§3.2　简单的三角恒等变换

课时目标　1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．

1．半角公式

(1)S：sin ＝____________________；

(2)C：cos ＝____________________________；

(3)T：tan ＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)．

2．辅助角公式

使asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．

一、选择题

1．已知180°<α<360°，则cos 的值等于(　　)

A．－        B.

C．－        D.

2．函数y＝sin＋sin的最大值是(　　)

A．2        B．1        C.        D.

3．函数f(x)＝sin x－cos x，x∈的最小值为(　　)

A．－2        B．－        C．－        D．－1

4．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是(　　)

A.        B.        C.        D.

5．函数f(x)＝sin x－cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是(　　)

A.        B.

C.           D.

6．若cos α＝－，α是第三象限的角，则等于(　　)

A．－        B.        C．2        D．－2

二、填空题

7．函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是______．

8．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是________．

9．已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正切值为________．

10.

2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____．

三、解答题

11．已知函数f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R)．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．

12．已知向量m＝(cos θ，sin θ)和n＝(－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝，求cos的值．

能力提升

13．当y＝2cos x－3sin x取得最大值时，tan x的值是(　　)

A.        B．－        C.        D．4

14．求函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值．

1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．

2．辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a，b)同象限；②tan φ＝(或sin φ＝，cos φ＝)．

3．研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．例如sin x±cos x＝sin；sin x±cos x＝2sin等．

§3.2　简单的三角恒等变换

知识梳理

1．(1)± 　(2)± 　(3)± 　　

2.　　点(a，b)

作业设计

1．C

2．B　[y＝2sin xcos ＝sin x．]

3．D　[f(x)＝sin，x∈.

∵－≤x－≤，

∴f(x)min＝sin＝－1.]

4．D　[f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin.

当θ＝π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin 2x.]

5．D　[f(x)＝2sin，f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)，

令k＝0得增区间为.]

6．A　[∵α是第三象限角，cos α＝－，

∴sin α＝－.

∴＝＝＝·＝＝＝－.]

7．π

解析　f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)＝sin 2x＋cos 2x－

＝sin(2x＋)－，∴T＝＝π.

8.

解析　设α为该等腰三角形的一底角，

则cos α＝，顶角为180°－2α.

∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2·＝.

9．3

解析　设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝，

底角大小为(180°－α)．

∴tan＝tan＝＝＝＝3.

10.

解析　由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈.

∴cos θ－sin θ＝.

由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.

∴cos θ＋sin θ＝.

∴cos 2θ＝cos2 θ－sin2 θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝.

11．解　(1)∵f(x)＝sin2＋1－cos2

＝2＋1

＝2sin＋1

＝2sin＋1，∴T＝＝π.

(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，

有2x－＝2kπ＋，

即x＝kπ＋ (k∈Z)，

∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．

12．解　m＋n＝(cos θ－sin θ＋，cos θ＋sin θ)，

|m＋n|＝

＝＝

＝2.

由已知|m＋n|＝，得cos＝.

又cos＝2cos2－1，

所以cos2＝.

∵π<θ<2π，

∴<＋<.

∴cos<0.

∴cos＝－.

13．B　[y＝2cos x－3sin x＝＝(sin φcos x－cos φsin x)

＝sin(φ－x)，当sin(φ－x)＝1，φ－x＝2kπ＋时，y取到最大值．

∴φ＝2kπ＋＋x，(k∈Z)

∴sin φ＝cos x，cos φ＝－sin x，

∴cos x＝sin φ＝，sin x＝－cos φ＝－.

∴tan x＝－.]

14．解　3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋20°)cos 60°＋5cos(x＋20°)sin 60°

＝sin(x＋20°)＋cos(x＋20°)＝sin(x＋20°＋φ)＝7sin

其中cos φ＝，sin φ＝.所以f(x)max＝7.