上海市华东师范大学二附中2020届高三上学期暑假测试数学试题 Word版含解析

2019-2020学年上海市浦东新区华师大二附中高三（上）8月月考数学试卷

一.填空题

1．（3分）（2014秋•崇川区校级期中）是虚数单位，　 　．

2．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）的展开式中，的系数是　　．

3．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）“”是“”的　　条件

4．（3分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是　 　（米）．

5．（3分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为　 　．

6．（3分）已知函数，则不等式的解集是　 　．

7．（3分）已知数列中，，则　 　．

8．（3分）已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于　 　．

9．（3分）（2008•天津）设，若仅有一个常数使得对于任意的，，都有，满足方程，这时的取值的集合为　　    ．

10．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有　　   ．

11．（3分）（2016•上海）如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，任取不同的两点，，点满足，则点落在第一象限的概率是　　   ．

12．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数；③若、、均为奇函数，则、、均是奇函数；④若、、的值域均是，则、、均是值域为的函数，其中所有正确的命题是　　．

二.选择题

13．（3分）（2008•天津）设，是两条直线，，是两个平面，则的一个充分条件是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

14．（3分）（2008•天津）设函数，则函数是　　

A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 

C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数

15．（3分）（2008•天津）设函数的反函数为，则　　

A．在其定义域上是增函数且最大值为1 

B．在其定义域上是减函数且最小值为0 

C．在其定义域上是减函数且最大值为1 

D．在其定义域上是增函数且最小值为0

16．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）下列命题中正确的命题有几个　　

（1）是，，，依次构成等差数列的必要非充分条件．

（2）若是等比数列，，，则也是等比数列．

（3）若，，依次成等差数列，则，，也依次成等差数列．

（4）数列所有项均为正数，则数列，构成等比数列的充要条件是构成等比数列．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

三.解答题

17．（2019秋•浦东新区校级月考）如图，四边形与均为菱形，，且，与交于点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

18．（2011•无锡模拟）如图所示：一吊灯的下圆环直径为，圆心为，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即为，在圆环上设置三个等分点，，．点为上一点（不包含端点、，同时点与点，，，均用细绳相连接，且细绳，，的长度相等．设细绳的总长为．

（1）设，将表示成的函数关系式；

（2）请你设计，当角正弦值的大小是多少时，细绳总长最小，并指明此时应为多长．

19．（2019•北京）已知抛物线经过点．

（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；

（Ⅱ）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点，，直线分别交直线，于点和点．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点．






 

20．（2008•浦东新区一模）由函数确定数列，，若函数的反函数能确定数列，，则称数列是数列的“反数列”．

（1）若函数确定数列的反数列为，求的通项公式；

（2）对（1）中，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围；

（3）设，若数列的反数列为，与的公共项组成的数列为，求数列前项和．


 

21．（2019秋•浦东新区校级月考）若函数定义在区间上时存在反函数，那么就称区间为函数的“单射区间”，如果不存在单射区间，使得，那么就称为函数的“极大单射区间”，例如，是函数的“单射区间”， ，是函数的“极大单射区间”．

（1）求的所有极大单射区间表示包含的区间，；

（2）求的所有极大单射区间上的反函数，用表示；

（3）判断，是否有意义，若有意义，求出它的值，若没有意义，请说明理由．

2019-2020学年上海市浦东新区华师大二附中高三（上）8月月考数学试卷

参考答案与试题解析

一.填空题

1．（3分）（2014秋•崇川区校级期中）是虚数单位，　　．

【解答】解：．

故答案为：．

2．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）的展开式中，的系数是　40　

【解答】解：根据题意，的展开式的通项为，

令，解可得，

则有，即的系数是40，

故答案为：40．

3．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）“”是“”的　既不充分也不必要　条件

【解答】解：当，时，满足，但；当，时，满足，但，

所以是的充分也不必要条件．

故答案为：既不充分也不必要．

4．（3分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是　1.76　（米．

【解答】解：位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，

从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，

位于中间的两个数值为1.75，1.77，

这组数据的中位数是：（米．

故答案为：1.76．

5．（3分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为　24　．

【解答】解：设球的半径为，由得，

所以，表面积为．

故答案为：24

6．（3分）（2010秋•承德期末）已知函数，则不等式的解集是　，　．

【解答】解：由题意

当时，有恒成立，故得

当时，，解得，故得

综上得不等式的解集是

故答案为，．

7．（3分）（2008•天津）已知数列中，，则　　．

【解答】解：因为

所以是一个等比数列的前项和，所以，且．代入，

所以．

所以答案为

8．（3分）（2016•上海）已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于　　．

【解答】解：可设的三边分别为，，，

由余弦定理可得，，

可得，

可得该三角形的外接圆半径为．

故答案为：．

9．（3分）（2008•天津）设，若仅有一个常数使得对于任意的，，都有，满足方程，这时的取值的集合为　　．

【解答】解：，

得，单调递减，所以当，时，

所以，因为有且只有一个常数符合题意，所以，解得，所以的取值的集合为．

故答案为：

10．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有　1248　

【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则中间行的数字只能为1，4或2，3，共有种排法，

②，然后确定其余4个数字，其排法总数为，

其中不合题意的有：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，

余下两个数字有种排法，

所以此时余下的这4个数字共有种方法；

则有种不同的排法，

故答案为：1248．

11．（3分）（2016•上海）如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，任取不同的两点，，点满足，则点落在第一象限的概率是　　．

【解答】解：从正八边形的八个顶点中任取两个，基本事件总数为．

满足，且点落在第一象限，对应的，，为：

，，，，，，，，，共5种取法．

点落在第一象限的概率是，

故答案为：．

12．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数；③若、、均为奇函数，则、、均是奇函数；④若、、的值域均是，则、、均是值域为的函数，其中所有正确的命题是　②③　

【解答】解：①，可举反例：．，．均不是增函数，

但、、均为增函数，故①错误；

②，，

，

前两式作差可得：，

结合第三式可得：，，

同理可得：，因此②正确．

③若、、均是奇函数，

、是奇函数，

即是奇函数，

同理、均是奇函数，故③正确；

④，由①可得、、的值域均是，

但、、值域均不为的函数，故④错误．

故答案为：②③．

二.选择题

13．（3分）（2008•天津）设，是两条直线，，是两个平面，则的一个充分条件是　　

A．，， B．，， C．，， D．，，

【解答】解：、、的反例如图．

故选：．

14．（3分）（2008•天津）设函数，则函数是　　

A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 

C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数

【解答】解：

所以，且为奇函数．

故选：．

15．（3分）（2008•天津）设函数的反函数为，则　　

A．在其定义域上是增函数且最大值为1 

B．在其定义域上是减函数且最小值为0 

C．在其定义域上是减函数且最大值为1 

D．在其定义域上是增函数且最小值为0

【解答】解：为减函数，

由复合函数单调性知为增函数，

单调递增，排除、；

又的值域为的定义域，

最小值为0

故选：．

16．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）下列命题中正确的命题有几个　　

（1）是，，，依次构成等差数列的必要非充分条件．

（2）若是等比数列，，，则也是等比数列．

（3）若，，依次成等差数列，则，，也依次成等差数列．

（4）数列所有项均为正数，则数列，构成等比数列的充要条件是构成等比数列．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：若，，，依次构成等差数列，则，

但，，，时，，但，，，依次不构成等差数列，

故是，，，依次构成等差数列的必要非充分条件，即（1）正确；

若是等比数列，公比为，则若和是也是等比数列，公比均为1，但对应项相反.

则，可得不是等比数列，即（2）不正确.

若，，依次成等差数列，，则，即，，也依次成等差数列．故（3）正确.

（4）若为等比数列，则数列显然也是等比数列，但若是所有奇数项均相等，所有偶数项也均相等的摆动数列，则显然也是等比数列，

故数列，构成等比数列的充分为必要条件是构成等比数列．故（4）正确.

三.解答题

17．（2019秋•浦东新区校级月考）如图，四边形与均为菱形，，且，与交于点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

【解答】解：（1）证明：连结，，

四边形与均为菱形，，

，

，与交于点，是中点，且是中点，

，，

，平面．

（2）解：以为的点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

设，则平面的法向量，1，，

，0，，，1，，，0，，

，1，，，0，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，，，

设二面角的平面角为，

则．

二面角的余弦值为．

18．（2011•无锡模拟）如图所示：一吊灯的下圆环直径为，圆心为，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即为，在圆环上设置三个等分点，，．点为上一点（不包含端点、，同时点与点，，，均用细绳相连接，且细绳，，的长度相等．设细绳的总长为．

（1）设，将表示成的函数关系式；

（2）请你设计，当角正弦值的大小是多少时，细绳总长最小，并指明此时应为多长．

【解答】解：（1）在中，，，（2分）（7分）

（2），

令，则（12分）

当时，；时，，

在上是增函数

当角满足时，最小，最小为；此时       （16分）

19．（2019•北京）已知抛物线经过点．

（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；

（Ⅱ）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点，，直线分别交直线，于点和点．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点．

【解答】解：（Ⅰ）抛物线经过点．可得，即，

可得抛物线的方程为，准线方程为；

（Ⅱ）证明：抛物线的焦点为，

设直线方程为，联立抛物线方程，可得，

设，，，，

可得，，

直线的方程为，即，

直线的方程为，即，

可得，，，，

可得的中点的横坐标为，

即有为直径的圆心为，

半径为，

可得圆的方程为，

化为，

由，可得或．

则以为直径的圆经过轴上的两个定点，．

20．（2008•浦东新区一模）由函数确定数列，，若函数的反函数能确定数列，，则称数列是数列的“反数列”．

（1）若函数确定数列的反数列为，求的通项公式；

（2）对（1）中，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围；

（3）设，若数列的反数列为，与的公共项组成的数列为，求数列前项和．

【解答】解：（1）为正整数），

所以数列的反数列为的通项为正整数）（2分）

（2）对于（1）中，不等式化为（3分）

，，

数列单调递增，（5分）

所以，要是不等式恒成立，只要．（6分）

，，又

所以，使不等式对于任意正整数恒成立的的取值范围是（8分）

（3）设公共项，、、为正整数，

当为奇数时，（9分）

，则（表示是的子数列），

所以的前项和（11分）

当为偶数时，，（12分）

，则，同样有，

所以的前项和（14分）

21．（2019秋•浦东新区校级月考）若函数定义在区间上时存在反函数，那么就称区间为函数的“单射区间”，如果不存在单射区间，使得，那么就称为函数的“极大单射区间”，例如，是函数的“单射区间”， ，是函数的“极大单射区间”．

（1）求的所有极大单射区间表示包含的区间，；

（2）求的所有极大单射区间上的反函数，用表示；

（3）判断，是否有意义，若有意义，求出它的值，若没有意义，请说明理由．

【解答】解：（1），；

（2），；

（3），没意义，因为，．