2020届辽宁省辽阳市高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2020届辽宁省辽阳市高三上学期期末考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】首先求出集合，再根据交集的定义，即可得解.

【详解】

解：因为，

.

故选：D

【点睛】

本题考查交集的运算，属于基础题.

2．复数上的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】化简得到计算虚部得到答案.

【详解】

，所以的虚部为.

故选：

【点睛】

本题考查了复数虚部的计算，属于简单题.

3．若双曲线的实轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据实轴长得到，再根据渐近线公式得到答案.

【详解】

∵，∴，∴双曲线的渐近线方程为.

故选：

【点睛】

本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题型.

4．已知，是两个不同的平面，，，是两条不同的直线，且，，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】根据面面垂直的性质分别判断充分性和必要性得到答案.

【详解】

若，则根据面面垂直的性质定理可得；若，则由，可得.

故选：

【点睛】

本题考查了充要条件，理解把握面面垂直的性质是解题的关键.

5．一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都乘以得到一组新数据，则下列说法正确的是（    ）

A．这组新数据的平均数为 B．这组新数据的平均数为

C．这组新数据的方差为 D．这组新数据的标准差为

【答案】D

【解析】计算得到新数据的平均数为，方差为，标准差为，结合选项得到答案.

【详解】

根据题意知：这组新数据的平均数为，方差为，标准差为.

故选：

【点睛】

本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.

6．设函数若是奇函数，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】先求出的值，再根据奇函数的性质，可得到的值，最后代入，可得到答案.

【详解】

∵是奇函数

．

故选：A

【点睛】

本题主要考查利用函数的奇偶性求值的问题，属于基础题.

7．第28届金鸡百花电影节将于11月19日至23日在福建省厦门市举办，近日首批影展片单揭晓，《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映.若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分别列举出五部作品中选择两部的情况,共有10种,再找到《春潮》与《抵达之谜》至少有一部的情况,共有7部,求出概率即可

【详解】

从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况为（《南方车站的聚会》，《春江水暖》），（《南方车站的聚会》，《第一次的离别》），（《南方车站的聚会》，《春潮》），（《南方车站的聚会》，《抵达之谜》），（《春江水暖》，《第一次的离别》），（《春江水暖》，《春潮》，（《春江水暖》，《抵达之谜》），（《第一次的离别》，《春潮》）（《第一次的离别》，《抵达之谜》），（《春潮》，《抵达之谜》），共10种情况，其中《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的有7种，故所求概率为

故选：C

【点睛】

本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率,考查古典概型,属于基础题

8．将曲线向左平移个单位长度，得到的曲线关于直线对称，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据相位变换规则求出变换后的解析式，由曲线关于直线对称，得到关于的关系式，即可求出最小值.

【详解】

解：由题意，将曲线向左平移个单位长度，

可得，

因为关于直线对称，

所以，所以，则的最小值为.

故选：C

【点睛】

本题考查正弦函数的相位变换，以及正弦函数的对称性，属于基础题.

9．已知等比数列的前n项和为，且，，则（    ）

A．16 B．19 C．20 D．25

【答案】B

【解析】利用，，成等比数列求解

【详解】

因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.

故选：B

【点睛】

本题考查等比数列前n项性质，熟记性质是关键，是基础题

10．在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】通过证明，又，可得的中点为该三棱锥的外接球球心，外接球半径为，再利用球的面积公式求得.

【详解】

解：因为，，，所以.因为，所以，所以，则的中点为该三棱锥的外接球球心，故该三棱锥的外接球半径为，其表面积为.

故选：

【点睛】

本题考查锥体的外接球的表面积计算问题，属于中档题.

11．已知函数，.若，，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据条件求出的值域，与的值域，由，，，可得两值域的包含关系，即可求得参数的取值范围.

【详解】

解：因为，，所以的值域为.

因为，所以在上的值域为，依题意得，则

解得.

故选：C

【点睛】

本题考查函数方程思想的综合应用，属于中档题.

12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，为的内心，且，若椭圆的离心率为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设内切圆的半径为，根据题意化简得到，代入数据计算得到答案.

【详解】

设内切圆的半径为

则，，·

∵，∴

整理得.∵为椭圆上的点，∴，解得.

故选：

【点睛】

本题考查了椭圆离心率相关问题，根据面积关系化简得到是解得的关键.

二、填空题

13．设，满足则则的最小值是______.

【答案】-4

【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【详解】

解：作出可行域如图所示，

当直线经过点时，.

故答案为：

【点睛】

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．

14．若函数在上为减函数，则的取值范围为___________.

【答案】

【解析】将问题转化为导函数在上恒小于零，从而根据恒成立思想求解出的取值范围.

【详解】

由题意可知，即对恒成立，

所以，所以即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据函数的单调性求解参数范围，难度一般.已知函数为指定区间的单调增(或减)函数，则在指定区间上恒成立.

15．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载.所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有满足“勾3股4弦5”，其中，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则______.

【答案】

【解析】根据条件求出，结合向量投影的定义即可求解．

【详解】

解：由等面积法可得，依题意可得，，所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量投影定义，属于基础题．

16．在数列中，，且.

（1）的通项公式为__________；

（2）在、、、、这项中，被除余的项数为__________．

【答案】       

【解析】（1）根据题意得知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，即可求出；

（2）设，可得出，由为奇数，可得出为的倍数或为的奇数倍且为偶数，求出两种情况下值的个数，相加即可得出答案.

【详解】

（1）且，

所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，

，；

（2）被整除且余数为的整数可表示为，

令，可得，

，且，则为奇数，

则为的倍数，或者为的奇数倍且为偶数.

当为的倍数时，的取值有：、、、、，共个；

当为的奇数倍且为偶数时，的取值有：、、、、，共个.

综上所述，在、、、、这项中，被除余的项数为.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查数列通项的求解，同时也考查了数列中项的整除问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.

三、解答题

17．某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.

（1）求购买金额不少于45元的频率；

（2）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.

附：参考公式和数据：，.

附表：

【答案】（1）（或0.5）；（2）列联表见解析，有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.

【解析】（1）根据统计表及古典概型的概率计算公式即可计算出不少于45元的频率；

（2）完善列联表，计算出跟参考数据比较得出结论.

【详解】

解：（1）购买金额不少于45元的频率为.

（2）列联表如下：

，

因此有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.

【点睛】

本题考查独立性检验，以及古典概型的概率计算问题，属于基础题.

18．在中，角，、的对边分别为，，，且.

（1）求；

（2）若，且，求的面积.

【答案】(1) . (2)

【解析】（1）根据正弦定理得到，计算得到答案.

（2）化简得到，即，再计算得到，代入面积公式得到答案.

【详解】

（1）∵，∴.∵，∴.

（2）∵

∴，

∴，即，即.

∵，∴.∵，∴.

∴.

【点睛】

本题考查了正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.

19．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，，分别为棱，上一点，，且平面.

（1）证明：为的中点.

（2）若四棱锥的体积为，求正方体的表面积.

【答案】（1）见解析；（2）24

【解析】（1）取的中点，连接，可证，再由线面平行得到，又，所以四边形为平行四边形，即可得证.

（2）设棱长为，易知到平面的距离为，由求出的值，即可求出表面积.

【详解】

解：（1）证明：取的中点，连接

因为，所以为的中点，又为的中点，所以.

因为平面，平面，平面平面.

所以，即.

又，所以四边形为平行四边形，则，所以为的中点.

（2）设，则，，的面积分别为，，，

易知到平面的距离为，所以，

解得，故所求正方体的表面积为.

【点睛】

本题考查锥体的体积计算以及线面平行的性质，属于基础题.

20．已知直线与抛物线：交于，两点，为弦的中点，过作的垂线交轴于点.

（1）求点的坐标；

（2）当弦最长时，求直线的方程.

【答案】(1) . (2) 或.

【解析】（1）设，，代入抛物线相减得到，再根据计算得到答案.

（2）直线的方程为，联立方程，根据韦达定理得到，

，代入计算得到得到答案.

【详解】

（1）设，，，

则两式相减得.

因为，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，

所以.

因为，所以，

解得，所以点的坐标为.

（2）由（1）知，直线的斜率一定存在，且不为0，设直线的斜率为，

则，即，所以直线的方程为.

联立得，

则，.

由，可得，

所以.

设，令，

可知，此时，即，

所以当弦最长时，直线的方程为或.

【点睛】

本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.

21．已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）用表示，中的最大值，已知，求函数的零点的个数.

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）零点个数为1

【解析】（1）求出定义域、导函数，对分类讨论，可得单调区间；

（2）由当时，，可知函数在上不存在零点，当，分别计算函数值，可知是的零点，由（1）知在上无零点.

【详解】

解：（1）函数的定义域为，且.

当时，对恒成立，所以在上单调递增.

当时，令，得，

当时，；当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增.

（2）当时，，从而，所以在上无零点.

当时，，，所以是的零点.

当时，，所以在上的零点个数只需要考虑在上的零点个数.

由（1）知，在上单调递减，

所以，从而在上无零点

综上，的零点个数为1.

【点睛】

本题考查含参函数的单调性，以及函数的零点问题，属于中档题.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.

（1）求，，的值；

（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据极坐标方程得到，根据参数方程得到答案.

（2）将参数方程代入圆方程得到，根据韦达定理得到，，计算得到答案.

【详解】

（1）由，得，则，即.

因为，，所以.

（2）将代入，得.

设，两点对应的参数分别为，，则，.

所以.

【点睛】

本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）分别计算，，三种情况，综合得到答案.

（2）化简得到，利用绝对值三角不等式得到

，解不等式计算得到答案.

【详解】

（1）当时，，解得；

当时，，解得，则；

当时，，解得，则.

综上所述：不等式的解集为.

（2）

，当时等号成立.

若对任意，不等式恒成立，即，

解得或.

【点睛】

本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.