌市枝江重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复平面内，复数z=i(2+i)的共轭复数对应的点位于
( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知两个向量a=(2,−1,3),b=(4,m,n)，且a/​/b，则m+n的值为( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
3.已知直线l1过A(2,−3)，B(4,0)，且l1⊥l2，则直线l2的斜率为( )
A. 23B. −23C. 12D. −12
4.同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记事件A=“点数之和为7”，事件B=“点数之和为3的倍数”，则( )
A. A+B为不可能事件B. A与B为互斥事件
C. AB为必然事件D. A与B为对立事件
5.在跳水比赛中，有8名评委分别给出某选手原始分，在评定该选手的成绩时，从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效分，这6个有效分与8个原始分相比较，下列说法正确的是( )
A. 中位数，平均分，方差均不变B. 中位数，平均分，方差均变小
C. 中位数不变，平均分可能不变，方差变小D. 中位数，平均分，方差都发生改变
6.如图所示，等腰梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′=2B′C′=4 2，则平面图形ABCD的面积为( )
A. 12 2
B. 12
C. 6 2
D. 6
7.已知直线l：(m+3)x+(m−2)y−m−2=0，点A(−2,−1)，B(2,−2)，若直线l与线段AB相交，则m的取值范围为( )
A. (−∞,−4]∪[2,4]B. [−2,2]C. [−32,8]D. (4,+∞)
8.在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△DAC沿对角线AC折起得三棱锥D−ABC.当三棱锥体积最大时，此三棱锥D−ABC的外接球的表面积为( )
A. 5πB. 4πC. 5π3D. 5π6
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如图饼图：下列说法正确的是( )
A. 产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍
B. 产品升级后，产品B的营收是升级前的2倍
C. 产品升级后，产品C的营收减少
D. 产品升级后，产品B、D营收的总和占总营收的比例不变
10.小明参加文学社、话剧社、辩论社的社团招新面试，已知三个社团面试成功与否互不影响，文学社面试成功的概率为13，话剧社面试成功的概率为12，辩论社面试成功的概率为23，则( )
A. 文学社和话剧社均面试成功的概率为56B. 话剧社与辩论社均面试成功的概率为13
C. 有且只有辩论社面试成功的概率为29D. 三个社团至少一个面试成功的概率为89
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A>0,ω>0,|φ|0)对称，则2m+5n的最小值是______ ．
15.在△ABC中，AB=2AC，点D是边BC上的一点，且BD=2，CD=1，当△ABC的面积最大时，则tan∠ABC=______．
16.如图，在矩形ABCD中，AB= 2AD=4，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，AC与BD交于点O，现将△AEH，△BEF，△CFG，△DGH分别沿EH，EF，FG，GH把这个矩形折成一个空间图形，使A与D重合，B与C重合，重合后的点分别记为M，N，Q为MN的中点，则多面体MNEFGH的体积为 ；若点P是该多面体表面上的动点，满足PQ⊥ON时，点P的轨迹长度为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足c=3，csB=13．
(1)若a=1，求b的大小；
(2)若满足S△ABC=2 2，求a及sinA的值．
18.(本小题12.0分)
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1，E为棱C1D1的中点．
(1)求直线CE与直线BD1所成角的余弦值；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，满足CE⊥EP？若存在，请指出点P的位置；若不存在，请说明理由．
19.(本小题12.0分)
为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，记第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到如下频率分布直方图：
(1)求出频率分布直方图中的a值和这200人的年龄的中位数及平均数；
(2)从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率．
20.(本小题12.0分)
已知直线l1：x+y−4=0，l2：x−y+2=0和直线l3：ax−y+1−4a=0．
(1)若存在一个三角形，它的三条边所在的直线分别是l1，l2，l3，求实数a的取值范围；
(2)若直线l经过l1和l2的交点，且点M(−1,2)到l的距离为2，试求直线l的方程．
21.(本小题12.0分)
如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，点D，E分别为AC，AA1的中点，ΔECB的面积为2 2．
(1)求点A到平面EBC的距离；
(2)AA1=2AB，平面EBC⊥平面ABB1A1，求平面DBE与平面BEC1所成角的余弦值．
22.(本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上的圆C经过点A(3,0)，且被y轴截得的弦长为2 3.经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点．
(1)求圆C的方程；
(2)若点P(−5,0)，直线PM与圆C的另一个交点为R，直线PN与圆C的另一个交点为S，分别记直线l、直线RS的斜率为k1，k2，求证：k2k1为定值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：在复平面内，复数z=i(−2+i)=−1−2i的共轭复数z−=−1+2i对应的点(−1,2)位于第二象限，
故选：B．
利用复数的运算法则、共轭复数及其几何意义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数及其几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了空间向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由a/​/b，则存在实数k使得a=kb，建立方程组即可得出．
【解答】
解：∵a/​/b，
∴存在实数k使得a=kb，
∴2=4k−1=km3=kn,
解得k=12，m=−2，n=6，
则m+n=4．
故选C．
3.【答案】B
【解析】解：直线l1过A(2,−3)，B(4,0)，且l1⊥l2，
设直线l1斜率为k1，直线l2斜率为k2，
因为直线l1过A(2,−3)，B(4,0)，
所以l1斜率为k1=−3−02−4=32，
因为l1⊥l2，所以k1⋅k2=−1，
所以k2=−23，即直线l2的斜率为−23．
故选：B．
利用A(2,−3)，B(4,0)求出直线l1斜率，利用l1⊥l2可得斜率乘积为−1，即可求解．
本题考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：同时抛掷两颗骰子，有36个结果，
事件A=“点数之和为7”，包括：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，
事件B=“点数之和为3的倍数”，包括：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，
故A+B为“点数之和为7或3的倍数”，不是不可能事件，故A错误，
A与B为互斥事件，故B正确，
AB为不可能事件，故C错误，
事件A，B不能包含全部基本事件，即A与B不是对立事件，故D错误．
故选：B．
先分析事件A，B的构成，再结合不可能事件，互斥事件，必然事件，对立事件的定义，即可求解．
本题主要考查不可能事件，互斥事件，必然事件，对立事件的定义，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：不妨设原始分为x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6≤x7≤x8，且x1≠x8，则其中位数为x4+x52，
则有效分为x2≤x3≤x4≤x5≤x6≤x7，则其中位数为x4+x52，
两者相等，所以中位数不变，
例如：原始分为1，2，2，2，2，2，2，3，则其平均数为2，
则有效分为2，2，2，2，2，2，则其平均数为2，
两者相等，所以平均数可能不变，
因为从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分(最高分和最低分不相等)，得到6个有效分，
即把波动最大的两个值去掉，则有效分比原始分更集中，波动性减小，
根据方差的定义可知：有效分的方差小于原始分的方差，即方差变小．
故选：C．
根据题意结合中位数、平均数和方差的定义分析判断．
本题考查中位数、平均数、方差、极差的定义，注意这几种数据数字特征的定义以及计算方法，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：在直观图中，A′B′=4 2−2 22× 2=2，
在原图中，AD=4 2,BC=2 2，AB=4，
所以平面图形ABCD的面积为2 2+4 22×4=12 2．
故选：A．
根据直观图画出原图，由此计算出ABCD的面积．
本题考查的知识点是斜二测画法，考查计算能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：直线l方程变形得(x+y−1)m+(3x−2y−2)=0，
由x+y−1=03x−2y−2=0，解得x=45，y=15，
∴直线l恒过点C(45,15)，kAC=1+152+45=37，kBC=15+245−2=−116，
由图可知直线l的斜率k的取值范围为k≤−116或k≥37，
又k=−m+3m−2，
∴−m+3m−2≤−116或−m+3m−2≥37，
即2