2020届福建省三明第一中学高三上学期第二次月考数学（文）试题

三明一中2019-2020学年(上)第二次月考

高三数学（文）试题

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．

2．本试卷包括必考和选考两部分．第22题为选考题，考生可在其中的（A），（B）两题中任选一题作答；其它试题为必考题，所有考生都必须作答．

第Ⅰ卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设全集为，集合，则

A.   B.   C.   D.

2. 设为虚数单位，若复数满足，则复数

A．    B．    C．   D．

3．已知，则

A.     B.       C.     D.

4．已知数列中，，则

A.     B.    C.     D.

5．在上随机取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为

A.     B.     C.     D.

6．已知向量，则“”是“”成立的

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

7．若实数满足约束条件则的最小值为

A.      B.     C.     D.

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A.        B.     

C.      D.

9．函数在的图象大致为

10．函数的最小正周期为，则满足

A．在上单调递增   B．当时有最小值          

C.     D．图象关于直线对称

11．如图，空间四边形的对角线，M、N分别为的中点且，则异面直线与所成角的余弦值为

A.     B.     C.     D.

12．已知为椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的方程是

A.   B.   C.   D.

第Ⅱ卷

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡的相应位置）

13．____________.

14．曲线在处的切线方程为____________．

15．直线经过双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为____________．

16．在三棱锥中，底面，且三棱锥的每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是____________．

三、解答题：（本大题共6小题，第17-21每题12分，第22题10分，共70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程、演算步骤）

17．（本小题满分12分）

通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：

（1）能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由．

（2）利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛，求选出的2人中恰有1名女大学生的概率．

附：

K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

18.（本小题满分12分）

已知数列满足，且．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）设，求数列的前n项和．

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．

（1）求证：AD⊥平面PNB；

（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P­NBM的体积．

20.（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋b.

（1）当a＝－1时，求函数f(x)的单调递增区间；

（2）若函数f(x)的图象与直线y＝ax恰有两个不同的交点，求实数b的值．

21．（本小题满分12分）

已知动圆E经过点F(1,0)，且和直线l：x＝－1相切．

（1）求该动圆圆心E的轨迹G的方程；

（2）已知点A(3,0)，若斜率为1的直线l′与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A)，且与曲线G交于B，C两点，求△ABC面积的最大值．

22．（本小题满分10分，考生可在其中的（A），（B）两题中任选一题作答）

（A）4－4：坐标系与参数方程

已知在平面在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；

（2）直线与曲线在第一象限交于点，直线与直线交于点，求．

（B）4－5：不等式选讲

已知函数．

（1）解不等式；

（2）若恒成立，求实数a的取值范围．

三明一中2019-2020学年(上)第二次月考

高三数学（文）试题参考答案

一、选择题：（5×12=60）

二、填空题：（4×5=20）

13.  14.  15.  16.

三、解答题：（第17-21每题12分，第22题10分，共70分）

17. 解：(1) ∵K2＝≈8.249＞6.635，      ……4分

∴有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．        ……5分

(2)由题意，抽取的6人中，有男生4名，分别记为a，b，c，d；女生2名，分别记为m，n.

则抽取的结果共有15种：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，

(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，     ……8分

设“选出的2人中恰有1名女大学生”为事件A，事件A所包含的基本事件有8种：

(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)．

则P(A)＝.            ……11分

故选出的2人中恰有1名女大学生的概率为.                               ……12分

18.解：

（1）因为，所以，即   ……4分

又，所以      ……5分

∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列．    ……6分

（2）由（1）得，所以    ……8分

所以    ……10分

所以   

∴数列的前n项和．     ……12分

19. 解： (1)证明：连接BD.

∵PA＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD.            ……2分 

又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，      ……3分

∴BN⊥AD，            ……4分

又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.             ……6分

(2)∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝.           ……7分

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，……8分

∴PN⊥NB，∴S△PNB＝××＝.            ……9分

∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB.          ……10分

又PM＝2MC，

∴VP­NBM＝VM­PNB＝VC­PNB＝×××2＝.          ……12分

20. 解：

（1）当a＝－1时，f(x)＝x3＋x2－x＋b，

则f′(x)＝3x2＋2x－1，            ……1分

由f′(x)>0，得x<－1或x>，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和.……5分

(2)

函数f(x)的图象与直线y＝ax恰有两个不同的交点，等价于f(x)－ax＝0有两个不等的实根．……6分

令g(x)＝f(x)－ax＝x3＋x2＋b，则g′(x)＝3x2＋2x.

由g′(x)>0，得x<－或x>0；

由g′(x)<0，得－<x<0.

所以函数g(x)在和(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减．  ……8分

所以当x＝－时，函数g(x)取得极大值g＝＋b；

当x＝0时，函数g(x)取得极小值为g(0)＝b.           ……10分

要满足题意，则需g＝＋b＝0或g(0)＝b＝0，

所以b＝－或b＝0.                ……12分

21.解：

（1）由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离，

∴动点E的轨迹是以F(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，     ……2分

故轨迹G的方程是y2＝4x.             ……4分

(2)设直线l′的方程为y＝x＋m，其中－3＜m＜0.         ……5分

联立消去y，得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，

则Δ＝(2m－4)2－4m2＝16(1－m)恒大于零．

设C(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝4－2m，x1·x2＝m2，            ……6分

∴|CB|＝·＝4.

又点A到直线l′的距离d＝，

∴S△ABC＝×4×＝2×(3＋m)．        ……8分

令＝t，t∈(1,2)，则m＝1－t2，

∴S△ABC＝2t(4－t2)＝8t－2t3.

令f(t)＝8t－2t3,1＜t＜2，∴f′(t)＝8－6t2，

易知y＝f(t)在上单调递增，在上单调递减．

∴y＝f(t)在t＝，即m＝－时取得最大值.

∴△ABC面积的最大值为.            ……12分

22.（A）4－4：坐标系与参数方程

解：（1）直线的普通方程为，所以直线的极坐标方程为   ……2分

因为曲线的极坐标方程为，所以，

所以，即曲线的直角坐标方程为      ……5分

（2）依题意可设

所以                ……6分

直线化为极坐标方程为

所以，即              ……8分

所以              ……10分

（B）4－5：不等式选讲

解：（1）

不等式，即

当时，不等式化为，即，所以；

当时，不等式化为，不可能成立，所以解集为；

当时，不等式化为，即，所以；

综上述，不等式的解集为．      ……5分

（2）恒成立，即恒成立

令，则

当时，

所以

所以实数a的取值范围是．      ……10分