【高考真题解密】高考数学真题题源——专题13《解三角形》母题解密（新高考卷）

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专题13 解三角形  【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】记的内角，，的对边分别为，，，已知．
若，求
求的最小值．【答案】解：，且，
，，
又，，，．
又，，．
由正弦定理，得
，
，令，
则，，
在时递减，在时递增，
因此时，．   【母题来源】2022年新高考II卷【母题题文】记的三个内角分别为，，，其对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，且，．
求的面积
若，求．【答案】解：边长为的正三角形的面积为，
，即，
由得：，，
故．
由正弦定理得：．，故． 【命题意图】考察利用正余弦定理解三角形。考察正弦定理应用，考察余弦定理与三角形面积公式应用，考察三角恒等边形的综合应用，考察三角函数图像和性质，考察正余弦定理与函数、方程、不等式结合的综合应用 【命题方向】解三角形是高考的重点考察内容之一。主要考察正余弦定理和三角形面积公式。考察求边长，求角度，求面积等等，借助于正余弦定理和三角形面积公式以及恒等变形公式进行边角转换和化简，利用两角和与差公式，降幂公式，二倍角公式进行恒等变形，借助于角或者变得范围，求三角函数的取值范围与最值等，难度不大但是灵活性高。 【得分要点】一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β　(S(α＋β))            正余余正       sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β　(S(α－β))            正余余正    正角   减   余角          cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β　(C(α＋β))        余余正正   偶函数。谁  减  谁  无所谓cos(α－β)=cos(β－α)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β)) 二、．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α (S2α)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α)tan 2α＝ (T2α)公式的变形和逆用在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．常见变形如下：降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，三、辅助角公式  1．（2022·重庆市涪陵高级中学校模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为，且．(1)求角C的大小；(2)若的外接圆半径为2，求的面积最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知等式即得解；（2）求出，利用余弦定理和基本不等式求出，即得解.(1)解：由题得，所以，所以..(2)解：由正弦定理得，则，由余弦定理得，即（当且仅当时取等号），故（当且仅当时取等号）．即面积的最大值为．2．（2022·海南中学高三阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．(1)求角A的大小；(2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．若，点D是边上的一点，且______，求线段的长．①是的中线；②是的角平分线；③．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由条件变形结合余弦定理可得；（2）选①或③：由向量的线性运算用表示出向量，然后平方将问题转化为数量积计算即可；选②：根据，结合面积公式可得.(1)由，得，即，因为，所以．(2)选①，由，，则      所以．             选②，因为，，所以，即，   解得． 选③，依题意，得，由，，则      .故3．（2022·辽宁·高三期末）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足          ．(1)求C；(2)若△ABC的面积为，D在边AC上，且CD=CA，求BD的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）方案一：选条件①．结合正弦定理与两角和的正弦公式求解即可；方案二：选条件②．由正弦定理及同角三角函数的基本关系式化简求解即可；方案三：选条件③．由正弦余弦定理化简求解即可.（2）根据面积公式可得，再根据余弦定理结合基本不等式求解最值即可.(1)方案一：选条件①．由，可得，由正弦定理得，因为，所以，所以，故，又，于是，即，因为，所以．方案二：选条件②．因为，所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系式得，即，因为，所以，又所以，因为，所以．方案三：选条件③．，由正弦定理得，即，∴，∴由余弦下定得．又，所以．(2)由题意知，得．由余弦定理得，当且仅当且，即时取等号，所以的最小值为．4．（2022·江苏南京·高三开学考试）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)若，求A，B；(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简已知等式即可求出，再结合即可得出答案.（2）由（1）知，分别讨论或，结合题意即可求出，由正弦定理将化简为，代入即可求出答案.（1）因为，所以，代入，则，所以，且，所以；（2）由（1）知，①当时，且，若是锐角三角形，则，所以，不成立；②当时，且，所以，所以，则，且，且，又，所以.5．（2022·广东·高三开学考试）已知锐角中，角、、所对边为、、，且．(1)求角；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；（2）利用正弦定理将边化角，再转化为关于的三角函数，根据的取值范围及正弦函数的性质计算可得.（1）解：因为，所以，所以，从而，即，所以，因为，所以．（2）解：因为，，由正弦定理，有所以，，所以，又因为为锐角三角形，所以，即，所以，所以，从而的取值范围为．6．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且(1)求角C的大小；(2)若边，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）结合同角三角函数基本关系以及正弦定理化简求解，因为，所以；（2）由余弦定理与正弦定理，然后结合三角函数性质求解其取值范围即可.(1)因为，所以，即，又因，所以又由题意可知，所以，因为，所以.(2)由余弦定理可得，又，则，由正弦定理可得，所以，，所以，由题意得，解得，则，所以所以所以所以中线CD长的取值范围为7．（2022·湖北·模拟预测）记的内角的对边分别为，若.(1)求角；(2)若，点在线段上，且是线段中点，与交于点，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理可得，即得；（2）利用余弦定理可得，进而可得，然后利用和角公式可得，即得.(1)∵，∴，即，又，∴；(2)由题可知，，∴，∴，又，∴，∵，，∴，∴，，∴.8．（2022·山东师范大学附中模拟预测）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，△ABC的面积为S，且．(1)求角B的大小；(2)若为平面ABC上△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角形面积公式及余弦定理计算可得；（2）在中，由余弦定理得到，从而得到，再由从而得到，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；(1)解：在中，由，有，则，即，∵，所以．(2)解：在中，，∴，又，则为等腰直角三角形，，又，∴，当时，四边形的面积最大值，最大值为．9．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）如图，在平面四边形中，.(1)证明：；(2)记与的面积分别为和，求的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)14 【分析】（1）分别在和中，利用余弦定理表示BD，然后联立求解； （2）结合（1）得到 ，利用二次函数的性质求解.(1)证明：在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，∴，所以，即.(2)，，则由（1）知：，代入上式得，，，∴当时，取到最大值14.10．（2022·河北邯郸·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边BC上，且．(1)若，，且∠CAD为锐角，求CD的长；(2)若，求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题设可得，进而求得，应用余弦定理求CD的长；（2）由正弦定理可得、，结合即可求目标式的值.(1)由，，则，所以，又∠CAD为锐角，则，又，在△中，可得.(2)由，在△中，则，在△中，则，又，故，又，所以.