2020届福建省永安市第一中学高三上学期第二次月考试题 数学（理）

永安一中

2019---2020学年第一学期第二次月考

高三数学理科试题

（考试时间：120分钟    总分：150分）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知全集，集合，那么=(    )

A.           B.          C.           D.

2. 下列选项中，说法正确的是(    )

A．若，则

B．向量共线的充要条件是

C．命题“”的否定是“”

D．设等比数列的前项和为，则“”是“”的充要条件

3. 已知，且，则向量在方向上的投影为（    ）

A.   　　　　 B. 　　　　    C.    　　　　 D.

4．在等差数列中，为其前项和，若，则（    ）

A．20 B．27 C．36 D．45

5．已知是两条不同直线,是两个不同平面,下列命题中的假命题是（     ）

A．若则 B．若则

C．若，则          D．若,则

6.将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度,再把图象上各点

的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，则所得图象的的一条对称轴方程为（     ）

A． B． C． D．

7．函数的图象大致为（    ）

A．　  B．　  C．D．

8．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称药品，他先将的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品(     )

A． 大于 B．小于 C． 大于等于    D． 小于等于

9. 已知，若，则（     ）

A.      B.       C.      D.

已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,,若三棱锥体积的最大值为,则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

11.已知函数 其中，对于任意且，均存在唯一实数，使得，且，若有4个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）

A．   B．       C．      D．

12.将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是（    ）

A． B． C．     D．

第II卷     （非选择题   共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．

13.已知            .

14．若，，，且的最小值为9，则______.

15. 如图，在等腰三角形ABC中，已知|AB|=|AC|=1，∠A=120°，E、F分别是边AB、AC上的点，且,其中且，若线段EF、BC的中点分别为M、N，则的最小值是     .

16．设为数列的前项和，，，则             .

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17．（本题满分12分）

如图，在平面四边形中，，，的面积为．

（Ⅰ）求的长；

（Ⅱ）若，，求的长．

18.（本题满分12分）

设等差数列的公差为，前n项和为，

且 成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前n项和．

19．（本题满分12分）

已知函数，.

（Ⅰ）求函数在区间上的值域.

（Ⅱ）使得不等式成立，

求实数的取值范围.

20.（本题满分12分）

如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

21.（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）当时，若直线是函数的图像的切线，求的最小值；

（Ⅱ）设函数，若在上存在极值，求的取值范围，并判断极值的正负．

22. （本题满分10分）【选修4—4  坐标系统与参数方程】

在平面直角坐标系中，曲线的方程为在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线的参数方程和直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点在上，点在上，求的最小值．

23. （本题满分10分）【选修4—5  不等式选讲】

己知，函数.

（Ⅰ）若，解不等式；

（Ⅱ）若函数，且存在使得成立，求实数 的取值范围.

参考答案

一、选择题

二、填空题

13.       14.          15.             16.

17．⑴∵，，的面积为

∴

∴ .................................................................................................................3分

∴由余弦定理得

∴ .....................................................................................................................6分

⑵由（1）知中，，

∴

∵,∴  ............................................................................................8分

又∵ ，

∴在中，由正弦定理得

即,∴.....................................................................................................12分

18.（1）∵，

又

∴……………………………………………………………..2分

又成等比数列．

∴，…………………………………….3分

即，

解得，………………………………………………………..5分

∴。…………………………………………………..6分

(2)由（1）可得，………….8分

……..12分

19． （1）令，因为，所以。..................2分

当时，，单调递增；当时，，单调递减；................................................................................................................................3分

所以；

又因为，，所以；.........................................................5分

所以在上的值域为......................................................................6分

…..9分

由（1）得，

等价于

实数的取值范围是…..12分

20．（1）∵矩形和菱形所在的平面相互垂直，∴，

∵矩形菱形，∴平面，

∵平面，∴，

∵菱形中，，为的中点．∴，即，

∵，∴平面．.........................................5分

（2）由（1）可知，，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，故，，，，则，，，.......................................................7分

设平面的法向量，

则，取，得，

设平面的法向量，

则，取，得，................10分

设二面角的平面角为，则，

易知为钝角，∴二面角的余弦值为．.......................12分

21.解：(1)设切点坐标为设切点坐标为，

，

切线斜率，又，

∴，∴

令，......................................................................................3分

 ，

解得，解得，∴在上递减，在上递增．

∴，∴的最小值为．...............................................................5分

（Ⅱ），．

∴．

设，则．

由，得．

当时，；当时，．

∴在上单调递增，在上单调递减．

且，，．

显然．

结合函数图象可知，若在上存在极值，

则或．.................................................................................................7分

（ⅰ）当，即时，

则必定，使得，且．

当变化时，，，的变化情况如下表：

∴当时，在上的极值为，且．

∵．

设，其中，．

∵，∴在上单调递增，，当且仅当时取等号．

∵，∴．

∴当时，在上的极值．.......................................9分

（ⅱ）当，即时，

则必定，使得．

易知在上单调递增，在上单调递减．

此时，在上的极大值是，且．

∴当时，在上的极值为正数．..........................................................11分

综上所述：当时，在上存在极值，且极值都为正数．...................12分

注：也可由，得．令后再研究在上的极值问题．若只求的范围给3分.

22. （Ⅰ）曲线C的参数方程为，...........2分

直线的极坐标方程为，即，

直线l的直角坐标方程：．       …………………………………………….5分

（Ⅱ）设点的坐标为，点到直线的距离为，

由点到直线的距离公式得：

即当时，

即所求的最小值为……………………………………………10分

23. （1）当时，，

当时，由，解得；

当时，由，解得；

当时，由，解得.

综上可知，原不等式的解集为........................5分

（2）.

存在使得成立，等价于.

又因为，所以，即.

解得，结合，所以实数的取值范围为..................10分