高考数学真题专项练习 专题14 解三角形（解析版）

这是一份高考数学真题专项练习 专题14 解三角形（解析版），共47页。试卷主要包含了的内角，，的对边分别为，，，的内角、、的对边分别为、、，在中，角，，的对边分别为，，，已知的内角，，满足=，在，内角所对的边长分别为等内容，欢迎下载使用。
专题14 解 三 角 形
十年大数据*全景展示
年 份
题 号
考 点
考 查 内 容
2011
课标[来源:学科网]
理16[来源:学科网][来源:学科网ZXXK]
利用正弦定理、余弦定理解平面图形
正弦定理、三角公式、三角函数最值问题．[来源:学+科+网Z+X+X+K]
课标
文15
利用正弦定理、余弦定理解平面图形
正余弦定理及三角形面积公式
2012
课标
理17
已知边角关系利用正余弦定理解三角形
利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式，运算求解能力．
课标
文17
已知边角关系利用正余弦定理解三角形
利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式，运算求解能力．
2013
卷1
理17
利用正弦定理、余弦定理解平面图形
利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式解平面图形
卷1
文10
已知边角关系利用正余弦定理解三角形
二倍角公式、利用正余弦定理解三角形．
卷2
理17
已知边角关系利用正余弦定理解三角形
正弦定理、余弦定理、两角和与差三角公式、三角形面积公式、基本不等式等知识，函数与方程思想．
卷2
文4
利用正弦定理、余弦定理解平面图形
利用正弦定理、余弦定理解三角形及三角形面积公式
2014
卷1
理16
已知边角关系利用正余弦定理解三角形
正弦定理、余弦定理、基本不等式、三角形面积公式等基础知识
卷2
理4
已知边角关系利用正余弦定理解三角形
三角形的面积公式、余弦定理
卷1
文16
正余弦定理在实际测量问题中的应用
利用正余弦定理解决高度测量问题，空间想象能力．
卷2
文17
利用正弦定理、余弦定理解平面图形
余弦定理及三角形面积公式，运算求解能力
2015
卷1
理16
利用正弦定理、余弦定理解平面图形
利用正弦定理与余弦定理解平面四边形，数形结合思想
卷2
理17
利用正弦定理、余弦定理解平面图形
利用正弦定理与余弦定理解三角形中的边角及三角形面积问题
卷1
文17
已知边角关系利用正余弦定理解三角形
利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式，运算求解能力．
卷2
文17
利用正弦定理、余弦定理解平面图形
利用正弦定理与余弦定理解三角形中的边角及两角和的三角公式
2016
卷1
理17
已知边角关系利用正余弦定理解三角形
利用正余弦定理解三角形、三角公式、三角形面积公式，运算求解能力．
卷1
文4
利用正弦定理、余弦定理解平面图形
余弦定理解三角形．
卷2
理13
已知边角关系利用正余弦定理解三角形
同角三角函数基本关系、两角和公式、利用正弦定理解三角形．
卷3
理8
利用正弦定理、余弦定理解平面图形
利用余弦定理解三角形．
卷3
文9
利用正弦定理、余弦定理解平面图形
利用正弦定理解三角形．
卷2
文15
利用正弦定理、余弦定理解平面图形
同角三角函数基本关系、诱导公式、两角和正弦公式、利用正弦定理解三角形．
2017
卷1
理17
已知边角关系利用正余弦定理解三角形
已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理解三角形、求三角形面积，运算求解能力
卷2
理17
已知边角关系利用正余弦定理解三角形
已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理解三角形、求三角形面积，运算求解能力
卷3
理17
已知边角关系利用正余弦定理解三角形
已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理解三角形、求三角形面积，运算求解能力
卷1
文11
利用正弦定理、余弦定理解平面图形
三角恒等变换、利用正余弦定理解三角形，转化与化归思想与运势求解能力．
卷2
文16
已知边角关系利用正余弦定理解三角形
正弦定理、三角恒等变换与已知三角函数值求角．
卷3
文15
利用正弦定理、余弦定理解平面图形
利用正弦定理解三角形．
2018
卷1
理17
利用正弦定理、余弦定理解平面图形
利用正弦定理、余弦定理解平面四边形边长及角，数学应用意识．
卷2
理6文7
利用正弦定理、余弦定理解平面图形
二倍角公式、利用余弦定理求三角形边长．
卷3
理9文11
已知边角关系利用正余弦定理解三角形
余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数基本关系，运算求解能力
卷1
文16
已知边角关系利用正余弦定理解三角形
已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理解三角形、求三角形面积，运算求解能力
2019
卷1
理17
已知边角关系利用正余弦定理解三角形
已知角的三角函数间关系，利用正弦定理、余弦定理求角及三角函数值，运算求解能力．
卷2
理15
已知边角关系利用正余弦定理解三角形
已知角的三角函数间关系，利用正弦定理、余弦定理求三角形角及三角形面积，运算求解能力．
卷3
文理18
已知边角关系利用正余弦定理解三角形
已知角的三角函数间关系、三角公式、利用正弦定理、余弦定理求三角形角及三角形面积，运算求解能力．
卷1
文11
已知边角关系利用正余弦定理解三角形
利用正余弦定理解三角形．
卷2
文15
已知边角关系利用正余弦定理解三角形
已知三角函数边角关系利用正弦定理、余弦定理求角，转化与化归思想．
2020
卷1
文18
解三角形
余弦定理，三角形面积公式，三角函数公式
卷2
理17
解三角形
正弦定理、余弦定理，基本不等式
文17
解三角形
余弦定理，三角函数公式
卷3
理7
解三角形
余弦定理及其推论
文11
解三角形
余弦定理推论，平方关系、商关系

大数据分析*预测高考
考 点
出现频率
2021年预测
考点44已知边角关系利用正余弦定理解三角形
20/36
2021年高考仍将重点考查已知三角形边角关系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理解平面图形的边、角与面积，题型既有选择也有填空更多是解答题，若考解答题，主要放在第17题位置，为中档题，若为选题可以为基础题，多为中档题，也可为压轴题．
考点45利用正弦定理、余弦定理解平面图形
17/36
考点46正余弦定理在实际测量问题中的应用
1/36
十年试题分类*探求规律
考点44已知边角关系利用正余弦定理解三角形
1．（2019•新课标Ⅰ，文11）的内角，，的对边分别为，，，已知，，则　　
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】∵，，，解得，，故选．
2．（2018•新课标Ⅲ，理9文11）的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】的内角，，的对边分别为，，．的面积为，
，，，，故选．
3．（2016•新课标Ⅰ，文4）的内角、、的对边分别为、、．已知，，，则　　
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】，，，由余弦定理可得：，整理可得：，解得：或（舍去），故选．
4．（2014新课标Ⅱ，理4）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=( )
A． 5 B． C． 2 D． 1
【答案】B．
【解析】∵，即：，∴，
即或．又∵
∴或5，又∵为钝角三角形，∴，即：，故选B．
5．（2013新课标Ⅰ，文10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，，=7，，则=
．10 ．9 ．8 ．5
【答案】D
【解析】由及△ABC是锐角三角形得=，∵=7，，∴，即，解得或=（舍），故选．
6．（2014江西）在中，内角A，B，C所对应的边分别为，若，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴==，故选D．
7．（2017山东）在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是
A． B． C． D．
【解析】A
【解析】由，得，即，所以，即，选A．
8．(2014重庆)已知的内角，，满足=
，面积满足，记，，分别为，，所对的边，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
【解析】A
【解析】因为，由
得，
即，
整理得，
又，
因此，由
得，
即，因此选项C、D不一定成立．又，
因此，即，选项A一定成立．又，
因此，显然不能得出，选项B不一定成立．综上所述，选A．
9．（2014江西）在中，，，分别为内角，，所对的边长，若
，，则的面积是（ ）
A．3 B． C． D．
【解析】C
【解析】由可得①，由余弦定理及可得②．所以由①②得，所以．
10．（2013辽宁）在，内角所对的边长分别为．若
，且，则=
A． B． C． D．
【解析】A
【解析】边换角后约去，得，所以，但B非最大角，所以．
11．（2013陕西）设△ABC的内角A， B， C所对的边分别为a， b， c， 若， 则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【解析】B
【解析】∵，∴由正弦定理得，
∴，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．
12．（2011辽宁）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正弦定理，得，即，，∴．
13．（2019•新课标Ⅱ，理15）的内角，，的对边分别为，，．若，，，则的面积为　　．
【答案】
【解析】由余弦定理有，，，，，，．
14．（2018•新课标Ⅰ，文16）的内角，，的对边分别为，，．已知，，则的面积为　　．
【答案】
【解析】的内角，，的对边分别为，，，，
利用正弦定文可得，由于，，
所以，所以，则，由于，则：，
①当时，，解得，所以．
②当时，，解得（不合题意），舍去．
故．
15．（2017新课标卷2，文16）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=
【答案】
【解析】由正弦定理可得
16．（2016•新课标Ⅱ，理13）的内角，，的对边分别为，，，若，，，则　　．
【答案】
【解析】由，，可得，，
，由正弦定理可得
．
17．（2014新课标Ⅰ，理16）已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】由且 ，
即，由及正弦定理得：
∴，故，∴，∴
，∴．
18．（2014广东）在中，角所对应的边分别为．已知
，则 ．
【解析】2
【解析】由得：，
即，，∴，故．
19．（2013安徽）设的内角所对边的长分别为．若，则
则角_____．
【解析】
【解析】，，所以．
20．（2012安徽）设的内角所对的边为；则下列命题正确的是 ．
①若；则 ②若；则
③若；则 ④若；则
⑤若；则
【解析】①②③
【解析】①
②
③当时，与矛盾
④取满足得：
⑤取满足得：．
21．（2012北京）在中，若，则= ．
【解析】4
【解析】根据余弦定理可得，解得b=4．
22．（2020全国Ⅰ文18）的内角的对边分别为．已知．
（1）若，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求．
【答案】（1）；（2）．
【思路导引】（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论；（2）将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解．
【解析】
（1）由余弦定理可得，
的面积．
（2），
，
，．
23．（2020全国Ⅱ文17）△的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，证明：△是直角三角形．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【思路导引】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出；（2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
【解析】（1）∵，∴，即，
解得，又，∴．
（2）∵，∴，即①，
又②， 将②代入①得，，即，而，解得，∴，故，即△是直角三角形．
24．（2020全国Ⅱ理17）中，．
（1）求；
（2）若，求周长的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【思路导引】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；
（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果．
【解析】（1）由正弦定理可得：，，
，．
（2）由余弦定理得：，
即．
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为．
25．（2020江苏16）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．

（1）求的值；
（2）在边上取一点，使得，求的值．
【答案】见解析
【解析】（1）由余弦定理，得，
因此，即，由正弦定理，得，因此．
（2）∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∵，∴，故．
26．（2020天津16）在中，角所对的边分别为．已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．
【思路导引】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；
（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可．
【解析】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，
又因为，所以．
（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；
（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得，
进而，
所以．
27．（2020浙江18）
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】（I）；（II）
【思路导引】（I）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B的大小；
（II）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围．
【解析】（I）由结合正弦定理可得：，△ABC为锐角三角形，故．
（II）结合(1)的结论有：

．
由可得：，，则，，即的取值范围是．
28．（2020山东17）
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，， ？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【思路导引】由题意结合所给的条件首先设出a，b的长度，然后结合余弦定理和正弦定理解三角形确定边长c即可．
【解析】选择条件①的解析：
由可得：，不妨设，
则：，即．
据此可得：，，此时．
选择条件②的解析：由可得：，不妨设，
则：，即．
据此可得：，则：，此时：，则：．
选择条件③的解析：由可得：，不妨设，
则：，即．
据此可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．

29．（2019•新课标Ⅰ，理17）的内角，，的对边分别为，，．设．
（1）求；
（2）若，求．
【解析】（1）的内角，，的对边分别为，，．
设．
则，
由正弦定理得：，
，
，．
（2），，
由正弦定理得，

解得，，，
．
30．（2019•新课标Ⅲ，理（文）18）的内角、、的对边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【解析】（1），即为，
可得，
，
，
若，可得，不成立，
，
由，可得；
（2）若为锐角三角形，且，
由余弦定理可得，
由三角形为锐角三角形，可得且，
解得，
可得面积，．
31．（2017新课标卷1，理17）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为．
（1）求；
（2）若，，求的周长．
【解析】（1）面积．且


由正弦定理得，
由得．
（2）由（1）得，


又
，，
由余弦定理得 ①
由正弦定理得，
②
由①②得
，即周长为
32．（2017新课标卷2，理17）的内角所对的边分别为，已知，
（1）求；
（2）若，的面积为，求．
【解析】（1）由题设及，故

上式两边平方，整理得
解得
（2）由，故
又
由余弦定理及得

所以b=2
33．（2017新课标卷3，理17）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．
（1）求c；
（2）设为边上一点，且，求的面积．
【解析】（1）由得，
即，又，
∴，得．
由余弦定理．又∵代入并整理得，故．
（2）∵，
由余弦定理．
∵，即为直角三角形，
则，得．
由勾股定理．
又，则，
．
34．（2016新课标卷1，理17）的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知
（I）求C；
（II）若的面积为，求的周长．
【解析】（I）由正弦定理及得，，即，即，因为，所以，所以，所以．
（II）由余弦定理得：



∴
∴

∴周长为
35．（2015新课标Ⅰ，文17）已知分别是内角的对边，．
（I）若，求
（II）若，且 求的面积．
【答案】（I）（II）1
【解析】（I）由题设及正弦定理可得．
又，可得，，
由余弦定理可得．
（II）由(1)知．
因为90°，由勾股定理得．
故，得．
所以ABC的面积为1．
36．（2013新课标Ⅱ，理17）△ABC内角A，B，C的对边分别为，，，已知=．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若=2，求△ABC面积的最大值．
【解析】（Ⅰ）由已知及正弦定理得，①
又，
∴=，
即，
∵∴，
∴，
∵，∴．
（Ⅱ）△ABC的面积S==，
由已知及余弦定理得．，
∵，
故，当且仅当时，取等号，
∴△ABC面积的最大值为．
37．（2012新课标，理17）已知，，分别为三个内角，，的对边，．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若=2，的面积为，求，．
【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得
，
因为，所以
由于，所以，
又，故．
(Ⅱ) 的面积==，故=4，
而 故=8，解得=2．

38．（2012新课标，文17）已知，，分别为三个内角，，的对边，．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若=2，的面积为，求，．
【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得

由于，所以，
又，故．
(Ⅱ) 的面积==，故=4，
而 故=8，解得=2．

39．（2014陕西）的内角所对的边分别为．
（I）若成等差数列，证明：；
（II）若成等比数列，求的最小值．
【解析】（1）成等差数列，
由正弦定理得


（2）成等比数列，
由余弦定理得
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
即，所以的最小值为
40．（2019江苏15）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；
（2）若，求的值．
【解析】（1）由余弦定理，得，即．
所以．
（2）因为，
由正弦定理，得，所以．
从而，即，故．
因为，所以，从而．
因此．
41．（2019天津理15）在中，内角所对的边分别为．已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
【解析】（Ⅰ）在中，由正弦定理，得，又由，得，即．又因为，得到，．
由余弦定理可得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
从而，，
故．
42．（2018天津）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．
(1)求角的大小；
(2)设，，求和的值．
【解析】(1)在中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因为，可得．
(2)在中，由余弦定理及，，，
有，故．
由，可得．因为，故．
因此，
所以，
43．（2016年山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求的最小值．
【解析】(Ⅰ)由
得，
所以，由正弦定理，得．
（Ⅱ）由
．
所以的最小值为．
44．（2016年四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
（I）证明：；
（II）若，求．
【解析】（I）证明：由正弦定理可知
原式可以化解为
∵和为三角形内角 ， ∴
则，两边同时乘以，可得
由和角公式可知，
原式得证．
（II）由题，根据余弦定理可知，
∵为三角形内角，，
则，即
由（I）可知，∴．
∴．
45．（2015湖南）设的内角的对边分别为，，且为钝角．
（1）证明：；
（2）求的取值范围．
【解析】（1）由及正弦定理，得，
所以，即．
又为钝角，因此+(，)，故=+，即=；
（2）由（1）知，=(+)=(2+)=2>0，
所以，
于是==
=，
因为0