2020届辽宁省丹东市高三上学期期末教学质量监测数学（文）试题

这是一份2020届辽宁省丹东市高三上学期期末教学质量监测数学（文）试题，共10页。

丹东市2019~2020学年度上学期期末教学质量监测
高三文科数学
命题：宋润生 杨晓东 郭林 葛冰 审核：宋润生
本试卷共22题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{ x|x－2＜0}，则A∩B＝
A．(－1，2)
B．(2，3)
C．(－3，－1)
D．(－∞，2)
2．复数z＝的模|z|＝
A．1
B．
C．2
D．
3．圆x2＋y2－2x－2y－7＝0的圆心到直线x＋y＝0的距离为
A．
B．
C．2
D．3
4．某商家统计了去年P，Q两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中A点表示P产品2月份销售额约为20万元，B点表示Q产品9月份销售额约为25万元．
25
30
20
15
10
5
0
1月月
2月月
3月月
4月月
5月月
6月月
7月月
8月月
9月月
10月月
11月月
12月月
P产品的销售额/万元
Q产品的销售额/万元
A
B

根据图中信息，下面统计结论错误的是
A．P产品的销售额极差较大
B．P产品销售额的中位数较大
C．Q产品的销售额平均值较大
D．Q产品的销售额波动较小
5．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50. 6，则a，b，c的大小关系是
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．b＜a＜c
D．c＜b＜a
6．若sinα＝2cosα，则cos2α＋sin2α＝
A．
B．
C．1
D．
7．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为
A．
B．
C．
D．
8．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
A．
B．
C．
D．
9．设α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列命题错误的是
A．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
B．如果α∥β，mα，那么m∥β．
C．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
D．如果α内有两条相交直线与β平行，那么α∥β．
10．下列函数中，其图象与函数y＝lg x的图象关于点(1，0)对称的是
A．y＝lg(1－x)
B．y＝lg(2－x)
C．y＝log0.1(1－x)
D．y＝log0.1(2－x)
11．关于函数f (x)＝|sinx|＋sin|x|有下述四个结论：
①f (x)是偶函数 ②f (x)在区间(－，0)单调递减
③f (x)在[－π，π]有4个零点 ④f (x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①③④ D．①④
12．设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点，若|PQ|＝|OF|，则C的渐近线方程为
A．y＝±2x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．抛物线y2＝4x上一点P到该抛物线的焦点距离是10，则P点的横坐标为 ．
14．已知函数f (x)在R单调递减，且为奇函数，则满足f (x＋1)＋f (x－3)＜0的x的取值范围为 ．
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，
则A＝ ．
16．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在球O的表面上，若这个三棱柱的体积为9，AB＝3，则AA1＝ ，球O的表面积为 ．
（本题第一空2分，第二空3分）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设Sn是数列{an}的前n项和，求数列{}的前n项和Tn．

需求量X(t)


0.010
0.015
0.020
0.030
100
110
120
130
1400000000
1500000000
0.025
18．（12分）
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．
经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品，以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
（1）将T表示为X的函数；
（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．

P
A
B
M
C
O

19．（12分）
如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．
20．（12分）
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3(－1，)，P4(1， )中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设C的短轴端点分别为A，B，直线l：y＝x＋t(t≠±1)交C于M， N两点，交y轴于D点，若|DM|·|DN|＝λ|DA|·|DB|，求实数λ的值．



21．（12分）
已知函数f (x)＝x2－lnx＋1．
（1）讨论函数f (x)的单调性；
（2）设g(x)＝x2－ax＋lnx，证明：曲线y＝g(x)没有经过坐标原点的切线．



（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2 θ＝2cos θ，
（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．



23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知a＞0，b＞0．
（1）证明：a3＋b3≥a2b＋ab2；
（2）若a＋b＝2，求a3＋b3的最小值．








丹东市2019~2020学年度上学期期末教学质量监测
高三文科数学答案与评分参考
一、选择题
1．A
2．D
3．A
4．B
5．C
6．C
7．B
8．A
9．C
10．D
11．A
12．D
二、填空题
13．9
14．(1，＋∞)
15． 错误！未找到引用源。
16．4，28π
三、解答题：
17．解：
（1）由题意得a42＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)( a1＋14)，故a1＝2．
所以{an}的通项公式an＝2n．
……………（6分）
（2）由（1）得Sn＝(a1＋an)＝n(n＋1)，＝＝－．
于是Tn＝(1－)＋(－)＋ (－)＋…＋(－)
＝(1＋＋＋…＋)－(＋＋＋…＋)
＝1－
＝．
……………（12分）
18．解：【教育部考试中心《试题分析》解法】
（1）当X∈[100，130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000．
当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65000．
所以T＝
……………（6分）
（2）由（1）知T≥57000元当且仅当120≤X≤150．
由直方图知X∈[120，150]的频率为0.3＋0.25＋0.15＝0.7，所以下一个销售季度内利润T不少于57000元的概率估计值为0.7．
……………（12分）
19．解法1：【教育部考试中心《试题分析》解法1】
（1）因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以PO⊥AC，且PO＝2．
连结OB．因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2．
由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB．
由PO⊥AC， PO⊥OB知PO⊥平面ABC．
…………（4分）
（2）由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠OCM＝45°，由余弦定理得OM＝．
在平面OCM内作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得平面POM⊥平面OCM，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．
在△POM中，CH＝＝．
所以点C到平面POM的距离为．
…………（12分）
20．解：
（1）由于P3，P4关于轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点，所以＋＝1．
又由＋＞＋＝1知，C不经过点P1，所以点P2在上，所以＝1．
因此a2＝2，故C的方程为＋y2＝1．
…………（6分）
（2）设l：y＝x＋t，M(x1，y1)， N(x2，y2)，则D(0，t)，
|DM|＝＝| x1|， |DN|＝＝| x2|．
y＝x＋t与＋y2＝1联立得3x2＋4tx＋2t2－2＝0．
当△＝8(3－t2)≥0时，即－≤t≤时， x1x2＝－．
…………（8分）
所以|DM|·|DN|＝2|x1x2|＝．
由（1）得A(0，－1)，A(0，1)，所以|DA|·|DB|＝| t＋1|·| t－1|＝| t2－1|．
等式|DM|·|DN|＝λ|DA|·|DB|可化为＝λ| t2－1|．
因为t≠±1，所以λ＝＝．
…………（12分）
21．解：
解：
（1）f (x)定义域为(0，＋¥)，f ′(x)＝．
当0＜x＜1时，f ′(x)＜0，x＞1时，f ′(x)＞0．
于是f (x)在(0，1)单调递减，在(1，＋¥)单调递增．
……………（4分）
（2）因为g(x)定义域为(0，＋¥)，所以y轴不是曲线y＝g(x) 的切线．
……………（6分）
当经过坐标原点的直线不是y轴时，设y＝kx是曲线y＝g(x)的切线，切点是(x0，y0)．
因为g′(x)＝x2－a＋ ，所以
消去k得x02－lnx0＋1＝0，即f (x0)＝0．
由（1）知f (x)≥f (1)＝＞0，所以f (x0)＝0无解．
因此曲线y＝g(x)没有经过坐标原点的切线．
……………（12分）
22．解：
（1）因为l的倾斜角为α，l过点M(－2，－4)，所以直线l的参数方程是
(t是参数)．
因为ρsin2 θ＝2cos θ，所以ρ2sin2 θ＝2ρcos θ，由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y得曲线C的直角坐标方程是y2＝2x．
…………（5分）
（2）把l的参数方程代入y2＝2x，得t2sin2 α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0．
当Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin2 α时，设A，B对应的参数分别为t1，t2，
则|MA|·|MB|＝|t1t2|＝．
由＝40，0≤α＜π，Δ＞0，得α＝．
…………（10分）
23．解：
（1）a3＋b3－a2b－ab2＝a2 (a－b)＋b2 (b－a)
＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)．
因为a＞0，b＞0，所以(a＋b)＞0，而(a－b)2≥0，所以(a－b)2(a＋b)≥0．
于是a3＋b3≥a2b＋ab2．
…………（5分）
（2）因为a＋b＝2，所以
a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)
＝2(a2－ab＋b2)
＝2[(a＋b)2－3ab]
＝8－6ab．
因为ab≤()2＝1，当且仅当a＝b＝1等号成立，所以8－6ab≥2．
故当a＝b＝1时，a3＋b3取最小值2．
…………（10分）