2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题14 解三角形（含解析）

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专题 14
解 三 角 形
十年大数据*全景展示
年 份
题 号
考 点
考 查 内 容
利用正弦定理、余弦定理解平面
课标 理 16
正弦定理、三角公式、三角函数最值问题．
正余弦定理及三角形面积公式
图形
2011
2012
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
课标
文 15
理 17
文 17
理 17
文 10
已知边角关系利用正余弦定理 利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式，运
解三角形 算求解能力．
课标
课标
卷 1
卷 1
已知边角关系利用正余弦定理 利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式，运
解三角形 算求解能力．
利用正弦定理、余弦定理解平面 利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差
图形
公式解平面图形
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
二倍角公式、利用正余弦定理解三角形．
2013
正弦定理、余弦定理、两角和与差三角公式、三
角形面积公式、基本不等式等知识，函数与方程
思想．
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
卷 2
理 17
利用正弦定理、余弦定理解平面 利用正弦定理、余弦定理解三角形及三角形面积
图形 公式
卷 2
卷 1
卷 2
卷 1
卷 2
卷 1
卷 2
文 4
理 16
理 4
已知边角关系利用正余弦定理 正弦定理、余弦定理、基本不等式、三角形面积
解三角形
公式等基础知识
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
三角形的面积公式、余弦定理
2014
正余弦定理在实际测量问题中 利用正余弦定理解决高度测量问题，空间想象能
文 16
文 17
理 16
理 17
的应用
力．
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
余弦定理及三角形面积公式，运算求解能力
利用正弦定理、余弦定理解平面 利用正弦定理与余弦定理解平面四边形，数形结
图形 合思想
2015
利用正弦定理、余弦定理解平面 利用正弦定理与余弦定理解三角形中的边角及
图形 三角形面积问题


已知边角关系利用正余弦定理 利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式，运
解三角形 算求解能力．
卷 1
卷 2
卷 1
卷 1
卷 2
卷 3
卷 3
卷 2
卷 1
卷 2
卷 3
卷 1
卷 2
卷 3
卷 1
卷 2
文 17
文 17
理 17
文 4
利用正弦定理、余弦定理解平面 利用正弦定理与余弦定理解三角形中的边角及
图形 两角和的三角公式
已知边角关系利用正余弦定理 利用正余弦定理解三角形、三角公式、三角形面
解三角形
积公式，运算求解能力．
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
余弦定理解三角形．
已知边角关系利用正余弦定理 同角三角函数基本关系、两角和公式、利用正弦
理 13
理 8
解三角形
定理解三角形．
2016
利用正弦定理、余弦定理解平面
利用余弦定理解三角形．
图形
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
文 9
利用正弦定理解三角形．
利用正弦定理、余弦定理解平面 同角三角函数基本关系、诱导公式、两角和正弦
图形 公式、利用正弦定理解三角形．
文 15
理 17
理 17
理 17
文 11
文 16
文 15
理 17
已知边角关系利用 正余弦定理 已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理
解三角形 解三角形、求三角形面积，运算求解能力
已知边角关系利用正余弦定理 已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理
解三角形 解三角形、求三角形面积，运算求解能力
已知边角关系利用正余弦定理 已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理
解三角形 解三角形、求三角形面积，运算求解能力
利用正弦定理、余弦定理解平面 三角恒等变换、利用正余弦定理解三角形，转化
图形 与化归思想与运势求解能力．
2017
已 知边角关系利用正余弦定理 正弦定理、三角恒等变换与已知三角函数值求
解三角形
角．
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
利用正弦定理解三角形．
利用正弦定理、余弦定理解平面 利用正弦定理、余弦定理解平面四边形边长及
图形
角，数学应用意识．
2018
理 6 文 利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
卷 3 理 9 文 已知边角关系利用正余弦定理 余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数基本
二倍角公式、利用余弦定理求三角形边长．
7


11
解三角形
已知边角关系利用正余弦定理 已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理
解三角形 解三角形、求三角形面积，运算求解能力
关系，运算求解能力
卷 1
卷 1
卷 2
文 16
已知边角关系利用正余弦定理 已知角的三角函数间关系，利用正弦定理、余弦
解三角形 定理求角及三角函数值，运算求解能力．
已知边角关系利用正余弦定理 已知角的三角函数间关系，利用正弦定理、余弦
理 17
理 15
解三角形
定理求三角形角及三角形面积，运算求解能力．
已知角的三角函数间关系、三角公式、利用正弦
定理、余弦定理求三角形角及三角形面积，运算
求解能力．
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
2019 卷 3 文理 18
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
卷 1
文 11
文 15
利用正余弦定理解三角形．
已知边角关系利用正余弦定理 已知三角函数边角关系利用正弦定理、余弦定理
卷 2
卷 1
卷 2
解三角形
解三角形
解三角形
解三角形
解三角形
解三角形
求角，转化与化归思想．
文 18
理 17
文 17
理 7
余弦定理，三角形面积公式，三角函数公式
正弦定理、余弦定理，基本不等式
余弦定理，三角函数公式
2020
余弦定理及其推论
卷 3
文 11
余弦定理推论，平方关系、商关系
大数据分析*预测高考
出现频率 2021 年预测
考 点
考点 44 已知边角关系利 20/36
用正余弦定理解三角形
2021 年高考仍将重点考查已知三角形边角关系利用正弦定理解
三角形及利用正余弦定理解平面图形的边、角与面积，题型既有
选择也有填空更多是解答题，若考解答题，主要放在第 17 题位
置，为中档题，若为选题可以为基础题，多为中档题，也可为压
轴题．
考点 45 利用正弦定理、 17/36
余弦定理解平面图形
考点 46 正余弦定理在实 1/36
际测量问题中的应用
十年试题分类*探求规律
考点 44 已知边角关系利用正余弦定理解三角形
1．(2019•新课标Ⅰ，文 11) DABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知asin A-bsin B = 4csinC ，
1
b
cos A = - ，则 = (
)
4
c


A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】A
ì -
2
2
=
2
a
b
4c
1
ï
1
b
【解析】∵asin A-bsin B = 4csinC ，cos A = - ，\ í
，解得3c = bc，\ = 6 ，
2
b2
+ c
2
- a
2
= - 1
4
cos A =
2
c
ï
î
2bc
4
故选 A ．
2．(2018•新课标Ⅲ，理9 文11) DABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若DABC 的面积为
a
2
+ b
2
- c
2
，
4
则C = (
)
p
p
p
p
A．
B．
C．
D．
2
3
4
6
【答案】C
【解析】QDABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．DABC 的面积为
a
2
+ b
2
- c
2
，
4
1
a
2
+b
2
-c
2
a
2
+b
2
-c
2
p
\SDABC = absinC =
，\sinC =
=cosC ，Q0 < C < p ，\C = ，故选C ．
2
4
2ab
4
2
3．(2016•新课标Ⅰ，文 4) DABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a = 5 ，c = 2 ，cos A = ，
3
则b = (
)
A． 2
B． 3
C．2
D．3
【答案】D
2 b
【解析】Qa = 5 ，c = 2 ，cos A = ，\由余弦定理可得：cos A= =
2
+ -
c
2
a
2
b
2
+4 - 5
2
=
，整理可得：
3
3
2bc
2´b´2
1
3b -8b -3 = 0 ，\解得：b = 3或- (舍去)，故选 D ．
2
3
1
2
4．(2014 新课标Ⅱ，理 4)钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB=1，BC= 2 ，则 AC=(
)
5
A．
5
B．
C．
2
D． 1
【答案】B．
1
2
1
1
2
【解析】∵SDABC
=
| AB|×| BC |×sin B，即： = ×1× 2 ×sin B ，∴sin B =
，
2
2
2
即B = 45
o
或135
o
．又∵| AC|
2
=| AB|
2
+| BC| -2| AB|×| BC|×cos B
2
∴| AC |2 =1或 5，又∵DABC为钝角三角形，∴| AC|2 =5，即： AC = 5 ，故选 B．
A+cos 2A = 0 ，
5．(2013 新课标Ⅰ，文 10)已知锐角△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，
23cos
2
a=7，c =6，则b =


A．10
B ．9
C．8
D．5
【答案】D
1
23cos
A+cos 2A = 0 及 △ ABC 是 锐 角 三 角 形 得 cos A = ， ∵ a =7 ， c =6 ， ∴
2
【 解 析 】 由
5
1
13
-12b-65 = 0，解得b =5或b= - (舍)，故选 D．
7
2
= 6
2
+b
2
-2´6b´ ，即5b
2
5
5
6．(2014 江西)在DABC中，内角 A，B，C 所对应的边分别为a,b,c, ，若3a =2b，则
2 sin
2
B-sin
2
A
的值为(
)
sin
2
A
1
9
1
3
7
2
A．-
B．
C．1
D．
【答案】D
2 sin
2
B-sin
2
A
sin B)
sin A
b
7
【解析】∵3a =2b，∴
= 2(
2
-1= 2( ) -1= ，故选 D．
2
sin
2
A
a
2
7．(2017 山东)在DABC中，角 A， B ，C的对边分别为a，b，c．若DABC为锐角三角形，且满足
sin B(1+2cosC) = 2 sin AcosC +cos AsinC ，则下列等式成立的是
A．a =2b
B．b=2a
C． A = 2B
D． B = 2A
【解析】A
【解析】由sin B(1+2cosC) = 2 sin AcosC +cos AsinC ，得sin B+2sin BcosC =sin AcosC+sin B，
即2sin BcosC =sin AcosC ，所以2sin B =sin A，即2b = a，选 A．
DABC
的内角 A， B ，C满足sin 2A sin(A- B+C)=sin(C A B)
+
- -
8．(2014 重庆)已知
1
+ ，面积 S 满足1≤S≤2 ，记a，b，c分别为 A， B ，C所对的边，则下列不等式一定成立的
2
是
A．bc(b+c) > 8
ab(a+b) >16 2
6 £ abc£12 D．12 £ abc £ 24
C．
B．
【解析】A
1
【解析】因为 A+B+C =p ，由sin 2A+sin(A- B+C) = sin(C - A- B) +
2
1
得sin 2A sin 2B sin 2C =
+
+
，
2
1
2
即sin[(A B) (A B)] sin[(A B) (A B)] sin 2C =
+
+
-
+
+
-
-
+
，
1
整理得sin Asin BsinC
=
，
8


1
1
1
又S = absinC = bcsin A = acsin B ，
2
2
2
1
1
S
3
= a
2
b
2
c
2
sin Asin BsinC =
a
2
2
b c2 ，由1≤S≤2
因此
8
64
1
得1≤
a
2
b
2
2
c ≤23 ，
64
即8≤abc≤16 2 ，因此选项 C、D 不一定成立．又b+c > a >0，
因此bc(b+c) > bc×a≥8，即bc(b+c) >8 ，选项 A 一定成立．又a+b >c >0，
因此ab(a+b) >8，显然不能得出ab(a+b) >16 2 ，选项 B 不一定成立．综上所述，选 A．
9．(2014 江西)在DABC中，a，b，c分别为内角 A， B ，C所对的边长，若
p
c2 =(a-b)2 +6 ，C = ，则DABC的面积是(
)
3
9 3
2
3 3
2
A．3
B．
C．
D．3 3
【解析】C
【解析】由
p
c
2
=(a-b)
2
+6
a
2
+b
2
-c
2
= 2ab-6 ①，由余弦定理及C =
可得
a
2
+b
2
-c = ab
2
可得
3
1
p
3 3
2
②．所以由①②得ab =6，所以 SDABC = absin =
．
2
3
DABC
+
10．(2013 辽宁)在
，内角 A, B,C 所对的边长分别为a,b,c．若asin BcosC
1
csin Bcos A = b ，且a >b，则ÐB =
2
A．p
B．p
C．
2p
D．
5p
6
3
3
6
【解析】A
1
1
2
p
【解析】边换角后约去sin B ，得sin(A+C) = ，所以sin B =
，但 B 非最大角，所以
B =
．
2
6
11．(2013 陕西)设△ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 bcosC +ccos B = asin A ， 则
△ABC 的形状为(
A．锐角三角形
)
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
【解析】B
【解析】∵ bcosC +ccos B = asin A ，∴由正弦定理得sin BcosC +sinCcos B =sin
2
A ，
∴sin(B+C) =sin
2
A，∴sin A =sin A，∴sin A =1，∴△ABC 是直角三角形．
2
asin Acos B+bcos A
2
12．(2011 辽宁)△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，


b
= 2a，则 =
a
A．2 3
B．2 2
C． 3
D． 2
【答案】D
【解析】由正弦定理，得sin
2
Asin B+sin Bcos
2
A= 2 sin A，即sin B×(sin
2
A+cos
2
A) = 2 sin A，
b
sin B
sin A
sin B = 2 sin A，∴ =
= 2 ．
a
p
13．(2019•新课标Ⅱ，理 15) DABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若b = 6 ，a = 2c ，B =
，
3
则DABC 的面积为
【答案】6 3
．
p
p
【解析】由余弦定理有b
2
= a
2
+ c
2
- 2accosB ，Qb = 6 ，a = 2c ，B = ，\36 = (2c)
2
+ c
2
- 4c
2
cos ，\c =12 ，
2
3
3
1
\SDABC = acsin B = c
2
sin B = 6 3 ．
2
14．(2018•新课标Ⅰ，文 16) DABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知bsinC + csin B = 4asin BsinC ，
b
2
+ c - a = 8 ，则DABC 的面积为
2
2
．
2 3
3
【答案】
【解析】DABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，bsin C + csin B = 4asin Bsin C ，
利用正弦定文可得sin BsinC +sinCsin B = 4sin Asin BsinC ，由于0 < B

p
5p
b
2
+c - a
2
2
1
所以sin BsinC ¹ 0 ，所以sin A = ，则 A = 或
，由于b
2
+ c
2
- a
2
= 8 ，则：cos A =
，
2
6
6
2bc
p
3
8
8 3
3
1
2 3
3
①当 A = 时，
=
，解得bc =
，所以 SDABC = bcsin A =
．
6
2
2bc
2
5p
3
8
8 3
3
②当 A =
时， -
=
，解得bc = -
(不合题意)，舍去．
6
2
2bc
2 3
故SDABC
=
．
3
15．(2017 新课标卷 2，文 16)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosB=acosC+ccosA，则
B=
p
【答案】
3
【解析】由正弦定理可得
1
π
3
2 sin Bcos B = sin AcosC +sinCcos A = sin(A+C) = sin B Þ cos B = Þ B =
2


4
5
16．(2016•新课标Ⅱ，理 13) DABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A = ，cosC =
，
5
13
a =1，则b =
．
21
【答案】
13
4
5
16
25
3
25 12
【解析】由cos A = ，cosC = ，可得sin A = 1-cos
2
A = 1-
= ，sinC = 1-cos
2
C = 1-
=
，
5
13
5
169 13
sin B = sin(A+C) = sin AcosC + cos AsinC = 3 ´ + ´
5
4 12 63
=
，由正弦定理可得b =
asin B
sin A
5 13
5
13 65
63
65
3
1´
21
13
=
=
．
5
17 ． (2014 新 课 标 Ⅰ ， 理 16) 已 知 a,b,c 分 别 为 DABC 的 三 个 内 角 A, B,C 的 对 边 ， a =2 ， 且
(2 +b)(sin A-sin B) = (c-b)sinC ，则DABC面积的最大值为
．
3
【答案】
【解析】由a = 2且 (2 +b)(sin A-sin B) = (c-b)sinC ，
即(a+b)(sin A-sin B) = (c-b)sinC ，由及正弦定理得：(a+b)(a-b) = (c-b)c
+c -a
2bc
b
2
2
2
1
∴b
2
+c
2
-a
2
= bc，故cos A =
= ，∴ÐA = 600 ，∴b
2
+c -4 = bc
2
2
1
4 = b
2
+c -bc ³ bc ，∴ SDABC = bcsin A£ 3 ．
2
2
DABC
中，角 A, B,C 所对应的边分别为a,b,c．已知bcosC +
18．(2014 广东)在
a
ccos B = 2b，则
=
．
b
【解析】2
【解析】由bcosC +ccosB = 2b得：sin BcosC+sinCcosB = 2sin B，
a
即sin(B+C) = 2 sin B，sin A= 2sin B，∴a = 2b，故 = 2 ．
b
DABC
A, B,C 所对边的长分别为a,b,c．若b+c = 2a
19．(2013 安徽)设
的内角
，则
3sin A = 5sin B, 则角C =
_____．
2
p
【解析】
3
a2 + b2 - c 2
2ab
1
2
2
3
【解析】3sin A=5sin B
Þ
3a 5b,b + c = 2a
=
Þ
cosC
=
= - Þ = p
C
，所以
p
．
，
2
3
20．(2012 安徽)设DABC的内角 A, B,C 所对的边为a,b,c；则下列命题正确的是
．


p
p
①若ab > c2 ；则C <
②若a+b > 2c；则C <
3
3
p
p
③若a
3
+b
3
= c3 ；则C <
④若(a+b)c < 2ab ；则C >
2
2
p
⑤若(a2 +b2)c2 < 2a2b2 ；则C >
3
【解析】①②③
a
2
+b
2
-c
2
2ab-ab
2ab
1
p
【解析】①ab > c
2
Þ cosC =
>
= ÞC <
2ab
2
3
a
2
+b
2
-c
2
4(a
2
+b
2
)-(a +b)
2
1
p
②a+b > 2c Þ cosC =
>
³ ÞC <
2ab
8ab
2
3
p
③当C ³
时，c
2
³ a
2
+b
2
Þ c
3
³ a
2
c+b
2
c > a
3
+b3 与a
3
+b
3
= c3 矛盾
2
p
④取a = b = 2,c =1满足(a+b)c < 2ab 得：C <
2
p
⑤取a = b = 2,c =1满足(a
2
+b
2
)c
2
< 2a
2
2
b 得：C <
．
3
1
21．(2012 北京)在DABC 中，若a = 2,b+c =7,cosB = - ，则b =
．
4
【解析】4
1
【解析】根据余弦定理可得b
2
= 4 +(7 -b)
2
-2´2´(7 -b)´(- ) ，解得 b=4．
4
22．(2020 全国Ⅰ文 18) ABC的内角
D
A, B , C 的对边分别为a , b , c
．已知
B =150°．
(1)若a
=
3c , b 2 7 ，求
=
DABC的面积；
2
(2)若 sinA+ 3 sinC=
，求C．
2
【答案】(1) 3 ；(2)15°
．
a,c
c
关系，由余弦定理建立 的方程，求解得出
a,c
，利用面积公式，
【思路导引】(1)已知角 B 和 边，结合
b
即可得出结论；(2)将 A 30° - C 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关 角的三
=
C
C
角函数值，结合 的范围，即可求解．
【解析】
(1)由余弦定理可得b
2
= 28 = a + -2ac×cos150° = 7c2 ，
2
c
2


1
\c = 2,a = 2 3,\△ABC
(2)Q A+ C = 30° ，
S = acsin B = 3
．
的面积
2
1
2
3
2
\sin A+ 3 sinC =sin(30°-C) + 3 sinC =
+
=
+ ° =
cosC
sinC sin(C 30 )
，
2
2
Q0° < C < 30°,\30° < C +30° < 60° ，\C + 30° = 45°,\C =15°
．
æp
è 2
ö
5
23．(2020 全国Ⅱ文 17)△ ABC 的内角 A, B , C 的对边分别为a , b , c，已知cos2 ç + A÷ + cos A = ．
ø
4
(1)求 A ；
3
(2)若b -c =
a ，证明：△ ABC 是直角三角形．
3
p
【答案】(1) A= ；(2)证明见解析．
3
æp
è 2
ö
ø
5
4
【思路导引】(1)根据诱导公式和同角三 角函数平方关系，cos
2
+ A +cos A =
可化为
ç
÷
5
3
1-cos
2
A+cos A= ，即可解出； 根据余弦定理可得
，将b-c =
+
2
-
2
=
a 代入可找到
(2)
b c a bc
2
4
3
a,b,c
关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
æp
è 2
ö
ø
5
4
5
5
【解析】(1)∵cos
2
+ A +cos A = ，∴sin
2
A+cos A= ，即1-cos
2
A+cos A =
，
ç
÷
4
4
1
p
解得cos A= ，又
0 < A ，∴
A =
．
2
3
p
b
2
+c
2
-a
2
1
(2)∵ A= ，∴cos A
=
=
，即b +c -a = bc ①，
2
2
2
3
2bc
2
3
b
2
+ -
c
2
3(b c) bc
-
2
=
，即
2b2 2c2 -5bc =0，而b >c，解得b = 2c，
+
又b-c =
a ②，将②代入①得，
3
∴a
=
3c，故b2 a c ，即△ ABC
=
2
+
2
是直角三角形．
24．(2020 全国Ⅱ理 17)△ABC 中，sin
(1)求 A ；
2
A-sin B -sin C =sin BsinC ．
2
2
(2)若 BC = 3，求△ABC 周长的最大值．
2p
【答案】(1)
；(2)3+2 3．
3
【思路导引】(1)利用正弦定理角化边，配凑出cos A
的形式，进而求得 ；
A


(
+ )
2
-
AC× AB = 9 ，利用基本不等式可求得 AC + AB的最大值，进而得
(2)利用余弦定理可得到 AC AB
到结果．
AC
2
+ AB
2
-BC
2
1
2
【解析】(1)由正弦定理可得： BC
2
-
AC
2
-
AB
2
=
×
\cos A=
AC AB，
= -
，
2AC×AB
2p
A
0,
Q Î( p) \A=
，
．
3
(2)由余弦定理得： BC
2
=
AC
2
+
AB
2
-
2AC ABcos A AC
×
=
2
+
AB
2
+ AC× AB = 9 ，
(
+ )
2
-
AC× AB = 9 ．
即 AC AB
æ
è
AC + AB
ö
ø
2
QAC× AB £
(当且仅当 AC = AB时取等号)，
ç
÷
2
æ
è
AC + AB
ö
ø
2
3
\9 = (
+ )
AC AB
2
-
AC× AB ³ (AC + AB)
2
-
= (
+ )
AC AB ，
2
ç
÷
2
4
+
£
AC = AB
解得： AC AB 2 3 (当且仅当
时取等号)，
\VABC
周长 L AC AB BC £3+2 3 ，
=
+
+
\VABC
周长的最大值为3+2 3．
25．(2020 江苏 16)在DABC中，角 A，B ，C的对边分别为a，b，c，已知a =3，c = 2 ，B = 45°．
(1)求sinC的值；
4
(2)在边 BC上取一点 D，使得cosÐADC = - ，求tanÐDAC的值．
5
【答案】见解析
a
2
+c
2
-b
2
11-b
2
2
【解析】(1)由余弦定理，得cos B =cos 45° =
=
=
，
2ac
6 2
2
c
b
2
5
5
因此b
2
=5，即b
=
5 ，由正弦定理
=
，得
=
，因此sinC =
．
sinC sin B
sinC
2
5
2


4
3
5
(2)∵cos ADC
Ð
= - ，∴sin ÐADC = 1-cos
2
ÐADC =
，
5
p
p
2 5
5
CÎ(0, ) ，∴cosC = 1-sin C =
2
∵ ADC ( , ) ，∴
Ð
Î
p
，
2
2
2 5
25
∴sin ÐDAC = sin(p -ÐDAC) = sin(ÐADC +ÐC) =sinÐADCcosC+cosÐADCsinC =
，∵
p
11 5
25
sin ÐDAC
cosÐDAC 11
2
ÐDACÎ(0, ) ，∴cosÐDAC = 1-sin
2
ÐDAC =
tan ÐDAC =
=
，故
．
．
2
26．(2020 天津 16)在VABC 中，角
A, B,C 所对的边分别为a,b,c．已知a = 2 2,b =5,c = 13
(Ⅰ)求角C的大小；
(Ⅱ)求sin A 的值；
æ
è
p ö
4 ø
sin 2A+
(Ⅲ)求
ç
÷ 的值．
p
p ö 17 2
2 13
13
æ
è
【答案】(Ⅰ)C =
；(Ⅱ)sin A
=
；(Ⅲ)
sin 2A+
=
．
ç
÷
4
4 ø
26
【思路导引】(Ⅰ)直接利用余弦定理运算即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)及正弦定理即可得到答案；
(Ⅲ)先计算出sin A, cos A,进一步求出sin 2A,cos 2A，再利用两角和的正弦公式计算即可．
【解析】(Ⅰ)在VABC 中，由a = 2 2,b =5,c = 13
及余弦定理得
a
2
+b
2
-c
2
8+25-13
2´2 2 ´5
2
cosC =
=
=
，
2ab
2
p
又因为CÎ(0,p) ，所以C =
．
4
2
p
´
2 2
2 13
(Ⅱ)在VABC 中，由C = ，a = 2 2,c = 13
及正弦定理，可得sin A =
asinC
；
2
=
=
4
13
c
13
2 13
13
3 13
(Ⅲ)由
a =
，可得cos A= 1-sin
2
A =
，
13
12
5
进而sin 2A = 2 sin Acos A =
,cos 2A = 2 cos
2
A-1 =
，
13
13
所以sin(2A+p ) =sin 2Acosp
+cos 2Asinp
12
2
5
2
17 2
26
= ´
+ ´
13
=
．
4
4
4
13
2
2


27．(2020浙江18)
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 2bsin A = 3a．
(I)求角B；
(II)求cosA+cosB+cosC的取值范围．
æ
3 +1 3ù
p
B =
ç , ú
【答案】(I)
；(II)
ç
3
2
2
è
û
【思路导引】(I)首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B 的大小；
(II)结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形
确定∠A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos A+cos B+cosC
的取值范围．
3
【解析】(I)由2bsin A
= 3a结合正弦定理可得：2 sin Bsin A = 3 sin A,\sin B =
，△ABC 为锐角
2
p
B =
三角形，故
．
3
(II)结合(1)的结论有：
1
æ 2p
è 3
ö
ø
cos A+cos B+cosC = cos A+ +cos
- A
ç
÷
2
æ
è
p ö 1
6 ø 2
1
3
1
3
1
1
2
=
sinç A
+
+
= cos A- cos A+
sin A+ =
sin A+ cos A+
÷
．
2
2
2
2
2
ì
2
p
0 < p - A<
ï
ï
p
p
p
p
2p
æ
è
p ö
3 ø
æ
3
ù
3
2
< A <
< A+ <
sin A+
Îç
,1
í
ç
÷
ú
由
可得：
，
，则
，
ç
p
2
6
2
3
6
3
ï
è
û
0 < A <
ï
î
2
æ
3 +1 3ù
, ú ，即cos A+cos B+cosC
æ
ù
æ
è
p ö
3 ø
1
2
3 +1 3
ç , ú
的取值范围是
sin A+
+ Îç
ç
÷
．
ç
ç
2
2
2
2
è
û
è
û
28．(2020 山东 17)
在①ac = 3 ，②csin A=3 ，③c = 3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角
形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问 题 ： 是 否 存 在 △ABC ， 它 的 内 角 A, B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c ， 且 sin A= 3 sin B ，
π
C = ，
？
6
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．


【答案】详见解析
【思路导引】由题意结合所给的条件首先设出 a，b 的长度，然后结合余弦定理和正弦定理解三角形确定边
长 c 即可．
【解析】选择条件①的解析：
a
= 3 ，不妨设a = 3m,b = m(m > 0)
由sin A= 3 sin B 可得：
，
b
3
c = m
2 ，即
．
则：c
2
= + -
a
2
b
2
2abcosC =3m
2
+m
2
-2´
3m´m´
=
m
2
据此可得：ac = 3m´m = 3m
2
= 3 ， m 1，此时c = m=1．
\ =
a
= 3 ，不妨设a = 3m,b = m(m > 0)
选择条件②的解析：由sin A= 3 sin B 可得：
，
b
3
c = m
2 ，即
．
则：c
2
= + -
a
2
b
2
2abcosC =3m
2
+m
2
-2´
3m´m´
=
m
2
2
+c
2bc
2
-a
2
m
2
+ m
2
- 3m
2
1
2
æ 1 ö
è 2 ø
2
b
3
据此可得：cos A
=
=
= -
，则：sin A
=
1
- - =
，此时：
ç
÷
2m
2
2
3
csin A= m´
=3，则：c =m=2 3．
2
a
= 3 ，不妨设a = 3m,b = m(m > 0)
选择条件③的解析：由sin A= 3 sin B 可得：
，
b
3
c = m
2 ，即
．
则：c
2
= + -
a
2
b
2
2abcosC =3m
2
+m
2
-2´
3m´m´
=
m
2
c m
= =1
=
= 3b矛盾，则问题中的三角形不存在．
据此可得
，c b，与条件c
b m
29 ． (2019 • 新 课 标 Ⅰ ， 理 17) DABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ． 设
(sin B-sinC)
(1)求 A ；
2
=sin A-sin Bsin C ．
2
(2)若 2a +b = 2c ，求sinC ．
【解析】(1)QDABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．
设(sin B-sinC)
则sin B +sin C -2sin BsinC =sin
\由正弦定理得：b +c -a = bc ，
2
=sin
2
A-sin Bsin C ．
2
2
2
A-sin BsinC ，
2
2
2


b
2
+ c
2
- a
2
bc
1
\cos A =
=
= ，
2bc
2bc
2
p
Q0 < A < p ，\A =
．
3
p
(2)Q 2a +b = 2c ， A =
，
3
\由正弦定理得 2 sin A+sin B = 2sinC ，
6
2p
\
+sin(
- C) = 2sin C
2
3
p
2
p
p
p
p
解得sin(C - ) =
，\C -
=
，C =
+
，
6
2
6
4
4
6
\sinC = sin( + ) = sin cos + cos sin = 2´ 3+
p
p
p
p
p
p
2
´ =
1
6 + 2
．
4
6
4
6
4
6
2
2
2
2
4
A+ C
30．(2019•新课标Ⅲ，理(文)18) DABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知asin
= bsin A．
2
(1)求 B ；
(2)若DABC 为锐角三角形，且c =1，求DABC 面积的取值范围．
A+ C
p - B
B
【解析】(1) asin
= bsin A，即为asin
= acos = bsin A，
2
2
2
B
B
B
可得sin Acos = sin Bsin A = 2sin cos sin A，
2
2
2
Qsin A > 0 ，
B
B
B
\cos = 2sin cos
，
2
2
2
B
若cos = 0 ，可得 B = (2k +1)p ，k ÎZ 不成立，
2
B
1
\sin = ，
2
2
p
由0 < B

；
3
(2)若DABC 为锐角三角形，且c =1，
由余弦定理可得b = a
2
+1- 2ag1gcosp = a
2
- a +1 ，
3
由三角形 ABC 为锐角三角形，可得a
2
+ a
2
-a +1>1 且1+ a
2
- a +1> a
，
2
1
解得 < a < 2，
2
1
p
3
3
8
，
3) ．
可得DABC 面积 S = agsin =
aÎ(
2
3
4
2


a
2
31．(2017 新课标卷 1，理 17)△ABC
sin BsinC
A B C
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
a
b
c
△ABC
的面积为
3sin A
．
(1)求
；
(2)若6 cos BcosC =1，a = 3
，求△ABC
的周长．
a
2
1
S =
S = bcsin A
【解析】(1)∵△ABC 面积
3sinA
．且
2
a
2
1
= bcsin A
∴ 3sin A
2
3
a
2
= bcsin
2
A
∴
2
3
sin
2
A = sin BsinCsin A
2
∵由正弦定理得
2
，
2
3
sin BsinC =
由sin A¹ 0
得
．
2
1
sin BsinC =
cos BcosC =
3
6
(2)由(1)得
，
A+ B+C = π
∵
1
2
( - - )= - ( + ) =
cos B C sin BsinC-cos BcosC =
cos A cos π B C
=
∴
A
0 π
Î( ， )
又∵
3
1
sin A =
cos A =
A=60°，
∴
2
，
2
由余弦定理得a
2
= b
2
+c -bc = 9
2
①
a
a
b =
×sin B c =
×sinC
sin A
sin A
由正弦定理得
，
a
2
bc =
×sinBsinC = 8
2
A
∴
sin
②
由①②得b + c = 33
∴ a + b + c = +
3
33 ，即△ABC
周长为3 + 33
B
32．(2017 新课标卷 2，理 17) DABC的内角 A、B、C 所对的边分别为a,b,c，已知sin(A+C) = 2 sin
2
，
2
(1)求cos B；
(2)若a+c = 6，DABC的面积为2 ，求b．


p
A+ B+C =p得sin B =8sin
2
，故
【解析】(1)由题设及
2
sin B =（4 1-cosB）
17cos
2
B-32cosB+15=0
15
上式两边平方，整理得
解得 cosB=1（舍去），cosB=
17
15
(2)由cosB
8
1
4
sin B
=
，故 SDABC = acsin B = ac
= 得
17
17
2
17
17
又SDABC =2，则ac =
2
由余弦定理及a +c =6得
= a +c -2accos B
=（a+c）-2ac(1+cosB)
b
2
2
2
2
17
= 36-2´ ´(1+
15
17
)
2
= 4
所以 b=2
33．(2017新课标卷3，理17) DABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+ 3 cos A = 0 ，a = 2 7 ，
b = 2 ．
(1)求c；
(2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD ^ AC ，求 △ABD 的面积．
æ
è
π ö
3 ø
2sin A+ =0，
÷
【解析】(1)由sin A+ 3 cos A = 0 得
ç
π
+ = ( ÎZ)
kπ k
，又
AÎ(0, π)，
即 A
∴ A
3
π
2π
+ =
π ，得 A =
．
3
3
1
- 2bc×cosA ．又∵a 2 7,b 2, cos A= - 代入并整理得 c 1
=
=
( + )
2
= 25，故c =4．
由余弦定理a
2
= b
2
+ c
2
2
(2)∵ AC = 2,BC = 2 7, AB = 4，
a
2
+ b
2
- c
2
2 7
7
由余弦定理cosC =
=
．
2ab
∵ AC ^ AD ，即△ACD为直角三角形，
则 AC =CD×cosC ，得CD = 7 ．
=
CD
2
-
AC
2
=
3 ．
由勾股 定理 AD


2π
3
2π
3
π
π
6
又 A
=
，则ÐDAB =
- =
，
2
1
π
S△ABD = AD × AB ×sin = 3 ．
2
6
34 ． (2016 新 课 标 卷 1 ， 理 17) VABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 别 为 a ， b ， c ， 已 知
2cosC(acos B+bcos A) = c.
(I)求 C；
3 3
(II)若c = 7,VABC 的面积为
，求VABC的周长．
2
【解析】(I)由正弦定理及2cosC(acos B+bcos A) = c.
2cosC(sin Acos B+sin Bcos A) = sin C
得，
，
1
即2cosCsin(A+ B) = sin C ，即2 cosCsinC =sinC ，因为0 ，
2
p
所以C =
．
3
(II)由余弦定理得：c
2
= a
2
+b - 2ab×cosC
2
1
7 = a
2
+b -2ab×
2
2
( + )
a b -3ab = 7
2
1
3
3 3
2
S = ab×sinC =
ab =
2
4
∴ab = 6
∴ a b -18
( + )
2
= 7
a+b= 5
∴△ABC 周长为a+b+c =5+ 7
35．(2015 新课标Ⅰ，文 17)已知a,b,c分别是DABC内角 A, B,C 的对边，sin
(I)若a =b，求cos B;
2
B = 2 sin AsinC ．
(II)若 B = 90o ，且
a = 2, 求DABC的面积．
1
【答案】(I) (II)1
4
【解析】(I)由题设及正弦定理可得b = 2ac．
2
又a =b，可得b = 2c，a = 2c，
+c -b
2ac
a
2
2
2
1
4
由余弦定理可得cos B =
=
．
(II)由(1)知b = 2ac．
2


因为 B = 90°，由勾股定理得a
2
+c
2
= b2 ．
故a
2
+c
2
= 2ac，得c = a = 2 ．
所以DABC 的面积为 1．
36．(2013 新课标Ⅱ，理 17)△ABC 内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csin B．
(Ⅰ)求 B；
(Ⅱ)若b=2，求△ABC 面积的最大值．
【解析】(Ⅰ)由已知及正弦定理得sin A=sin BcosC+sinCsin B，①
又 A =p -(B+C)，
∴sin BcosC+cos BsinC =sin BcosC+sinCsin B，
即cos BsinC =sinCsin B，
∵CÎ(0,p) ∴sinC ¹ 0，
∴sin B =cos B，
p
∵ BÎ(0,p) ，∴ B =
．
4
1
2
(Ⅱ)△ABC 的面积 S= acsin B =
ac ，
2
4
p
由已知及余弦定理得4 = a
2
+c -2accos ．，
2
4
∵a
2
+c
2
³ 2ac，
4
故ac £
，当且仅当a =c 时，取等号，
2 - 2
∴△ABC 面积的最大值为 2 +1．
37 ． (2012 新 课 标 ， 理 17) 已 知 a ， b ， c 分 别 为 DABC 三 个 内 角 A ， B ， C 的 对 边 ，
acosC+ 3asinC-b-c =0．
(Ⅰ)求 A；
(Ⅱ)若a=2，DABC的面积为
3
b c
，求 ， ．
【解析】(Ⅰ)由acosC+ 3asinC-b-c =0及正弦定理得
sin AcosC+ 3 sin AsinC-sin B-sinC =0 ，
因为 B =p - A-C ，所以
3 sin AsinC-cos AsinC-sinC = 0
p
1
由于sinC ¹ 0，所以sin(A- ) = ，
6
2


p
又0 < A

．
3
1
(Ⅱ) DABC的面积 S = bcsin A= 3 ，故bc=4，
2
a
2
= b
2
+c
2
-2bccos A 故c +b2 =8，解得b =c=2．
2
而
38．(2012 新课标，文 17)已知a，b，c分别为DABC三个内角 A，B ，C的对边，c = 3asinC-csin A
(Ⅰ)求 A；
．
(Ⅱ)若a=2，DABC的面积为 3 ，求b，c．
【解析】(Ⅰ)由c = 3asinC-csin A及正弦定理得
3 sin AsinC-sin AsinC =sinC
p
1
2
由于sinC ¹ 0，所以sin(A-
=
，
)
6
p
又0 < A

．
3
1
(Ⅱ) DABC的面积 S = bcsin A= 3 ，故bc=4，
2
a
2
= b
2
+c
2
-2bccos A 故c +b2 =8，解得b =c =2．
2
而
39．(2014 陕西) DABC的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c ．
(I)若a，b，c 成等差数列，证明：sin A+sinC = 2sin(A+C)；
(II)若a，b，c 成等比数列，求cosB的最小值．
【解析】(1)Q a，b，c 成等差数列，\a+c = 2b
由正弦定理得sin A+sinC = 2sin B
Qsin B = sin[p -(A+C)] = sin(A+C)
\
+
=
( + )
sin A sinC 2sin A C
(2)Q a，b，c 成等比数列，\b
2
= 2ac
a
2
+c
2
-b
2
a
2
+c
2
-ac 2ac-ac
1
2
由余弦定理得cos B =
=
=
=
2ac
2ac
2ac
Qa
2
+c
2
³ 2ac (当且仅当a =c时等号成立)
³1(当且仅当a =c时等号成立)
\a
2
+c
2
2ac


\a
2
+c
2
- ³1- = (当且仅当a =c时等号成立)
1
1
1
2ac
2
2
2
1
1
2
即cos B ³ ，所以cosB的最小值为
2
40．(2019 江苏 15)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．
2
(1)若 a=3c，b= 2 ，cosB= ，求 c 的值；
3
sin A cos B
p
(2)若
=
，求sin(B+ )的值．
a
2b
2
a
2
+ c
2
-b
2
2
(3c)
2
+ c
2
-( 2)
2
1
【解析】(1)由余弦定理cos B =
，得 =
，即c = ．
2
2ac
3
2´3c´c
3
3
所以c
=
．
3
sin A cos B
=
(2)因为
，
a
2b
a
b
cos B sin B
=
=
，所以cosB = 2sin B
．
由正弦定理
，得
sin A sin B
2b
b
4
5
(
B)，故cos
B =
从而cos
2
B =(2sin B)
2
，即cos
2
B = 4 1-cos
2
2
．
2 5
因为sin B >0，所以cos B = 2sin B >0，从而cos B =
．
5
æ
è
π ö
2 ø
2 5
5
sin B+
=cosB =
因此
ç
÷
．
41．(2019 天津理15)在△ABC中，内角 A, B,C 所对的边分别为a,b,c．已知b+c = 2a，3csin B = 4asinC．
(Ⅰ)求cos B的值；
æ
p ö
(Ⅱ)求sinç2B+ ÷的值．
6 ø
è
b
c
【解析】(Ⅰ)在△ABC 中，由正弦定理
=
，得bsin C csin B ，又由
=
3csin B = 4asin C
，
sin B sin C
4
2
3
得3bsin C
=
4asin C ，即3b = 4a ．又因为b + c = 2a
，得到
b = a c = a
，
．
3
4
16
- a
a
2
+ a
2
2
a
2
+c
2
-b
2
1
4
9
9
由余弦定理可得cos B =
=
= -
．
2
2
2×a× a
3


15
4
sin B = 1-cos
2
B =
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得
，
15
8
7
8
=
= -
，cos 2B = cos
2
B-sin
2
B = -
从而sin 2B 2 sin Bcos B
，
故sinç2B+ ÷ =sin 2Bcos +cos 2Bsin = - 15´
æ
è
π ö
6 ø
π
π
3
- ´ = -
7 1
3 5 +7
．
6
6
8
2
8 2
16
p
42．(2018 天津)在△ABC中，内角 A， B ，C所对的边分别为a，b，c．已知bsin A= acos(B- ) ．
6
(1)求角 B 的大小；
(2)设a = 2，c =3，求b和sin(2A-B) 的值．
a
b
【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理
=
，可得bsin A= asin B ，
sin A sin B
π
π
又由bsin A = acos(B- ) ，得asin B = acos(B- )，
6
6
π
6
即sin B cos(B
=
-
tan B = 3
) ，可得 ．
p
又因为 BÎ(0，π) ，可得 B
=
．
3
p
(2)在△ABC中，由余弦定理及a = 2，c =3， B
=
，
3
有b
2
= a
2
+ c
2
-2accos B = 7 ，故b
=
7 ．
π
3
2
由bsin A = acos(B- ) ，可得sin A =
．因为a ．
6
7
7
1
4 3
7
因此sin 2A = 2sin Acos A =
，cos 2A = 2 cos
2
A-1= ．
7
4 3 1 1
3
3 3
14
所以，sin(2A- B) = sin 2Acos B-cos 2Asin B =
´ - ´
=
．
7
2 7
2
43．(2016 年山东)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
tan A tan B
2(tan A+tan B) =
+
.
cos B cos A
(Ⅰ)证明：a +b = 2c；
(Ⅱ)求cosC的最小值．
tanA tanB
【解析】(Ⅰ)由2(tanA+ tanB) =
+
cosB cosA


sinC
cosAcosB cosAcosB cosAcosB
所以2sinC =sin B+sinC ，由正弦定理，得a+b = 2c．
sinA
sinB
得2´
=
+
，
a
2
+b
2
-c
2
(a +b)
2
-2ab -c
2
(Ⅱ)由cosC =
=
2ab
2ab
3c
2
3c
2
3
1
2
=
-1…
-1= -1=
．
a + b
2ab
)2
2
2(
2
1
所以cosC 的最小值为 ．
2
cos A cos B sinC
44．(2016 年四川)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且
+
=
．
a
b
c
(I)证明：sin Asin B =sinC；
6
(II)若b
2
+c
2
-a
2
= bc，求 tan B．
5
a
b
c
=
=
【解析】(I)证明：由正弦定理
可知
sin A sin B sinC
cos A cos B sinC
+
=
=1
原式可以化解为
sin A sin B sinC
∵ A 和 B 为三角形内角 ， ∴sin Asin B
则，两边同时乘以sin Asin B ，可得sin Bcos A sin Acos B sin Asin B
¹
0
+
=
+
= ( + )= (p - ) =
sin Bcos A sin AcosB sin A B sin
C
sinC
由和角公式可知，
原式得证．
6
b
2
+ c
2
- a
2
3
(II)由题b2
+ c
2
- a
2
= bc ，根据余弦定理可知，cos A =
=
5
2bc
5
A
Î(0,p)
sin A > 0
∵ A 为三角形内角，
，
2
cos A
3
æ 3ö
4
则sin A = 1-
= ，即
=
ç ÷
è5ø
5
sin A
4
cos A cos B sinC
cos B
1
1
4
+
=
=1 ，∴
=
=
由(I)可知
．
sin A sin B sinC
∴tan B = 4 ．
sin B tan B
45．(2015 湖南)设DABC的内角 A, B,C 的对边分别为a,b,c，a =btan A，且 B 为钝角．
p
(1)证明： B- A =
；
2
(2)求sin A+sinC的取值范围．


sin A b sin B
= =
cos A a cos B
【解析】(1)由a = btan A及正弦定理，得
，
p
所以sin B = cos A，即sin B = sin( + A) ．
2
p
p
，p )，故 B = p
p
又 B 为钝角，因此 + A Î(
+ A，即 B -A =
；
2
2
2
2
p p
(2)由(1)知，C=p -( A+ B )=p -(2 A+ )= -2 A>0，
2
2
æ p ö
所以 A Îç0, ÷，
è
4 ø
p
于是sin A+sinC = sin A+sin( -2A)=sin A+cos 2A=
-2 sin
2
A+sin A+1
2
1
9
-2(sin A- ) + ，
2
=
4
8
p
2
2
æ
è
1 ö
< -2çsin A- ÷ + ≤ ．
4 ø
2
9
9
因为 0< A< ，所以 0 ，因此
4
2
2
8
8
2
9
8
由此可知sin A+sinC的取值范围是(
，
]．
2
46．(2012 安徽)设△ ABC的内角 A, B,C 所对边的长分别为a,b,c，且有2sin Bcos A =
sin AcosC+cos AsinC ．
(Ⅰ)求角 A 的大小；
(Ⅱ) 若b = 2 ，c =1， D为 BC的中点，求 AD的长．
【解析】(Ⅰ) A+C =p - B, A, BÎ(0,p) Þ sin(A+C) = sin B > 0
2 sin Bcos A = sin AcosC +cos AsinC = sin(A+C) = sin B
1
p
Û cos A = Û A =
2
3
p
a
2
= b
2
+c
2
-2bccos A Û a = 3 Þ b
2
= a
2
+c
2
Þ B =
(II)
2
+( 3)
=
7
在 RtDABD中，
AD = AB
2
+ BD
2
= 1
2
2
．
2
2
47．(2011 山东)在△ ABC中，a，b，c分别为内角 A， B ，C所对的边长．已知
cos A-2cosC 2c-a
=
．
cos B
b
sinC
(I)求
的值；
sin A


1
(II)若cos B = ，b = 2 ，DABC的面积 S ．
4
a
b
c
【解析】(I)由正弦定理，设
=
=
= k,
sin A sin B sinC
2c-a 2ksinC -ksin A 2sinC -sin A
则
=
=
,
b
ksin B
sin B
cos A-2cosC
cos B
2sinC -sin A.
所以
=
sin B
即(cos A-2cosC) sin B = (2sinC -sin A) cos B ，
化简可得sin(A+ B) = 2sin(B+C).又 A+B+C =p ，
sinC
所以sinC = 2sin A，因此
= 2.
sin A
sinC
(II)由
= 2 得c = 2a.
sin A
1
1
由余弦定理b
2
= a
2
+c
2
-2accos B及cos B = ,b = 2,得4=a
2
+4a
2
-4a ´ .
2
4
4
解得 a=1．因此 c=2．
1
15
4
又因为cos B
=
,且0 < B .
4
1
1
15
4
15
4
因此 S
=
acsin B
= ´1´2´
=
.
2
2
48．(2011 安徽)在DABC中，a，b，c分别为内角 A， B ，C所对的边长，a= 3 ，
b= 2 ，1+2 cos(B+C) = 0 ，求边 BC 上的高．
【解析】由1+2cos(B+C) = 0和B+C =p - A，得
1
3
1- 2 cos A = 0, cos A = , sin A =
.
2
2
bsin A
2
再由正弦定理，得sin
B =
=
.
a
2
p
2
由b < a知B < A,所以B不是最大角, B < ,从而cos B = 1-sin B =
.
2
2
2
3
1
由上述结果知sin C = sin(A+ B) =
(
+ ).
2
2
2
3 +1
设边 BC 上的高为h，则有h = bsin C =
.
2


考点 45 利用正弦定理、余弦定理解平面图形
2
1．(2020 全国Ⅲ文 11)在DABC中，cosC = , AC = 4 , BC =3，则 tan B =
(
)
3
A． 5
B．2 5
C．4 5
D．8 5
【答案】C
c
【思路导引】先根据余弦定理求 ，再根据余弦定理求
cos B，最后根据同角三角函数关系求 tan B.
2
AB =c,BC = a,CA=b，c
2
= a
2
+b
2
-2abcosC = 9 +16 -2´3´4´ = 9\c = 3
，
【解析】设
3
a
2
+c
2
-b
2
1
1
4 5
9
cos B =
= \sin B = 1-( )
2
=
\tan B = 4 5 ，故选 C．
2ac
9
9
2
2．(2020 全国Ⅲ理7)在△ABC 中，cosC = , AC = 4 , BC = 3，则cos B =
(
)
3
1
9
1
3
1
2
2
3
A．
B．
C．
D．
【答案】A
AB2 +BC2 -AC2
2AB×BC
【思路导引】根据已知条件结合余弦定理求得 AB ，再根据cosB=
，即可求得答案．
2
Q VABC 中，cosC =
【解析】 在
AC = 4， BC = 3
，
，
3
2
2
=
AC
2
+
BC
2
2AC×BC×cosC ，
- AB
2
= 4 +3 -2´4´3´
2
2
，
根据余弦定理： AB
3
2
+BC
2AB×BC
2
- AC
2
9+9-16 1
1
AB
可得 AB
，故cosB
= ，故选 A．
2
9 ，即
= AB = 3 ，Q cosB =
=
=
2´3´3
9
9
3．(2020 北京 10)2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日( π Day)．历史上，求圆周率π的方法有多种，
与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆
的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作
为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法， π的近似值的表达方式是
(
)
æ
è
30°
30°ö
n ø
æ
è
30°
30°ö
n ø
A．3nçsin
+ tan
+ tan
B．6nçsin
+ tan
+ tan
÷
÷
n
n
æ
60°
60°ö
æ
60°
60°ö
C．3nçsin
D．6nçsin
÷
÷
è
n
n ø
è
n
n ø
【答案】A


a
2
R
【解析】当k 1时，设圆半径为 ，内接正六边形边长为 ，则
=
R
a
= sin 30
o
，∴a = 2Rsin 30 = R．
o
b
2 3
3
2
R
设外切正六边形边长为b ，则 = tan 30 ，∴
o
b = 2Rtan 30
o
=
R
．
30
o
30
o
(2Rsin
+2Rtan
)6n
30
2
o
30
2
o
n
n
当n 2 时，
=
a = 2Rsin
，b = 2Rtan
，∴2p =
，
2
30
o
30
o
30
o
30
o
∴p = 3nR(sin
+ tan
) ，又∵ R =1，∴p = 3n(sin
+ tan
) ．
n
n
n
n
4．(2018•新课标Ⅱ，理 6 文 7)在DABC 中，cos C
=
5
， BC =1， AC = 5 ，则 AB = (
)
2
5
A．4 2
B． 30
C． 29
D．2 5
【答案】A
【 解 析 】 在 DABC 中 ， cos C
=
5
， cosC = 2´( 5)
-1 = -
3
， BC =1 ， AC = 5 ， 则
2
2
5
5
5
3
AB = BC
2
+ AC - 2BCgACcosC = 1+ 25 + 2´1´5´ = 32 = 4 2 ，故选 A ．
2
5
5．(2017 新课标 1，文 11)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知sin B+sin A(sinC -cosC) = 0
a=2，c= 2 ，则 C=
，
π
π
6
π
4
π
3
A．
B．
C．
D．
12
【答案】B
π
1
6．(2016 新课标卷 3，理 8)在△ABC 中， B = ，BC 边上的高等于 BC ，则cos A= (
)
4
3
3 10
10
10
10
3 10
10
(A)
(B)
(C)-
(D)-
10
10
【答案】C


BC
AD
BC =3AD
AC = AD
2
+DC
2
= 5AD，AB = 2AD．由
【解析】设
边上的高线为
，则
，所以
AB
2
+ AC
2
-BC
2
2AD
2
+ 5AD
2
-9AD
2
10
余弦定理，知cos A =
=
= -
，故选 C．
2AB×AC
2´ 2AD´ 5AD
10
π
1
7．(2016 新课标卷 3，文 9)在△ABC 中， B = ，BC 边上的高等于 BC ，则sin A=
4
3
3
10
5
3 10
10
(A)
(B)
(C)
(D)
10
10
5
【答案】D
BC
AD
BC = 3AD, DC = 2AD
AC = AD
2
+DC
2
= 5AD
．由
【解析】设
边上的高线为
，则
，所以
AC
BC
5AD 3AD
3 10
10
=
=
，解得sin A =
正弦定理，知
，即
，故选 D．
sin B sin A
sin A
2
2
p
p
8．(2013 新课标Ⅱ，文 4) DABC的内角 A, B,C 的对边分别为a,b,c，已知b = 2 ，B
=
，
C = ，则DABC
6
4
的面积为(
)
(A) 2 3 + 2
【答案】B
(B) 3 +1
(C) 2 3 - 2
(D) 3 -1
p
p
b
c
【 解 析 】 ∵ b = 2 ， B
=
，
C =
， ∴ 由 正 弦 定 理 得
=
， 解 得
c = 2 2
， 又
p
p
6
4
sin
sin
6
4
7p
1
1
6 + 2
A =p -(B+C) =
，SDABC = bcsin A= ´2´2 2 ´
= 3 +1，故选 B．
12
2
2
4
9．(2016 年天津)在 ABC 中，若 AB= 13 ，
D
BC
=3，ÐC =120
o
，则 AC=
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】A
【解析】由余弦定理得13 =9 + AC2 +3AC Þ AC =1，选 A．
p
10．(2013 天津)在△ABC 中，ÐABC
=
, AB
=
2,BC 3, 则sinÐBAC
=
=
4
10
10
5
3 10
10
5
A．
B．
C．
D．
10
5
【答案】C
3 10
10
【解析】由余弦定理可得 AC = 5 ，再由正弦定理得sin A =
．
11．(2012 广东)在 ABC 中，若
D
ÐA = 60
°
,ÐB = 45
°
, BC = 3 2
AC =
，则


3
2
A．4 3
【解析】B
B．2 3
C． 3
D．
BC
AC
3 2
sin 60° sin 45°
AC
=
Û
=
Û AC = 2 3
．
【解析】由正弦定理得：
sin A sin B
12．(2011 天津)如图，在△ ABC中，D是边 AC 上的点，且 AB = AD,2AB = 3BD ，BC = 2BD，则sinC
的值为(
)
3
3
6
6
A．
B．
C．
D．
3
6
3
6
【解析】D
2c
4c
【 解 析 】 设 AB =c ， 则 AD = c ， BD =
， BC =
， 在 ΔABD 中 ， 由 余 弦 定 理 得
4c
3
3
4
c
2
+c
2
- c
2
1
2 2
3
c
BC
3
3
cos A =
= ，则sin A =
，在ΔABC 中，由正弦定理得
=
=
，解得
2c
2
3
sinC sin A 2 2
3
6
sinC =
．
6
13．(2017 新课标卷 3，文 15)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 C=60°，b= 6 ，c=3，
则 A=_________．
【答案】75°
3
6 ´
b
c
bsinC
2
2
=
，即sin B =
=
=
，结合b< c
B = 45
o
【解析】由题意：
可得
，则
sin B sinC
c
3
2
A =180
o
- B-C = 75
o
4
5
cos A = ，cosC =
14．(2016 全国新课标卷 2，文 15)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若
，
5
13
a=1，则 b=____________．
21
【答案】
13


15．(2015 新课标Ⅰ，理 16)在平面四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则 AB 的取值范围是(
)
6 - 2
6+ 2
)
【答案】(
，
【解析】如图所示，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A 与 D 重合与 E 点时，AB 最长，在△BCE 中，
BC
BE
2
BE
∠B= ∠C=75°，∠E=30°，BC=2 ，由正弦定理可得
=
，即
=
，解得
sin ÐE sin ÐC
sin 30
o
sin 75
o
BE= 6+ 2 ，平移 AD ，当 D 与 C 重合时，AB 最短，此时与 AB 交于 F，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，
BF
BC
BF
2
=
=
，解得 BF= ，所以
6 - 2
∠FCB=30°，由正弦定理知，
，即
sin ÐFCB sin ÐBFC
sin 30
o
sin 75
o
6 - 2
6+ 2
)．
AB 的取值范围为(
，
16．(2011 全国课标，理 16)在DABC中，
【答案】2 7
B = 600 ， AC = 3 ，则 AB+2BC 的最大值为
．
AC
BC
AB
=
=
【解析】由正弦定理
得，
sin B sin A sinC
ACsinC
ACsin A
AB =
= 2sinC， BC=
= 2sin A，
sin B
sin B
∴ AB+2BC = 2sinC+ 4sin A= 2 sin(1200 - A)+4sin A
5 3
3 sin A+5 cos A 2 7 sin(A+j) tanj =
0
< A<120
)，
0
=
=
(
，0
3
故 AB+2BC 的最大值为2 7 ．
17．(2011 全国课标，文 15) DABC中，
B =1200 ，AC=7，AB=5，则DABC的面积为
．


15 3
4
【答案】
2
+ BC
2
2
-2AB´BCcos B ，即
【解析】由余弦定理得，
AC2 = AB
1
7
2 =5
2
+ BC
2
-2´5´BC´(- )，即 BC
+5BC -24 = 0，解得 BC=3 或 BC=－8(舍)，
2
1
1
2
3 15 3
SDABC
BC´ ABsin B
´3´5´
=
=
=
．
2
2
4
18．(2019 浙江 14)在△ABC中，ÐABC =90°，AB = 4 ，BC =3，点 D在线段 AC 上，若ÐBDC = 45°，
则 BD = ____，cosÐABD =________．
4
【解析】在直角三角形ABC中， AB = 4 ， BC =3， AC =5，sinC = ，
5
BD
BC
12 2
5
在△BCD中，
=
，可得 BD =
；
sinC sinÐBDC
2
2 æ4 3 ö 7 2
2 è5 5 ø 10
ÐCBD =135
o
-C ，sin ÐCBD =sin(135
o
-C) =
(cosC +sin C) =
´
+
=
，
ç
÷
2
7 2
(
)
所以cosÐABD = cos 90 -ÐCBD = sin ÐCBD =
o
．
10
19．(2018 江苏)在△ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，ÐABC =120°，ÐABC 的平分线交 AC 于点
D，且 BD =1，则4a + c 的最小值为
【解析】9
．
【解析】因为ÐABC =120°，ÐABC 的平分线交 AC 于点 D，
所以ÐABD = ÐCBD = 60o ，
1
1
1
由三角形的面积公式可得 acsin120 = asin 60 + csin 60 ，
o
o
o
2
2
2
1 1
化简得ac = a +c ，又a >0，c >0，所以 + =1，
a c
1 1
则4a+c =(4a+c)( + ) =5+ + ≥5+ 2
a c a c
c 4a
c 4a
×
=9，
a c
当且仅当c = 2a时取等号，故4a+c的最小值为 9．


DABC
C
a b c
b = 2 ， A = 60
，
o
20．(2018 浙江)在
中，角 A， B ， 所对的边分别为 ， ， ．若a = 7 ，
则sin B
=___________， =___________．
c
21
【解析】
；3
7
a = 7 b = 2 A = 60
，所以由正弦定理得
o
【解析】因为
，
，
3
2´
bsin A
21
7
2
sin B =
=
=
．由余弦定理a
2
= b
2
+c -2bccos A可得
2
a
7
c
2
-2c-3 = 0 ，所以c =3．
21．(2017 浙江)已知DABC， AB = AC = 4 ，BC = 2． 点 D为 AB 延长线上一点， BD = 2，连结CD，
则DBDC 的面积是___________，cosÐBDC =__________．
15
2
10
4
【解析】
，
AB
2
+ BC
2
- AC
2
4
2
+ 2
2
- 4
2
1
4
【解析】由余弦定理可得，cosÐABC =
=
=
，
2´ AB´BC
2´4´2
由sin ÐABC +cos ÐABC =1
2
2
1
15
所以sin ÐABC = 1-cos
2
ÐABC = 1-
=
，
16
4
1
SDBDC = BD´BC´sin ÐDBC
2
1
1
= BD´BC´sin(p -ÐABC) = BD´BC´sin ÐABC
2
2
1
15
4
15
2
= ´2´2´
=
．
2
因为 BD = BC ，所以ÐD =ÐBCD，所以ÐABC =ÐD+ÐBCD = 2ÐD，


1
4
1+
ÐABC
1+ cosÐABC
10
4
cosÐBDC = cos
=
=
=
．
2
2
2
22．(2015 广东)设DABC的内角 A， B ，C的对边分别为a，b，c．若
a = 3，
1
p
sin B = ，C = ，则b =
．
2
6
【解析】1
1
p
5p
p
5p
p
2p
【解析】由sin B = 得 B =
或
，因为C = ，所以 B ¹
，所以 B = ，于是 A =
．有正弦
2
6
6
6
6
6
3
3
2p
b
1
2
定理，得
=
，所以b =1．
sin
3
23．(2015 福建)若锐角DABC的面积为10 3
【解析】7
，且
AB =5， AC =8，则 BC
等于
．
1
3
p
【解析】由已知得DABC
的面积为
×
=
=10 3
，所以sin A
=
Î
，
，
AB ACsin A 20sin A
A (0, )
2
2
2
p
A =
BC
2
= AB
2
+ AC -2AB× ACcos A = 49 BC = 7
， ．
2
所以
，由余弦定理得
3
sin 2A
sinC
24．(2015 北京)在△ABC 中，a = 4，b =5，c =6，则
【解析】1
=
．
b
2
+c
2bc
sin 2A 2 sin Acos A 2´a
2
-a
2
3
【解析】∵cos A =
= ，
4
4 3
´cos A = 2´ ´ =1．
c 6 4
而
=
=
sinC
sinC
25．(2015 天津)在DABC中，内角 A, B,C 所对的边分别为a,b,c，已知DABC的面积为
1
3 15 ，b-c = 2，cos A = -
，则 的值为
a
．
4
【解析】8
15
4
1
15
8
【解析】 因为 0 < A

\bc = 24 ， 解 方 程 组
sin A = 1-cos
ìb-c = 2
2
A =
，又 SDABC = bcsin A =
bc = 3 15 ，
2
， 得 b =6 ， c = 4 ， 由 余 弦 定 理 得
í
îbc = 24
æ 1 ö
-2´6´4´ç-
a
2
= b
2
+ c
2
-2bccos A = 6
2
+ 4
2
= 64 ，所以a =8．
÷
è 4 ø


2 2
3
DABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD ^
AC，sin BAC =
Ð
26．(2013 福建)如图
，
AB =3 2 ， AD =3，则 BD 的长为_______________．
【解析】 3
p
2 2
【解析】∵sin BAC sin( BAD
Ð
=
Ð
+
) cos BAD
=
Ð
=
2
3
AB
2
+ AD
2
-BD
2
∴根据余弦定理可得cosÐBAD =
，
2AB· AD
2 2 (3 2)
2
+3
2
- BD
2
\
=
\ BD= 3 ．
3
2´3 2 ´3
27．(2018•新课标Ⅰ，理 17)在平面四边形 ABCD 中，ÐADC = 90°，ÐA = 45°， AB = 2 ， BD = 5 ．
(1)求cosÐADB；
(2)若 DC = 2 2 ，求 BC ．
【解析】(1)QÐADC = 90° ，ÐA = 45° ， AB = 2 ， BD = 5 ．
AB
BD
2
5
\由正弦定理得：
=
，即
=
，
sinÐADB sinÐA
sinÐADB sin 45°
2sin 45°
2
\sinÐADB =
=
，
5
5
QAB < BD ，\ÐADB < ÐA ，
2
23
\cosÐADB = 1- (
)
2
=
．
5
5
2
(2)QÐADC = 90° ，\cosÐBDC = sinÐADB =
QDC = 2 2 ，
，
5
\BC = BD
2
+ DC
2
-2´BD´DC´cosÐBDC
2
=
25 +8 - 2´5´2 2 ´
= 5 ．
5


28．(2015•新课标Ⅱ，理 17) DABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分ÐBAC ，DABD 面积是DADC 面积的 2
倍．
sin B
(1)求
；
sinC
2
(2)若 AD =1， DC =
，求 BD 和 AC 的长．
2
【解析】(1)如图，过 A 作 AE ^ BC 于 E ，
1
BD´ AE
SDABD
Q
= 2
= 2
S
1
2
DC´ AE
DADC
\BD = 2DC ，
QAD 平分ÐBAC
\ÐBAD = ÐDAC
BD
AD
AD´sin ÐBAD
在DABD 中，
=
，\sin ÐB =
sinÐBAD sinÐB
BD
DC AD
sinÐDAC sinÐC
AD´sinÐDAC
在DADC 中，
sin ÐB DC
=
，\sinÐC =
；
DC
1
\
=
= ．¼6 分
sin ÐC BD
2
2
(2)由(1)知， BD = 2DC = 2´
= 2 ．
2
过 D 作 DM ^ AB 于M ，作 DN ^ AC 于 N ，
QAD 平分ÐBAC ，
\DM = DN ，
1
AB´ DM
SDABD
= 2
= 2 ，
\
S
1
2
AC´ DN
DADC
\AB = 2AC ，
令 AC = x ，则 AB = 2x ，


QÐBAD = ÐDAC ，
\cosÐBAD = cosÐDAC ，
x
2
+1
2
-( 2)
2
(2x)
2
+1
2
-( 2)
2
2
\由余弦定理可得：
=
，
2´2x´1
2´ x´1
\x =1 ，
\ AC =1，
\BD 的长为 2 ， AC 的长为 1．
29．(2015 新课标Ⅱ，文 17)△ABC 中 D 是 BC 上的点，AD 平分Ð BAC，BD=2DC．
sin ÐB
(I)求
；
sin ÐC
ÐBAC = 60
o
，求ÐB
．
(II)若
AD
BD
AD
DC
=
,
=
, 因为 AD 平分Ð
BAC，BD=2DC，
【解析】(I)由正弦定理得
sin ÐB sin ÐBAD sin ÐC sin ÐCAD
sin ÐB DC
sin ÐC BD
1
=
= .
．
所以
2
ÐC =180
o
- ÐBAC+ÐB ,ÐBAC =60 ,
(
)
o
(II)因为
3
1
2
所以
所以
由(I)知2sinÐB =sinÐC
，
sin B.
sin C sin BAC
Ð = (Ð
+ÐB) =
cosÐB +
Ð
2
3
tan ÐB =
,ÐB = 30 .
o
3
30．(2014 新课标Ⅱ，文 17)四边形 ABCD的内角 A与C互补， AB =1, BC = 3,CD = DA = 2 ．
(Ⅰ)求C和 BD ；
(Ⅱ)求四边形 ABCD的面积．．
【解析】(1)由题设及余弦定理得
BD2 = BC
BD2 = BA
2
+CD
2
-2BC´CDcosC =13-12 cosC ，
①
2
+ AD
2
-2BA´ ADcos A=5+4cosC，
②
1
由①②得 cosC = ，故C=60°，BD=
7
2


(2)四边形 ABCD 的面积
1
1
1
1
S= ABgDAsinA+ BC gCDsinC =( ´1´2+ ´3´2)sin60° = 2 3
2
2
2
2
31．(2013新课标Ⅰ，理17)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB= 3 ，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC
＝90°
1
(1)若 PB= ，求 PA；
2
(2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA
【解析】(Ⅰ)由已知得，∠PBC= 60o ，
∴∠PBA=30o，
1
1
2
7
4
在△PBA 中，由余弦定理得
PA2 =3+ -2´ 3´ cos 30o = ，
4
7
∴PA=
；
2
(Ⅱ)设∠PBA=a ，由已知得，
PB=sina ，
3
sina
sin(30 -a)
在△PBA 中，由正弦定理得，
=
，
sin150
o
o
化简得， 3 cosa = 4sina ，
3
∴ tana =
，
4
3
∴ tanÐPBA=
．
4
1
2
a= 3 b c
- = 2
，
，cos B = -
32．(2019 北京 15)在△ABC中，
．
(Ⅰ)求 b，c 的值；
sin(B-C)
(Ⅱ)求
的值．
æ 1 ö
- 2´3´c´ç-
【解析】(I)由余弦定理b
2
= a
2
+c
2
-2accos B ，得b
2
= 3
2
+ c
2
．
÷
è 2 ø


æ 1 ö
32 c2 2 3 c ç
因为b =c+2 ，所以(c + 2)
2
=
+
- ´ ´ ´ -
è 2 ø
÷ ．解得c =5 ，
所以b =7 ．
1
3
c
5 3
14
(II)由cos B
= - 得sin B =
．由正弦定理得sin C = sin B =
．
2
2
b
11
14
在△ABC中，ÐB 是钝角，所以ÐC 为锐角．所以cosC = 1-sin
C =
．
2
4 3
( - ) =
所以sin B C
sin BcosC -cos Bsin C
=
．
7
1
33．(2018 北京)在DABC中，a =7，b =8，cos B = - ．
7
(1)求ÐA；
(2)求 AC 边上的高．
1
p
【解析】(1)在DABC中，∵cos B = - ，∴ BÎ( ,p)，
7
2
4 3
7
∴sin B = 1-cos
2
B =
．
a
b
7
8
3
由正弦定理得
=
Þ
=
，∴sin A =
．
sin A sin B
sin A 4 3
2
7
p
p
π
∵ BÎ( ,p)，∴ AÎ(0, )，∴ÐA = ．
2
2
3
(2)在DABC中，∵sinC = sin(A+ B) = sin Acos B+cos Asin B
3
1
1 4 3 3 3
=
´(- ) + ´
=
．
2
7
2
7
14
h
3 3 3 3
如图所示，在DABC中，∵sinC =
，∴h = BC×sin C= 7´
=
，
BC
14
2
3 3
∴ AC 边上的高为
．
2
3
5
34．(2017 天津)在△ABC中，内角 A, B,C 所对的边分别为a,b,c．已知a >b，a 5 ，c =6，sin B =
=
．
(Ⅰ)求b和sin A的值；


π
(Ⅱ)求sin(2A+ )的值．
4
3
5
4
5
【解析】(Ⅰ)在△ABC中，因为a >b，故由sin B
=
，可得cos B =
．
由已知及余弦定理，有b
2
= a
2
+c
2
-2accos B =13，所以b = 13 ．
a
b
asin B 3 13
由正弦定理
=
，得sin A =
=
．
sin A sin B
b
13
3 13
所以，b的值为 13 ，sin A的值为
．
13
2 13
12
(Ⅱ)由(Ⅰ)及a ，所以sin 2A = 2 sin Acos A =
，
13
13
5
cos 2A =1-2 sin A = -
2
．
13
π
π
π
4
7 2
26
故sin(2A+
) = sin 2Acos +cos 2Asin
=
．
4
4
3
D
Ð
c = a
35．(2017 北京)在 ABC中， A=60°，
．
7
(Ⅰ)求sinC的值；
(Ⅱ)若a 7，求
=
DABC的面积．
3
【解析】(Ⅰ)在△ABC 中，因为ÐA = 60°，c = a ，
7
csin A
3
3
3 3
14
所以由正弦定理得sinC =
= ´
=
．
a
7
2
3
(Ⅱ)因为c = a < a ，所以 C
Ð < ÐA =60 ，
o
7
3
由a =7，所以c = ´7 = 3．
7
1
由余弦定理a
2
= b
2
+ c
2
- 2bccos A 得 7
2
= b
2
+3 - 2b´3´ ，
2
2
解得b =8 或b = -5(舍)．
1
1
3
2
所以△ABC 的面积 S = bcsin A = ´8´3´
= 6 3 ．
2
2
36．(2014 山东) DABC中，a，b，c分别为内角 A， B ，C所对的边长．已知
6
p
a = 3, cos A =
(Ｉ)求b的值；
, B = A+
．
3
2


(II)求DABC的面积．
3
【解析】(I)在DABC中，由题意知sin A = 1-cos
2
A =
，
3
p
p
6
又因为 B = A+ ，所有sin B = sin(A+ ) = cos A =
，
2
2
3
6
3´
asin B
sin A
3
由正弦定理可得b =
=
= 3 2 ．
3
3
p
p
3
(II)由 B = A+ 得，cos B = cos(A+ ) = -sin A = -
，
2
2
3
由 A+B+C =p ，得C =p -(A+ B)．
所以sinC = sin[p -(A+ B)] = sin(A+ B) =sin Acos B+cos Asin B
3
´(- 3) +
6
6
1
=
´
= ．
3
3
3
3
3
1
1
1
3 2
2
因此，DABC的面积 S = absinC = ´3´3 2 ´ =
．
2
2
3
37．(2014 安徽)设DABC的内角 A,B,C 所对边的长分别是a,b,c ，且b =3，c =1， A = 2B．
a
(Ⅰ)求 的值；
p
sin(A+ )
(Ⅱ)求
的值．
4
【解析】(Ⅰ)∵ A = 2B，∴sin A=sin 2B = 2sin Bcos B，
+c -b
2ac
=12, a = 2 3
a
2
2
2
由正弦定理得a = 2b×
∵b =3, c =1，∴a
2
．
b
2
+c
2
-a
2
9+1-12
1
(Ⅱ)由余弦定理得cos A =
=
= - ，
2bc
6
3
1
2 2
3
由于0 < A

2
A = 1-(- )
2
=
，
3
p
p
p
2 2
3
2
1
2
4 - 2
故sin(A+ ) = sin Acos +cos Asin =
´
+(- )´
=
．
4
4
4
2
3
2
6
考点 46 正余弦定理在实际测量问题中的应用
1．(2020 山东 15)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的界


面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与
3
直线 BC 的切点， 四边形 DEFG 为矩形，BC ^ DG，垂足为C ，tanÐODC = ，BH∥DG ，EF=12cm ，
5
DE=2cm ， A 到直线 DE 和 EF 的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为
cm ．
2
5
【答案】 p + 4
2
3
【思路导引】利用 tanÐODC = 求出圆弧 AB 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形
AOB的面积，
5
求出直角△OAH 的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得．
【解析】解法一：过 A 作 AM ^ EF 交 DG于M，交 BH 于 P ，过O 作ON ^ DG交 DG于 N ，
设OB=OA= R，由已知可得 AM = 5， DM = 7 ，∴ MG = 5，
2
∴ÐAGM = 45°，∴OA = AH = R ，OH = 2 R ， MN = OP =
R = AP ，
2
2
2
p
1
∴ON = 5-
R ， DN = 7 -
R
，S
¢ = p
，
2
r =
2
2
2
2
2
5-
7-
R
R
3
3
2
2
又∵tan ÐODC = ，∴
= ，解得 R = 2 2 ．
5
5
2
135
360
1
∴扇形 AOB面积 S1 =
×p ×(2 2)2 = 3p ， SDAOH = ´ 2 2 ´ 2 2 = 4 ，
2
1
p
¢
¢ = p =
r
设圆孔的半径为r ，则半圆孔的面积为 S ，则
S
2
，∴阴影部分面积为
2
2
5
2
5
S
=
S1 + SDAOH
- S¢ =
p + 4 ，∴面积为( p + 4)cm2 ．
2
解法二：


2．(2014 四川)如图，从气球 A上测得正前方的河流的两岸 B ，C的俯角分别为75o ，30
是60cm，则河流的宽度 BC等于
o
，此时气球的高
A．240( 3 -1)m
【解析】C
B．180( 2 -1)m
C．120( 3 -1)m D．30( 3 +1)m
【解析】∵tan15 = tan(60 -45 ) = 2 - 3 ，∴
o
o
o
BC = 60 tan 60
o
-60 tan15 =120( 3 -1)．
o
3．(2014 新课标 I，文 16)如图，为测量山高 MN ，选择 A和另一座山的山顶C为测量观测点．从 A点测得
M 点的仰角ÐMAN = 60°，C点的仰角ÐCAB = 45°以及ÐMAC =75°；从C点测得ÐMCA=60°．已
知山高 BC =100m，则山高 MN =________ m．


【答案】150m
【解析】在△ABC 中，∠CAB= 45o ，∠ABC=90o ，BC=100，则 AC=100 2 ；在△AMC 中，ÐMAC =75°，
AC
AM
ÐMCA=60° ， 则 ∠ AMC= 45o ， 由 正 弦 定 理 得 ，
=
， ∴
sin ÐAMC sin ÐACM
ACsinÐACM 100 2
3
AM=
=
´
=100 3 ，在△AMN 中，ÐMAN =60°，ÐMNA=90o ，则 MN =150m
sinÐAMC
2
2
2
4．(2015 湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北
30 的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度
o
o
o
CD =
m．
【解析】100 6
【解析】依题意，ÐBAC = 30
o
，ÐABC =105
o
，在DABC中，由ÐABC +ÐBAC +ÐACB =180
o
，所
600
BC
以ÐACB = 45
o
AB =600，由正弦定理可得
=
BC =300 2
RtDBCD
m，在
，因为
，即
sin 45
o
sin 30
o
CD
CD
中，因为ÐCBD = 30
o
，
BC =300 2
，所以tan 30o
=
=
，所以CD =100 6 m．
BC 300 2
5．(2019 江苏 18)如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l，湖上有桥 AB(AB 是
圆 O 的直径)．规划在公路 l 上选两个点 P、Q，并修建两段直线型道路 PB、QA．规划要求：线段 PB、QA
上的所有点到点 O 的距离均不．小．于．圆．O 的半径．已知点 A、B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD(C、D 为垂
足)，测得 AB=10，AC=6，BD=12(单位：百米)．
(1)若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；
(2)在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；


(3)在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d(单位：百米)．求当 d 最小时，P、Q 两点间的距离．
【解析】解法一：
(1)过A作 AE ^ BD，垂足为E．
由已知条件得，四边形ACDE为矩形， DE = BE = AC = 6, AE = CD =8．'
因为PB⊥AB，
8
4
所以cosÐPBD = sin ÐABE =
= ．
10
5
BD
cosÐPBD
12
4
PB =
=
=15．
所以
5
因此道路PB的长为15(百米)．
(2)①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在
D处不满足规划要求．
AD = AE
2
+ ED
2
=10 ，
②若Q在D处，联结AD，由(1)知
AD
2
+ AB
2
-BD
2
7
从而cosÐBAD =
=
> 0 ，所以∠BAD为锐角．
2AD×AB
25
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．
因此，Q选在D处也不满足规划要求．
综上，P和Q均不能选在D处．
(3)先讨论点P的位置．
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，
点P符合规划要求．


P
PB ^ AB
1
P
1
设 为l上一点，且
，由(1)知， B=15，
1
3
此时 PD = PBsin ÐPBD = PBcosÐEBA =15´ = 9 ；
1
1
1
1
5
PB > P1B =15．
当∠OBP>90°时，在△PP1B
中，
由上可知，d≥15．
再讨论点Q的位置．
由 (2) 知 ， 要 使 得 QA≥15 ， 点 Q 只 有 位 于 点 C 的 右 侧 ， 才 能 符 合 规 划 要 求 ． 当 QA=15 时 ，
CQ = QA
2
- AC
2
= 15
2
- 6
2
= 3 21．此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．
3 21
综 上 ， 当 PB ⊥ AB ， 点 Q 位 于 点 C 右 侧 ， 且 CQ=
PQ=PD+CD+CQ=17+3 21．
时 ， d 最 小 ， 此 时 P ， Q 两 点 间 的 距 离
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+3 21(百米)．
解法二：(1)如图，过O作OH⊥l，垂足为H．
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系．
因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3．
因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25．
3
从而A(4，3)，B(−4，−3)，直线AB的斜率为 ．
4
4
3
因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为-
，
4
25
3
直线PB的方程为 y = - x -
．
3
PB = (-13+4)
2
+(9 +3) =15．
2
所以P(−13，9)，
因此道路PB的长为15(百米)．
(2)①若P在D处，取线段BD上一点E(−4，0)，则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求．
②若Q在D处，联结AD，由(1)知D(−4，9)，又A(4，3)，
3
所以线段AD： y = - x+6(-4„x„4)．
4


2
15
4
æ15 ö
è 4 ø
2
+
< 3
2
+ 4 = 5 ，
2
在线段AD上取点M(3，
)，因为OM = 3
ç
÷
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．
因此Q选在D处也不满足规划要求．
综上，P和Q均不能选在D处．
(3)先讨论点P的位置．
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，
点P符合规划要求．
P
PB ^ AB
1
P
P
1
设 为l上一点，且
，由(1)知， B=15，此时 (−13，9)；
1
1
PB > P1B =15．
当∠OBP>90°时，在△PP1B
中，
由上可知，d≥15．
再讨论点Q的位置．
由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA=15时，设Q(a，9)，由
AQ = (a-4)
2
2
=15(a > 4) ，得a= 4+3 21，所以Q(
+(9 -3)
4+3 21，9)，此时，线段QA上所有点
到点O的距离均不小于圆O的半径．
综上，当P(−13，9)，Q( 4+3 21，9)时，d最小，此时P，Q两点间的距离
PQ = 4 +3 21 -(-13) =17 +3 21 ．
因此，d 最小时，P，Q 两点间的距离为17+3 21(百米)．