2022-2023学年辽宁省辽阳市协作校高一上学期期末考试数学试题（解析版）

高一考试数学试卷

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一、二册．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据并集的运算即可求解.

【详解】因为集合，，

所以,

故选：B.

2. 关于命题“，”，下列判断正确的是（）

A. 该命题是全称量词命题，且是真命题 B. 该命题是存在量词命题，且是真命题

C. 该命题是全称量词命题，且是假命题 D. 该命题是存在量词命题，且是假命题

【答案】B

【解析】

【分析】根据存在量词命题的定义及取可判断.

【详解】该命题是存在量词命题，当时，，所以该命题为真命题.

故选:B.

3. 若函数，则“”是“”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】结合分段函数解析式依次判断充分性和必要性即可.

【详解】当时，，，充分性成立；

当时，，，必要性不成立；

“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

4. 已知是直线上的一个单位向量，与都是直线上的向量，且，，则（）

A. 的坐标为 B. 的坐标为

C. 的坐标为 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可得的坐标为，的坐标为，分别代入计算即可.

【详解】根据题意可得的坐标为，的坐标为.A错误；

对于B：，故B错误；

对于C：的坐标为，故C正确；

对于D：，故D错误.

故选：C.

5. 学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是（）

A. 88分 B. 86分 C. 85分 D. 90分

【答案】A

【解析】

【分析】先对这8名学生的成绩按从小到大排列，然后用百分位数的定义求解即可.

【详解】8名学生的成绩从小到大排列为：60，65，75，78，84，86，90，94，

因为，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，

即（分．

故选：A.

6. 函数在区间上的平均变化率为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据平均变化率公式及对数的运算法则计算可得.

【详解】解：在区间上的平均变化率为．

故选：D

7. 随机安排甲、乙、丙、丁、戊位同学中的位同学负责扫地和拖地两项工作，每人负责一项工作，则甲负责扫地工作的概率是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】列举出所有基本事件并确定满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可得结果.

【详解】由题意得其样本空间为：（甲扫地，乙拖地），（甲扫地，丙拖地），（甲扫地，丁拖地），（甲扫地，戊拖地），（乙扫地，甲拖地），（乙扫地，丙拖地），（乙扫地，丁拖地），（乙扫地，戊拖地），（丙扫地，甲拖地），（丙扫地，乙拖地），（丙扫地，丁拖地），（丙扫地，戊拖地），（丁扫地，甲拖地），（丁扫地，乙拖地），（丁扫地，丙拖地），（丁扫地，戊拖地），（戊扫地，甲拖地），（戊扫地，乙拖地），（戊扫地，丙拖地），（戊扫地，丁拖地）}，共个样本点；

“甲负责扫地工作”对应的事件为（甲扫地，乙拖地），（甲扫地，丙拖地），（甲扫地，丁拖地），（甲扫地，戊拖地）}，含有个样本点，

甲负责扫地工作的概率为．

故选：A.

8. 已知函数且方程的6个解分别为，，，，，，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，画出函数的图像，然后结合条件，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】

由，得，，

的图像如图所示，因为有三个解，所以有三个解，则，A错误．

令，得，，，所以，B错误．

因为，所以，得，C正确．

因为，，所以，D错误．

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知向量，，与平行，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】先表示出，，然后根据向量平行的条件列方程求出，从而判断AB；根据向量的模长公式可判断C，根据向量的减法运算可以判断出D.

【详解】依题意可知，．因为与平行，所以，解得，故A正确，B错误；，，故CD正确.

故选：ACD

10. 设函数，则（）

A. 是偶函数 B. 在上单调递减

C. 的最大值为 D. 是的一个零点

【答案】AC

【解析】

【分析】根据函数解析式，研究函数的奇偶性、单调性、最值和零点，验证各选项的结论.

【详解】函数，由得的定义域为，关于坐标原点对称，又，所以为定义域上的偶函数，A选项正确；

令，则，由二次函数的性质，当时，为增函数；当时，为减函数；

在定义域内为增函数，由复合函数的单调可知，在上单调递增，在上单调递减，B选项错误；

由函数单调性可知，最大值为，C选项正确；

，解得，则的零点为，D选项错误.

故选：AC.

11. 制造业指数反映制造业的整体增长或衰退，制造业指数的临界点为．我国年月至年月制造业指数如图所示，则（）

A. 年月中国制造业指数为，比上月下降个百分点，低于临界点

B. 年月至年月中国制造业指数的极差为

C. 年月至年月中国制造业指数的众数为

D. 年月至年月中国制造业指数的标准差小于年月至年月中国制造业指数的标准差

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据图中数据，结合极差、众数的定义、标准差与数据稳定性之间关系可直接得到结果.

【详解】对于A，由图可知：年月中国制造业指数为，年月中国制造业指数为，

年月中国制造业指数比上月下降个百分点，且低于临界点，A正确；

对于B，极差为，B正确；

对于C，由图中数据知：众数为，C错误；

对于D，由图中数据波动幅度知：年月至年月中国制造业指数比年月至年月更稳定，

年月至年月中国制造业指数的标准差更小，D正确.

故选：ABD.

12. 若函数，且，，，则（）

A. 的图象关于直线对称 B. 在上单调递减

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】由复合函数的性质以及函数对称轴的充要条件、函数的单调性等可以找出正确答案.

【详解】由题意得，所以的图象关于直线对称，A错误.

令，则，因为，函数单调递增，所以，，所以，在上单调递减，B正确.

由题意得，，因为，，

所以，，即.

又在上单调递减，所以，

故CD正确.

故选：BCD

【点睛】对于一个复杂函数的研究，我们可以先考察其是否是一些简单幂指对函数的复合函数，可根据复合函数的理论将函数整体的研究转化为一些简单函数的研究；有时候没有很好的方法比较两个式子的大小的时候，可以考虑最基本的作差或者作商法.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上

13. 某中学高一年级有学生700人，高二年级有学生600人，高三年级有学生500人，现在要用按比例分层随机抽样的方法从三个年级中抽取一部分人参加6×6方队表演，则高一年级被抽取的人数为______．

【答案】14

【解析】

【分析】根据分层抽样的定义即可求解.

【详解】高一年级被抽取的人数为．

故答案为：14.

14. 在平行四边形中，是线段的中点，若，则_________.

【答案】

【解析】

分析】根据平面向量线性运算直接求解即可.

【详解】

四边形为平行四边形，为中点，为中点，

，，，

.

故答案为：.

15. 写出一个同时具有下列性质①②函数=_______

①在上单调递增；②对任意的实数，都有.

【答案】（答案不唯一，均满足）

【解析】

【分析】取，验证满足条件①②即可.

【详解】取，满足①.

因为，

又，

所以，满足②.

故答案：.

16. 甲、乙两位同学进行五子棋比赛，两人棋艺相当，每局中无平局，为了增加游戏乐趣，两人各出32张三国人物卡片，他们约定，谁先赢四局则获胜，得到全部的卡片，当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止比赛，那么此时甲分______张卡片，乙分______张卡片才算公平．

【答案】    ①. 44    ②. 20

【解析】

【分析】根据题意计算出甲再赌两局甲获胜的概率，再赌三局甲获胜的概率甲获胜的概率，再赌四局甲获胜的概率，即可得出甲获胜的概率，即可得出答案.

【详解】由题意得甲、乙两人获胜的概率均为，且最多再赌四局，最少再赌两局，

则甲再赌两局甲获胜的概率为，

甲再赌三局甲获胜的概率为，

甲再赌四局甲获胜的概率为，

所以甲获胜的概率为，

所以甲应该分张卡片，乙分20张卡片才算公平．

故答案为：44，20.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 设集合，．

在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答．

（1）求，．

（2）若______，求的取值范围．

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1），或

（2）答案见解析

【解析】

【分析】(1)先化简集合，再根据补集的定义可求；

(2)选①：根据交集的意义可求；选②：根据包含关系的意义可求.

【小问1详解】

由，得，由，得，

则

或

【小问2详解】

选①：当时，，得；

当时，或，得．

故的取值范围为或．

选②：当时，，得；

当时，，得．

故的取值范围为．

18. 已知函数．

（1）求的定义域;

（2）求的值域．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据对数函数的定义域,列出不等式,解出即可.

（2）运用对数运算性质将化简为,根据(1)中的定义域求得的范围,再根据的单调性即可求得值域.

【小问1详解】

因为,

所以,解得,

所以的定义域为．

【小问2详解】

因为

,

由(1)知的定义域为,

所以,,，

因为增函数，所以，

故的值域为．

19. “天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌．”天宫课堂”是结合载人飞行任务，贯穿中国空间站建造和在轨运营系列化推出的，将由中国航天员担任“太空教师”，以青少年为主要对象，采取天地协同互动方式开展．2022年10月12日15时40分，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲．学校针对这次直播课，举办了”天宫课堂”知识竞赛，有100名学生代表参加了竞赛，竞赛后对这100名学生的成绩（满分100分）进行统计，将数据分为［60，70），［70，80），［80，90），［90，100]这4组，画出如图所示的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中m的值；

（2）估计这100名学生竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；

（3）若该校准备对本次知识竞赛成绩较好的40%的学生进行嘉奖，试问被嘉奖的学生的分数不低于多少？

【答案】（1）0.005

（2）84.5（3）87.5

【解析】

【分析】（1）利用频率组距直方图各个小长方形的面积之和为进行计算；

（2）根据直方图数据和平均数的计算公式进行计算求解；

（3）根据题意，从高分往低分统计，计算出小长方形面积之和为时即可.

【小问1详解】

由图可得,解得

【小问2详解】

估计这100名学生竞赛成绩的平均数．

【小问3详解】

设被嘉奖的学生的分数不低于，

因为第四组的频率为，第三组的频率为，

所以，所以，得．

20. 已知幂函数为奇函数．

（1）求的解析式；

（2）若正数满足，若不等式恒成立．求的最大值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据幂函数定义可构造方程求得的值，结合奇偶性可得结果；

（2）由，利用基本不等式可求得的最小值，由此可得结果.

【小问1详解】

为幂函数，，解得：或；

当时，，则，即为偶函数，不合题意，舍去；

当时，，则，即为奇函数，符合题意；

综上所述：.

【小问2详解】

由（1）得：，即，又，，

（当且仅当，即，时取等号），

.

21. 甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率是，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．

（1）求甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率；

（2）已知丙机床加工的零件数等于乙机床加工的零件数的，甲机床加工的零件数等于乙机床加工的零件数的2倍，将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意抽取4件检验，求一等品不少于3件的概率．（以事件发生的频率作为相应事件发生的概率）

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）设“甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品”分别为A、B、C事件， A、B、C相互独立，由独立事件的概率公式列方程组求解即可；

（2）求出将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意抽取一件零件为一等品的概率，由独立重复试验概率公式即可求.

【小问1详解】

根据题意，设“甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品”分别为A、B、C事件，则A、B、C相互独立，设.

则有，解得，故甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率分别为

【小问2详解】

设乙机床加工的零件数为，则甲、丙机床加工的零件数分别为，则一等品的零件数总数为.

则将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意抽取一件零件为一等品的概率为.

故从中任意抽取4件检验，一等品不少于3件的概率为

22. 已知函数.

（1）求关于的不等式的解集；

（2）已知函数，若的最小值为，求满足的的值.

【答案】（1）

（2）0或2

【解析】

【分析】（1）消去后直接解不等式即可；（2）将代入的表达式中，整理进行换元可将表达式整理成一个含参的二次函数在定区间的最值问题，可求出的最小值为后解方程即可.

【小问1详解】

由题意：，得，所以，得.

故不等式的解集为：.

【小问2详解】

由题意得，

令，因为，所以.

设函数，.

当，即时，在上单调递减，在上单调递增.

所以，得或（舍去）.

当，即时，在上单调递增，

所以，得或（舍去）.

综上，的值为0或2.

【点睛】复合函数求最值要多注意换元法，可以考虑从里层函数往外剥洋葱一样的方式一层一层往外求；含参的二次函数在定区间的最值，一般都需要分类讨论，讨论顶点横坐标和区间的位置关系.