福建省三明市第一中学2023届高三数学上学期第二次月考试题（Word版附解析）
展开三明一中2022-2023学年上学期月考二
高三数学科试卷
（考试时间：120分钟,满分150分)
注意事项:
1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.非选择题用毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答,答案无效.
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,仅有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合,则中元素的个数是
A.2
B.3
C.4
D.5
2.复平面内表示复数,则
A.
B.
C.4
D.
3.若非零实数满足,则
A.
B.
C.
D.
4.函数的图像大致是
5.如图,在矩形中,,点在线段上,且,则与所成角的余弦值为
A.
B.
C.
D.
6.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义,“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球,因而“蹴鞠”就是指古人以脚䟣、踢皮球的活动.已知某“鞠”的表面上有四个点,满足面,若,则该“鞠”的体积的最小值为
A.
B.
C.
D.
7.如图,在杨辉三角形中,斜线的上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列:
1,,记其前项和为,则
A.361
B.374
C.385
D.395
8.在中,角所对的边分别为,若,则实数的最大值是
A.
B.
C.
D.
二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。)
9.已知等差数列的公差为,前项和为,且,则
A.
B.
C.
D.
10.已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,把函数的图象沿轴向左平移个单位,横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象,则下列关于函数的结论正确的是
A.函数是偶函数
B.的图象关于点对称
C.在上是增函数
D.当时,函数的值域是
11.感动中国十大人物之一的张桂梅老师为了让孩子走出大山,扎根基层教育默默奉献精神感动了全中国.受张桂梅老师的影响,有5位志愿者主动到3所山区学校参加支教活动,要求每所学校至少安排一位志愿者,每位志愿者只到一所学校支教,下列结论正确的有
A.不同的安排方法数为150
B.若甲学校至少安排两人,则有60种安排方法
C.小晗被安排到甲学校的概率为
D.在小晗被安排到甲校的前提下,甲学校安排两人的概率为
12.函数,下列说法正确的是
A.当时,在处的切线的斜率为1
B.当时,在上单调递增
C.对任意在上均存在零点
D.存在在上有唯一零点
三、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.已知某圆锥的底面周长为,侧面积为,则该圆锥的体积为 .
14. 展开式中的常数项为 .
15.边长为1的正方形内有一内切圆,是内切圆的一条弦,点为正方形四条边上的动点,当弦的长度最大时,的取值范围是 .
16.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”,它能在两个平行平面间自由转动,并且始终保持与两平面都接触,因此它能像球一样来回滚动(如图甲).勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心,以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分,如图乙所示,若正四面体的棱长为,则能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为,勒洛四面体的截面面积的最大值为 .
四、解答题(本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17.(本题10分)已知数列是等差数列,其中,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
18.(本题12分)已知函数,数列的前项和为,点均在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式;
(2)若函数,令,求数列的前2020项和.
19.(本题12分)在中,角的对边分别为.设.
(1)求角;
(2)若为中点,,求的面积.
20.(本题12分)如图,在四棱锥中,底面为菱形,分别为,的中点.
(1)证明:平面
(2)若平面,且,求直线与平面所成角的正弦值.
21.(本题12分)2022世界乒乓球团体锦标赛将于2022年9月30日至10月9日在成都举行.近年来,乒乓球运动已成为国内民众喜爱的运动之一.今有甲、乙两选手争夺乒乓球比赛冠军,比赛采用三局两胜制,即某选手率先获得两局胜利时比赛结束.根据以往经验,甲、乙在一局比赛获胜的概率分别为,且每局比赛相互独立.
(1)求甲获得乒乓球比赛冠军的概率;
(2)比赛开始前,工作人员买来两盒新球,分别为“装有2个白球与1个黄球”的白盒与“装有1个白球与2个黄球”的黄盒.每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛,且局中不换球,该局比赛后,直接丢弃.裁判按照如下规则取球:每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致,且第一局从白盒中取球.记甲、乙决出冠军后,两盒内白球剩余的总数为,求随机变量的分布列与数学期望.
22.(本题12分)已知函数.
(1)证明:函数的图象与直线只有一个公共点.
(2)证明:对任意的.
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