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高考数学真题专项练习 专题27 双曲线（解析版）
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这是一份高考数学真题专项练习 专题27 双曲线（解析版），共34页。试卷主要包含了已知双曲线，已知双曲线的左焦点为，离心率为，已知双曲线C ，已知双曲线的两条渐近线均和圆， 等内容，欢迎下载使用。
专题27 双 曲 线
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2011
理7
双曲线
直线与双曲线的位置关系，双曲线的几何性质[来源:学&科&网Z&X&X&K]
2012
理8文10
双曲线
抛物线与双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系
2013
卷1
文理4
双曲线
双曲线的离心率和渐近线
2014
卷1[来源:学.科.网][来源:Z.xx.k.Com][来源:Zxxk.Com]
理4
双曲线[来源:学。科。网]
双曲线的标准方程及其几何性质
文4
双曲线
双曲线的离心率
卷2
理5
双曲线
双曲线的标准方程及其几何性质
2015
卷1
文16
双曲线
双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系
卷2
理11
双曲线
双曲线的标准方程及其几何性质
文15
双曲线
双曲线的标准方程的求法，双曲线的渐近线
2016
卷2
理11
双曲线
双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算
2017
卷1
理15
双曲线
双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法
文5
双曲线
双曲线标准方程及其几何性质
卷2
理9
圆、双曲线
圆的几何性质，双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算
文5
双曲线
双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算
卷3
理5
双曲线
双曲线与椭圆的几何性质，待定系数法求双曲线的方程
文14
双曲线
双曲线的渐近线
2018
卷1
理11
双曲线
双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系
卷2
理5文6
双曲线
双曲线的几何性质
卷3
理11
双曲线
双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法
文10
双曲线
双曲线的离心率、渐近线，点到直线距离公式
2019
卷1
理16
双曲线
双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法
文10
双曲线
双曲线的离心率、渐近线
卷2
理11文12
圆、双曲线
直线与圆的位置关系，双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法
卷3
理10
双曲线
双曲线的定义、标准方程及其几何性质
文10
双曲线
双曲线的定义、标准方程及其几何性质
2020
卷1
理15
双曲线
双曲线的定义、标准方程及其几何性质，双曲线离心率的求法
文11
双曲线
双曲线的定义、标准方程及其几何性质
卷2
理8文9
双曲线
双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系
卷3
理11
双曲线
双曲线的定义、标准方程及其几何性质
文14
双曲线
双曲线的渐近线、离心率
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021年预测
考点92双曲线的定义及标准方程
23次考2次
命题角度：（1）双曲线的定义及应用；（2）双曲线的标准方程；（3）双曲线的几何性质．
核心素养：直观想象、数学运算
考点93双曲线的几何性质
23次考21次
考点94直线与双曲线的位置关系
23次考5次
十年试题分类*探求规律
考点92 双曲线的定义及标准方程
1．（2017新课标Ⅲ理）已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由题意可得：，，又，解得，，
则的方程为，故选B．
2．（2017天津理）已知双曲线的左焦点为，离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】B【解析】设，双曲线的渐近线方程为，由，由题意有，又，，得，，故选B．
3．【2017天津文】已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，解得，故双曲线方程为，故选D．
4．(2016天津理)已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于、、、四点，四边形的的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】不妨设在第一象限，，所以，解得，
故四边形的面积为，
解得．故所求的双曲线方程为，故选D．
5．【2016天津文】已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，故选A．
6．（2015安徽理）下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题意，选项的焦点在轴，故排除，项的渐近线方程为，即，故选C．
7．（2014天津理）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】A【解析】 依题意得，所以，，双曲线的方程为．
8．（2012湖南文理）已知双曲线C ：=1的焦距为10，点P(2，1)在C 的渐近线上，则C的方程为
A．=1 B．=1 C．=1 D．=1
【答案】A【解析】设双曲线C ：-=1的半焦距为，则．
又C 的渐近线为，点P(2，1)在C 的渐近线上，，即．
又，，C的方程为-=1．
9．（2011山东文理）已知双曲线的两条渐近线均和圆：
相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】A【解析】圆，而，则，故选A．
10．（2016北京文）已知双曲线 的一条渐近线为，一个焦点为，则=_______；=_____________．
【答案】．
【解析】依题意有，结合，解得．
11．(2016北京理)双曲线的渐近线为正方形的边 所在的直线，点为该双曲线的焦点．若正方形的边长为2，则=______．
2【解析】不妨令为双曲线的右焦点，在第一象限，则双曲线图象如图，
∵为正方形，∴，，
∵直线是渐近线，方程为，∴，又∵，∴．
12．（2015新课标1文）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ．
【答案】【解析】∵双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线的方程为，又双曲线过点，∴，∴，故双曲线的方程为．
13．（2015北京理）已知双曲线的一条渐近线为，则 ．
【解析】因为双曲线的一条渐近线为，所以，故．
14．（2011山东文理）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．
【答案】【解析】由题意可知双曲线的焦点，，即，又因双曲线的离心率为，∴，故，∴双曲线的方程为．
考点93 双曲线的几何性质
15．（2020·新课标Ⅰ文）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【解析】由已知，不妨设，
则，∵，
∴点在以为直径的圆上，[来源：Z．xx．k．Com]
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
∴，
解得，∴，故选B．
16．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线的左、右焦点，离心率为．是上的一点，且．若的面积为，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．
【解析】解法一：，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，，即，解得，故选A．
解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为．∴=4，则，
又∵，∴．
解法三：设，则，，，求的．
17．【2020年高考浙江卷8】已知点．设点满足，且为函数图像上的点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由条件可知点在以为焦点的双曲线的右支上，并且，∴，
方程为 且点为函数上的点，联立方程 ，解得：，，，故选D．
18．【2019·全国Ⅰ文】双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（ ）
A．2sin40° B．2cos40°
C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得，
，故选D．
19．【2019年高考全国Ⅱ理】设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
∴，，
又点在圆上，，即．
，故选A．
20．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，
，故选A．
【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．
21．【2019·全国Ⅲ文】已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若，则的面积为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设点，则①．
又，②．
由①②得，即，，故选B．
22．【2019·北京文】已知双曲线（a>0）的离心率是，则a=（ ）
A． B．4
C．2 D．
【答案】D
【解析】∵双曲线的离心率，，∴，解得，故选D．
23．【2019·浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（ ）
A． B．1
C． D．2
【答案】C
【解析】∵双曲线的渐近线方程为，∴，则，∴双曲线的离心率．故选C．
24．（2018全国Ⅱ文理）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，∴，∵渐近线方程为，∴渐近线方程为，故选A．
25．【2018·全国Ⅲ文】已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，∴双曲线的渐近线方程为，∴点到渐近线的距离，故选D．
26．【2018高考浙江2】双曲线的焦点坐标是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标．
试题解析：双曲线方程为，焦点坐标可设为．
，焦点坐标为，故选B．
【名师点睛】由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为．
27．【2018高考全国1理11】已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为．若为直角三角形，则 （ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】【基本解法1】（直接法）
∵双曲线，∴渐近线方程为
，倾斜角分别为，∴，
不妨设，
∴，∵，
∴在中，，
∴在中，．
【基本解法2】（直接法）根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，
从而得到，∴直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，
可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，
求得，故选B．
28．【2018高考天津文理7】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点坐标为，则，
由可得：，不妨设：，
双曲线的一条渐近线方程为：，
据此可得：，，
则，则，双曲线的离心率：，
据此可得：，则双曲线的方程为，故选C．
29．【2017·全国Ⅰ文】已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得，∴，将代入，得，∴，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为，故选D．
30．【2017·全国Ⅱ文】若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，∵，∴，则，故选C．
31．（2017新课标Ⅱ理）若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为
，圆心到弦的距离也为，
所以，又，所以得，所以离心率，选A．
32．(2016全国I理)已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
A．(–1，3) B．(–1，) C．(0，3) D．(0，)
【答案】A【解析】由题意得，解得，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得M，即，所以．
33．(2016全国II理)已知，是双曲线：的左、右焦点，点在上，与轴垂直，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A【解析】设，将代入双曲线方程，得，化简得，
因为，所以，所以，所以，故选A．
34．（2016浙江理）已知椭圆：（）与双曲线：（）的焦点重合，，分别为，的离心率，则
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A【解析】由题意知，即，
，∴．故选A．
35．（2015湖南文）若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由已知可得双曲线的渐近线方程为，点在渐近线上，
∴，又，∴，∴．
36．（2015四川文理）过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于两点，则＝
A． B．2 C．6 D．4
【答案】D【解析】双曲线的右焦点为，渐近线方程为，将代入得，∴．
37．（2015福建理）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）
A．11 B．9 C．5 D．3
【答案】B【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B．
38．（2015湖北理）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则
A．对任意的， B．当时，；当时，
C．对任意的， D．当时，；当时，
【答案】D【解析】由题意，，
∵，由于，，，
所以当时，，，，，
所以；当时，，，而，，
所以．所以当时，；当时，．
39．（2015重庆文）设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，过做 的垂线与双曲线交于两点，若，则双曲线的渐近线的斜率为
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题意，得，将代入双曲线方程，解得
．不妨设，，则，根据题意，
有，整理得，∴双曲线的渐近线的斜率为．
40．（2015重庆理）设双曲线（）的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线，两垂线交于点．若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A 【解析】 由题意，由双曲线的对称性知在轴上，设，由得，解得，所以，所以，而双曲线的渐近性斜率为，所以双曲线的渐近线的斜率取值范围是，故选A．
41．（2014新课标1文理）已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为
A． B．3 C． D．
【答案】A【解析】双曲线方程为，焦点到一条渐近线的距离为，故选A．
42．（2014广东文理）若实数k满足，则曲线与曲线的
A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等
【答案】A【解析】∵，∴，本题两条曲线都是双曲线，
又，∴两双曲线的焦距相等，故选A．
43．（2014重庆文理）设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．3
【答案】B【解析】由双曲线的定义得，又，
∴，即，
因此，即，则（）（）=0，解得
舍去），则双曲线的离心率．
44．（2013新课标1文理）已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题知，，即==，∴=，∴=，∴的渐近线方程为，故选C．
45．（2013湖北文理）已知，则双曲线 与的
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等
【答案】D【解析】双曲线的离心率是，双曲线的离心率是
，故选D．
46．（2012新课标文理）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于、两点，，则的实轴长为（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】C【解析】设交的准线
于
得：
47．（2012福建文理）已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于
A． B． C． D．
【答案】C【解析】∵双曲线的右焦点为（3，0），∴+5=9，∴=4，∴=2，∵=3，∴，故选C．
48．（2011安徽文理）双曲线的实轴长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】可变形为，则，，．故选C．
49．（2011湖南文理）设双曲线的渐近线方程为，则的值为
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知．
50．（2011天津文理）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】双曲线的渐近线为，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得，即，又∵，∴，将（－2，－1）代入得，∴，即．
51．【2020年高考全国Ⅰ理15】已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为 ．
【答案】2
【思路导引】根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式求解即可．
【解析】依题可得，，而，，即，变形得，化简可得，，解得或（舍去）．故答案为：．
52．【2020年高考江苏6】在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是 ．
【答案】
【解析】由得渐近线方程为，又，
则，，，得离心率．
53．【2020年高考北京卷12】已知双曲线，则的右焦点的坐标为________；的焦点到其渐近线的距离是__________．
【答案】，
【解析】∵双曲线，∴，，，∴，∴右焦点坐标为，∵双曲线中焦点到渐近线距离为，∴．
54．【2019·江苏】在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ ．
【答案】
【解析】由已知得，解得或，
∵，∴．
∵，∴双曲线的渐近线方程为．
55．【2018·北京文】若双曲线的离心率为，则________________．
【答案】4
【解析】在双曲线中，且，∴，即，
∵，∴．
56．（2018北京理14）已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为__________；双曲线的离心率为__________．
【答案】【解析】设椭圆的右焦点为，双曲线的渐近线与椭圆在第一象限内的交点为，由题意可知，由点在椭圆上得，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴（舍去）或，∴椭圆的离心率，
∵双曲线的渐近线过点，渐近线方程为，故双曲线的离心率．
57．【2018高考江苏8】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点 到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 ▲ ．
【答案】2
【解析】试题分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率．
试题解析：∵双曲线的焦点到渐近线即的距离为
，，因此．
【名师点睛】双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为．
58．【2018高考上海2】双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】由已知得，渐近线方程为．
【考点分析】双曲线简单的几何性质，考查运算求解能力
59．（2017新课标Ⅰ理）已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径做圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点．若=60°，则的离心率为________．
【答案】【解析】如图所示，，，=60°，
所以，又所在直线的方程为，到的距离，
在中，有，所以，即，
因为，得，所以．
60．（2017新课标Ⅲ文）双曲线的一条渐近线方程为，则= ．
【答案】5
【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为，结合题意可得．
61．（2017山东文理）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】由抛物线定义可得：，
∵，∴渐近线方程为．
62．（2017北京文理）若双曲线的离心率为，则实数m=_________．
【答案】2
【解析】∵，∴，解得．
63．【2016浙江文】设双曲线x2–=1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是_______．
【答案】．
【解析】由已知得，则，设是双曲线上任一点，由对称性不妨设在双曲线的右支上，则，，，为锐角，则，即，解得，∴，则．
64．（2016山东文理）已知双曲线：，若矩形的四个顶点在上，，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是 ．
【答案】
【解析】依题意，不妨设，作出图象如下图所示
则故离心率
65．（2015新课标1文）已知是双曲线：的右焦点，是左支上一点，，当 周长最小时，该三角形的面积为 ．
【答案】【解析】由题意，双曲线：的右焦点为，实半轴长，左焦点为，∵在的左支上，
∴的周长
=，当且仅当三点共线且在中间时取等号，此时直线的方程为，与双曲线的方程联立得的坐标为，此时，的面积为．
66．（2015山东文）过双曲线 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点，若点的横坐标为，则的离心率为 ．
【答案】【解析】设直线方程为，由，得，
由，，解得（舍去）．
67．（2015山东理）平面直角坐标系中，双曲线：的渐近线与抛物线：()交于，若△的垂心为的焦点，则的离心率为_______．
【解析】的渐近线为，
则，，的焦点，
则，即，，．
68．（2014山东文理）已知双曲线的焦距为，右顶点为A，抛物线的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】【解析】抛物线的准线，与双曲线的方程联立得，根据已知得 ①，由得 ②，由①②得，
即，∴所求双曲线的渐近线方程为．
69．（2014浙江文理）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率是 ．
【答案】【解析】联立直线方程与双曲线渐近线方程可解得交点为，，而，由，可得的中点与点连线的斜率为3，可得，∴．
70．（2014北京文理）设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________．
【答案】 【解析】设与具有相同渐近线的双曲线C的方程为，将点代入C的方程中，得．∴双曲线的方程为，渐近线方程为．
71．（2014湖南文理）设F1，F2是双曲线C：的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为_________．
【答案】【解析】由已知可得，，，由双曲线的定义，可得，则．
72．（2013辽宁文理）已知为双曲线的左焦点，为上的点，若 的长等于虚轴长的2倍，点在线段，则的周长为 ．
【答案】44【解析】由题意得，，，两式相加，利用双曲线的定义得，∴的周长为．
73．（2013陕西理）双曲线的离心率为 ．
【解析】
74．（2012辽宁文理）已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的值为 ．
【答案】【解析】由双曲线的方程可知
75．（2012天津文理）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且的右焦点为，则 ．
【答案】1，2【解析】双曲线的渐近线为，而的渐近线为，∴有，，又双曲线的右焦点为，
∴，又，即，∴．
76．（2012江苏文理）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则 的值为 ．
【答案】2【解析】由题意得＞0，∴=，=
由=得，解得=2．
77．（2011北京文理）已知双曲线的一条渐近线的方程为，则= ．
【答案】2【解析】由得渐近线的方程为，即，由一条渐近线的方程为得．
考点94 直线与双曲线的位置关系
78．（2020·新课标Ⅱ文理8）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为 （ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【思路导引】∵，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案．
【解析】∵，双曲线的渐近线方程是，
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，
不妨设为在第一象限，在第四象限，联立，解得，故，
联立，解得，故，，
面积为：．
双曲线，其焦距为，当且仅当取等号，的焦距的最小值：，故选B．
79．（2020·浙江卷）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，∴，
由，解得，即．
80．（2019天津文理）已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有，∴，，，∴，故选D．
【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度．解答时，只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．
81．【2018高考全国2理5】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】试题分析：根据离心率得关系，进而得关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果．
试题解析：．
∵渐近线方程为渐近线方程为，故选A．
【名师点睛】已知双曲线方程求渐近线方程：．
【考点】双曲线的简单几何性质（离心率、渐近线方程）
82．【2018高考全国3理11】设是双曲线的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：由双曲线性质得到，，然后在和在中利用余弦定理可得．
试题解析：由题可知，．
在中，，，，，故选C．
【名师点睛】本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．
83．（2018天津文理）已知双曲线的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设双曲线的右焦点坐标为，则，由可得，
不妨设，，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得
，，则，则，，双曲线的离心率，据此可得，则双曲线的方程为，故选A．
84．（2014天津文）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】A【解析】 依题意得，∴，，双曲线的方程为．
85．（2013重庆文理）设双曲线的中心为点，若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A【解析】设双曲线的焦点在轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率必须满足，∴，，既有，又双曲线的离心率为，∴．
86．（2020·新课标Ⅲ）设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_________．
【答案】
【解析】由双曲线方程可得其焦点在轴上，∵其一条渐近线为，
∴，．
87．（2020·北京卷）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．
【答案】 (1)． (2)．
【解析】在双曲线C中，，，则，则双曲线C的右焦点坐标为，
双曲线C的渐近线方程为，即，
∴，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为．
88．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是____．
【答案】
【解析】双曲线，故．由于双曲线的一条渐近线方程为，即，∴，∴双曲线的离心率为．
89．【2019年高考全国Ⅰ理】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
【答案】2
【解析】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得∴，，
又OA与OB都是渐近线，得
又，∴
又渐近线OB的斜率为，∴该双曲线的离心率为．
90．【2019江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 ▲ ．
【答案】4
【解析】当直线x+y=0平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P，此时到直线x+y=0的距离最小．由，得，，即切点，
则切点Q到直线x+y=0的距离为．
91．（2017江苏）在平面直角坐标系中 ，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，，其焦点是，，则四边形的面积是 ．
【答案】
【解析】右准线方程为，渐近线方程为，设，则，，，∴四边形的面积．
92．（2015江苏理）在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点．若点到直线的距离大于恒成立，则是实数的最大值为 ．
【解析】设，因为直线平行于渐近线，所以的最大值为直线与渐近线之间距离，为．
专题27 双 曲 线
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2011
理7
双曲线
直线与双曲线的位置关系，双曲线的几何性质[来源:学&科&网Z&X&X&K]
2012
理8文10
双曲线
抛物线与双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系
2013
卷1
文理4
双曲线
双曲线的离心率和渐近线
2014
卷1[来源:学.科.网][来源:Z.xx.k.Com][来源:Zxxk.Com]
理4
双曲线[来源:学。科。网]
双曲线的标准方程及其几何性质
文4
双曲线
双曲线的离心率
卷2
理5
双曲线
双曲线的标准方程及其几何性质
2015
卷1
文16
双曲线
双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系
卷2
理11
双曲线
双曲线的标准方程及其几何性质
文15
双曲线
双曲线的标准方程的求法，双曲线的渐近线
2016
卷2
理11
双曲线
双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算
2017
卷1
理15
双曲线
双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法
文5
双曲线
双曲线标准方程及其几何性质
卷2
理9
圆、双曲线
圆的几何性质，双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算
文5
双曲线
双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算
卷3
理5
双曲线
双曲线与椭圆的几何性质，待定系数法求双曲线的方程
文14
双曲线
双曲线的渐近线
2018
卷1
理11
双曲线
双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系
卷2
理5文6
双曲线
双曲线的几何性质
卷3
理11
双曲线
双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法
文10
双曲线
双曲线的离心率、渐近线，点到直线距离公式
2019
卷1
理16
双曲线
双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法
文10
双曲线
双曲线的离心率、渐近线
卷2
理11文12
圆、双曲线
直线与圆的位置关系，双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法
卷3
理10
双曲线
双曲线的定义、标准方程及其几何性质
文10
双曲线
双曲线的定义、标准方程及其几何性质
2020
卷1
理15
双曲线
双曲线的定义、标准方程及其几何性质，双曲线离心率的求法
文11
双曲线
双曲线的定义、标准方程及其几何性质
卷2
理8文9
双曲线
双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系
卷3
理11
双曲线
双曲线的定义、标准方程及其几何性质
文14
双曲线
双曲线的渐近线、离心率
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021年预测
考点92双曲线的定义及标准方程
23次考2次
命题角度：（1）双曲线的定义及应用；（2）双曲线的标准方程；（3）双曲线的几何性质．
核心素养：直观想象、数学运算
考点93双曲线的几何性质
23次考21次
考点94直线与双曲线的位置关系
23次考5次
十年试题分类*探求规律
考点92 双曲线的定义及标准方程
1．（2017新课标Ⅲ理）已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由题意可得：，，又，解得，，
则的方程为，故选B．
2．（2017天津理）已知双曲线的左焦点为，离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】B【解析】设，双曲线的渐近线方程为，由，由题意有，又，，得，，故选B．
3．【2017天津文】已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，解得，故双曲线方程为，故选D．
4．(2016天津理)已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于、、、四点，四边形的的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】不妨设在第一象限，，所以，解得，
故四边形的面积为，
解得．故所求的双曲线方程为，故选D．
5．【2016天津文】已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，故选A．
6．（2015安徽理）下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题意，选项的焦点在轴，故排除，项的渐近线方程为，即，故选C．
7．（2014天津理）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】A【解析】 依题意得，所以，，双曲线的方程为．
8．（2012湖南文理）已知双曲线C ：=1的焦距为10，点P(2，1)在C 的渐近线上，则C的方程为
A．=1 B．=1 C．=1 D．=1
【答案】A【解析】设双曲线C ：-=1的半焦距为，则．
又C 的渐近线为，点P(2，1)在C 的渐近线上，，即．
又，，C的方程为-=1．
9．（2011山东文理）已知双曲线的两条渐近线均和圆：
相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】A【解析】圆，而，则，故选A．
10．（2016北京文）已知双曲线 的一条渐近线为，一个焦点为，则=_______；=_____________．
【答案】．
【解析】依题意有，结合，解得．
11．(2016北京理)双曲线的渐近线为正方形的边 所在的直线，点为该双曲线的焦点．若正方形的边长为2，则=______．
2【解析】不妨令为双曲线的右焦点，在第一象限，则双曲线图象如图，
∵为正方形，∴，，
∵直线是渐近线，方程为，∴，又∵，∴．
12．（2015新课标1文）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ．
【答案】【解析】∵双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线的方程为，又双曲线过点，∴，∴，故双曲线的方程为．
13．（2015北京理）已知双曲线的一条渐近线为，则 ．
【解析】因为双曲线的一条渐近线为，所以，故．
14．（2011山东文理）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．
【答案】【解析】由题意可知双曲线的焦点，，即，又因双曲线的离心率为，∴，故，∴双曲线的方程为．
考点93 双曲线的几何性质
15．（2020·新课标Ⅰ文）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【解析】由已知，不妨设，
则，∵，
∴点在以为直径的圆上，[来源：Z．xx．k．Com]
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
∴，
解得，∴，故选B．
16．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线的左、右焦点，离心率为．是上的一点，且．若的面积为，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．
【解析】解法一：，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，，即，解得，故选A．
解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为．∴=4，则，
又∵，∴．
解法三：设，则，，，求的．
17．【2020年高考浙江卷8】已知点．设点满足，且为函数图像上的点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由条件可知点在以为焦点的双曲线的右支上，并且，∴，
方程为 且点为函数上的点，联立方程 ，解得：，，，故选D．
18．【2019·全国Ⅰ文】双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（ ）
A．2sin40° B．2cos40°
C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得，
，故选D．
19．【2019年高考全国Ⅱ理】设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
∴，，
又点在圆上，，即．
，故选A．
20．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，
，故选A．
【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．
21．【2019·全国Ⅲ文】已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若，则的面积为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设点，则①．
又，②．
由①②得，即，，故选B．
22．【2019·北京文】已知双曲线（a>0）的离心率是，则a=（ ）
A． B．4
C．2 D．
【答案】D
【解析】∵双曲线的离心率，，∴，解得，故选D．
23．【2019·浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（ ）
A． B．1
C． D．2
【答案】C
【解析】∵双曲线的渐近线方程为，∴，则，∴双曲线的离心率．故选C．
24．（2018全国Ⅱ文理）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，∴，∵渐近线方程为，∴渐近线方程为，故选A．
25．【2018·全国Ⅲ文】已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，∴双曲线的渐近线方程为，∴点到渐近线的距离，故选D．
26．【2018高考浙江2】双曲线的焦点坐标是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标．
试题解析：双曲线方程为，焦点坐标可设为．
，焦点坐标为，故选B．
【名师点睛】由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为．
27．【2018高考全国1理11】已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为．若为直角三角形，则 （ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】【基本解法1】（直接法）
∵双曲线，∴渐近线方程为
，倾斜角分别为，∴，
不妨设，
∴，∵，
∴在中，，
∴在中，．
【基本解法2】（直接法）根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，
从而得到，∴直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，
可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，
求得，故选B．
28．【2018高考天津文理7】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点坐标为，则，
由可得：，不妨设：，
双曲线的一条渐近线方程为：，
据此可得：，，
则，则，双曲线的离心率：，
据此可得：，则双曲线的方程为，故选C．
29．【2017·全国Ⅰ文】已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得，∴，将代入，得，∴，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为，故选D．
30．【2017·全国Ⅱ文】若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，∵，∴，则，故选C．
31．（2017新课标Ⅱ理）若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为
，圆心到弦的距离也为，
所以，又，所以得，所以离心率，选A．
32．(2016全国I理)已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
A．(–1，3) B．(–1，) C．(0，3) D．(0，)
【答案】A【解析】由题意得，解得，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得M，即，所以．
33．(2016全国II理)已知，是双曲线：的左、右焦点，点在上，与轴垂直，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A【解析】设，将代入双曲线方程，得，化简得，
因为，所以，所以，所以，故选A．
34．（2016浙江理）已知椭圆：（）与双曲线：（）的焦点重合，，分别为，的离心率，则
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A【解析】由题意知，即，
，∴．故选A．
35．（2015湖南文）若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由已知可得双曲线的渐近线方程为，点在渐近线上，
∴，又，∴，∴．
36．（2015四川文理）过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于两点，则＝
A． B．2 C．6 D．4
【答案】D【解析】双曲线的右焦点为，渐近线方程为，将代入得，∴．
37．（2015福建理）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）
A．11 B．9 C．5 D．3
【答案】B【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B．
38．（2015湖北理）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则
A．对任意的， B．当时，；当时，
C．对任意的， D．当时，；当时，
【答案】D【解析】由题意，，
∵，由于，，，
所以当时，，，，，
所以；当时，，，而，，
所以．所以当时，；当时，．
39．（2015重庆文）设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，过做 的垂线与双曲线交于两点，若，则双曲线的渐近线的斜率为
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题意，得，将代入双曲线方程，解得
．不妨设，，则，根据题意，
有，整理得，∴双曲线的渐近线的斜率为．
40．（2015重庆理）设双曲线（）的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线，两垂线交于点．若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A 【解析】 由题意，由双曲线的对称性知在轴上，设，由得，解得，所以，所以，而双曲线的渐近性斜率为，所以双曲线的渐近线的斜率取值范围是，故选A．
41．（2014新课标1文理）已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为
A． B．3 C． D．
【答案】A【解析】双曲线方程为，焦点到一条渐近线的距离为，故选A．
42．（2014广东文理）若实数k满足，则曲线与曲线的
A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等
【答案】A【解析】∵，∴，本题两条曲线都是双曲线，
又，∴两双曲线的焦距相等，故选A．
43．（2014重庆文理）设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．3
【答案】B【解析】由双曲线的定义得，又，
∴，即，
因此，即，则（）（）=0，解得
舍去），则双曲线的离心率．
44．（2013新课标1文理）已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题知，，即==，∴=，∴=，∴的渐近线方程为，故选C．
45．（2013湖北文理）已知，则双曲线 与的
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等
【答案】D【解析】双曲线的离心率是，双曲线的离心率是
，故选D．
46．（2012新课标文理）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于、两点，，则的实轴长为（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】C【解析】设交的准线
于
得：
47．（2012福建文理）已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于
A． B． C． D．
【答案】C【解析】∵双曲线的右焦点为（3，0），∴+5=9，∴=4，∴=2，∵=3，∴，故选C．
48．（2011安徽文理）双曲线的实轴长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】可变形为，则，，．故选C．
49．（2011湖南文理）设双曲线的渐近线方程为，则的值为
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知．
50．（2011天津文理）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】双曲线的渐近线为，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得，即，又∵，∴，将（－2，－1）代入得，∴，即．
51．【2020年高考全国Ⅰ理15】已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为 ．
【答案】2
【思路导引】根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式求解即可．
【解析】依题可得，，而，，即，变形得，化简可得，，解得或（舍去）．故答案为：．
52．【2020年高考江苏6】在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是 ．
【答案】
【解析】由得渐近线方程为，又，
则，，，得离心率．
53．【2020年高考北京卷12】已知双曲线，则的右焦点的坐标为________；的焦点到其渐近线的距离是__________．
【答案】，
【解析】∵双曲线，∴，，，∴，∴右焦点坐标为，∵双曲线中焦点到渐近线距离为，∴．
54．【2019·江苏】在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ ．
【答案】
【解析】由已知得，解得或，
∵，∴．
∵，∴双曲线的渐近线方程为．
55．【2018·北京文】若双曲线的离心率为，则________________．
【答案】4
【解析】在双曲线中，且，∴，即，
∵，∴．
56．（2018北京理14）已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为__________；双曲线的离心率为__________．
【答案】【解析】设椭圆的右焦点为，双曲线的渐近线与椭圆在第一象限内的交点为，由题意可知，由点在椭圆上得，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴（舍去）或，∴椭圆的离心率，
∵双曲线的渐近线过点，渐近线方程为，故双曲线的离心率．
57．【2018高考江苏8】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点 到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 ▲ ．
【答案】2
【解析】试题分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率．
试题解析：∵双曲线的焦点到渐近线即的距离为
，，因此．
【名师点睛】双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为．
58．【2018高考上海2】双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】由已知得，渐近线方程为．
【考点分析】双曲线简单的几何性质，考查运算求解能力
59．（2017新课标Ⅰ理）已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径做圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点．若=60°，则的离心率为________．
【答案】【解析】如图所示，，，=60°，
所以，又所在直线的方程为，到的距离，
在中，有，所以，即，
因为，得，所以．
60．（2017新课标Ⅲ文）双曲线的一条渐近线方程为，则= ．
【答案】5
【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为，结合题意可得．
61．（2017山东文理）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】由抛物线定义可得：，
∵，∴渐近线方程为．
62．（2017北京文理）若双曲线的离心率为，则实数m=_________．
【答案】2
【解析】∵，∴，解得．
63．【2016浙江文】设双曲线x2–=1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是_______．
【答案】．
【解析】由已知得，则，设是双曲线上任一点，由对称性不妨设在双曲线的右支上，则，，，为锐角，则，即，解得，∴，则．
64．（2016山东文理）已知双曲线：，若矩形的四个顶点在上，，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是 ．
【答案】
【解析】依题意，不妨设，作出图象如下图所示
则故离心率
65．（2015新课标1文）已知是双曲线：的右焦点，是左支上一点，，当 周长最小时，该三角形的面积为 ．
【答案】【解析】由题意，双曲线：的右焦点为，实半轴长，左焦点为，∵在的左支上，
∴的周长
=，当且仅当三点共线且在中间时取等号，此时直线的方程为，与双曲线的方程联立得的坐标为，此时，的面积为．
66．（2015山东文）过双曲线 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点，若点的横坐标为，则的离心率为 ．
【答案】【解析】设直线方程为，由，得，
由，，解得（舍去）．
67．（2015山东理）平面直角坐标系中，双曲线：的渐近线与抛物线：()交于，若△的垂心为的焦点，则的离心率为_______．
【解析】的渐近线为，
则，，的焦点，
则，即，，．
68．（2014山东文理）已知双曲线的焦距为，右顶点为A，抛物线的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】【解析】抛物线的准线，与双曲线的方程联立得，根据已知得 ①，由得 ②，由①②得，
即，∴所求双曲线的渐近线方程为．
69．（2014浙江文理）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率是 ．
【答案】【解析】联立直线方程与双曲线渐近线方程可解得交点为，，而，由，可得的中点与点连线的斜率为3，可得，∴．
70．（2014北京文理）设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________．
【答案】 【解析】设与具有相同渐近线的双曲线C的方程为，将点代入C的方程中，得．∴双曲线的方程为，渐近线方程为．
71．（2014湖南文理）设F1，F2是双曲线C：的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为_________．
【答案】【解析】由已知可得，，，由双曲线的定义，可得，则．
72．（2013辽宁文理）已知为双曲线的左焦点，为上的点，若 的长等于虚轴长的2倍，点在线段，则的周长为 ．
【答案】44【解析】由题意得，，，两式相加，利用双曲线的定义得，∴的周长为．
73．（2013陕西理）双曲线的离心率为 ．
【解析】
74．（2012辽宁文理）已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的值为 ．
【答案】【解析】由双曲线的方程可知
75．（2012天津文理）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且的右焦点为，则 ．
【答案】1，2【解析】双曲线的渐近线为，而的渐近线为，∴有，，又双曲线的右焦点为，
∴，又，即，∴．
76．（2012江苏文理）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则 的值为 ．
【答案】2【解析】由题意得＞0，∴=，=
由=得，解得=2．
77．（2011北京文理）已知双曲线的一条渐近线的方程为，则= ．
【答案】2【解析】由得渐近线的方程为，即，由一条渐近线的方程为得．
考点94 直线与双曲线的位置关系
78．（2020·新课标Ⅱ文理8）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为 （ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【思路导引】∵，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案．
【解析】∵，双曲线的渐近线方程是，
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，
不妨设为在第一象限，在第四象限，联立，解得，故，
联立，解得，故，，
面积为：．
双曲线，其焦距为，当且仅当取等号，的焦距的最小值：，故选B．
79．（2020·浙江卷）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，∴，
由，解得，即．
80．（2019天津文理）已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有，∴，，，∴，故选D．
【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度．解答时，只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．
81．【2018高考全国2理5】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】试题分析：根据离心率得关系，进而得关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果．
试题解析：．
∵渐近线方程为渐近线方程为，故选A．
【名师点睛】已知双曲线方程求渐近线方程：．
【考点】双曲线的简单几何性质（离心率、渐近线方程）
82．【2018高考全国3理11】设是双曲线的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：由双曲线性质得到，，然后在和在中利用余弦定理可得．
试题解析：由题可知，．
在中，，，，，故选C．
【名师点睛】本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．
83．（2018天津文理）已知双曲线的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设双曲线的右焦点坐标为，则，由可得，
不妨设，，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得
，，则，则，，双曲线的离心率，据此可得，则双曲线的方程为，故选A．
84．（2014天津文）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】A【解析】 依题意得，∴，，双曲线的方程为．
85．（2013重庆文理）设双曲线的中心为点，若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A【解析】设双曲线的焦点在轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率必须满足，∴，，既有，又双曲线的离心率为，∴．
86．（2020·新课标Ⅲ）设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_________．
【答案】
【解析】由双曲线方程可得其焦点在轴上，∵其一条渐近线为，
∴，．
87．（2020·北京卷）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．
【答案】 (1)． (2)．
【解析】在双曲线C中，，，则，则双曲线C的右焦点坐标为，
双曲线C的渐近线方程为，即，
∴，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为．
88．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是____．
【答案】
【解析】双曲线，故．由于双曲线的一条渐近线方程为，即，∴，∴双曲线的离心率为．
89．【2019年高考全国Ⅰ理】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
【答案】2
【解析】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得∴，，
又OA与OB都是渐近线，得
又，∴
又渐近线OB的斜率为，∴该双曲线的离心率为．
90．【2019江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 ▲ ．
【答案】4
【解析】当直线x+y=0平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P，此时到直线x+y=0的距离最小．由，得，，即切点，
则切点Q到直线x+y=0的距离为．
91．（2017江苏）在平面直角坐标系中 ，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，，其焦点是，，则四边形的面积是 ．
【答案】
【解析】右准线方程为，渐近线方程为，设，则，，，∴四边形的面积．
92．（2015江苏理）在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点．若点到直线的距离大于恒成立，则是实数的最大值为 ．
【解析】设，因为直线平行于渐近线，所以的最大值为直线与渐近线之间距离，为．
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