上海市华东师范大学二附中2020届高三上学期暑假测试数学试题 Word版含解析
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2019-2020学年上海市浦东新区华师大二附中高三(上)8月月考数学试卷
一.填空题
1.(3分)(2014秋•崇川区校级期中)是虚数单位, .
2.(3分)(2019秋•浦东新区校级月考)的展开式中,的系数是 .
3.(3分)(2019秋•浦东新区校级月考)“”是“”的 条件
4.(3分)(2016•上海)某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是 (米).
5.(3分)(2008•天津)一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为,则该正方体的表面积为 .
6.(3分)已知函数,则不等式的解集是 .
7.(3分)已知数列中,,则 .
8.(3分)已知的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 .
9.(3分)(2008•天津)设,若仅有一个常数使得对于任意的,,都有,满足方程,这时的取值的集合为 .
10.(3分)(2019秋•浦东新区校级月考)有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有 .
11.(3分)(2016•上海)如图,在平面直角坐标系中,为正八边形的中心,任取不同的两点,,点满足,则点落在第一象限的概率是 .
12.(3分)(2019秋•浦东新区校级月考)设、、是定义域为的三个函数,对于命题:①若、、均为增函数,则、、中至少有一个增函数;②若、、均是以为周期的函数,则、、均是以为周期的函数;③若、、均为奇函数,则、、均是奇函数;④若、、的值域均是,则、、均是值域为的函数,其中所有正确的命题是 .
二.选择题
13.(3分)(2008•天津)设,是两条直线,,是两个平面,则的一个充分条件是
A.,, B.,,
C.,, D.,,
14.(3分)(2008•天津)设函数,则函数是
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
15.(3分)(2008•天津)设函数的反函数为,则
A.在其定义域上是增函数且最大值为1
B.在其定义域上是减函数且最小值为0
C.在其定义域上是减函数且最大值为1
D.在其定义域上是增函数且最小值为0
16.(3分)(2019秋•浦东新区校级月考)下列命题中正确的命题有几个
(1)是,,,依次构成等差数列的必要非充分条件.
(2)若是等比数列,,,则也是等比数列.
(3)若,,依次成等差数列,则,,也依次成等差数列.
(4)数列所有项均为正数,则数列,构成等比数列的充要条件是构成等比数列.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
三.解答题
17.(2019秋•浦东新区校级月考)如图,四边形与均为菱形,,且,与交于点.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值.
18.(2011•无锡模拟)如图所示:一吊灯的下圆环直径为,圆心为,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离(即为,在圆环上设置三个等分点,,.点为上一点(不包含端点、,同时点与点,,,均用细绳相连接,且细绳,,的长度相等.设细绳的总长为.
(1)设,将表示成的函数关系式;
(2)请你设计,当角正弦值的大小是多少时,细绳总长最小,并指明此时应为多长.
19.(2019•北京)已知抛物线经过点.
(Ⅰ)求抛物线的方程及其准线方程;
(Ⅱ)设为原点,过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点,,直线分别交直线,于点和点.求证:以为直径的圆经过轴上的两个定点.
20.(2008•浦东新区一模)由函数确定数列,,若函数的反函数能确定数列,,则称数列是数列的“反数列”.
(1)若函数确定数列的反数列为,求的通项公式;
(2)对(1)中,不等式对任意的正整数恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,若数列的反数列为,与的公共项组成的数列为,求数列前项和.
21.(2019秋•浦东新区校级月考)若函数定义在区间上时存在反函数,那么就称区间为函数的“单射区间”,如果不存在单射区间,使得,那么就称为函数的“极大单射区间”,例如,是函数的“单射区间”, ,是函数的“极大单射区间”.
(1)求的所有极大单射区间表示包含的区间,;
(2)求的所有极大单射区间上的反函数,用表示;
(3)判断,是否有意义,若有意义,求出它的值,若没有意义,请说明理由.
2019-2020学年上海市浦东新区华师大二附中高三(上)8月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1.(3分)(2014秋•崇川区校级期中)是虚数单位, .
【解答】解:.
故答案为:.
2.(3分)(2019秋•浦东新区校级月考)的展开式中,的系数是 40
【解答】解:根据题意,的展开式的通项为,
令,解可得,
则有,即的系数是40,
故答案为:40.
3.(3分)(2019秋•浦东新区校级月考)“”是“”的 既不充分也不必要 条件
【解答】解:当,时,满足,但;当,时,满足,但,
所以是的充分也不必要条件.
故答案为:既不充分也不必要.
4.(3分)(2016•上海)某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是 1.76 (米.
【解答】解:位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,
从小到大排列为:1.69,1.72,1.75,1.77,1.78,1.80,
位于中间的两个数值为1.75,1.77,
这组数据的中位数是:(米.
故答案为:1.76.
5.(3分)(2008•天津)一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为,则该正方体的表面积为 24 .
【解答】解:设球的半径为,由得,
所以,表面积为.
故答案为:24
6.(3分)(2010秋•承德期末)已知函数,则不等式的解集是 , .
【解答】解:由题意
当时,有恒成立,故得
当时,,解得,故得
综上得不等式的解集是
故答案为,.
7.(3分)(2008•天津)已知数列中,,则 .
【解答】解:因为
所以是一个等比数列的前项和,所以,且.代入,
所以.
所以答案为
8.(3分)(2016•上海)已知的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 .
【解答】解:可设的三边分别为,,,
由余弦定理可得,,
可得,
可得该三角形的外接圆半径为.
故答案为:.
9.(3分)(2008•天津)设,若仅有一个常数使得对于任意的,,都有,满足方程,这时的取值的集合为 .
【解答】解:,
得,单调递减,所以当,时,
所以,因为有且只有一个常数符合题意,所以,解得,所以的取值的集合为.
故答案为:
10.(3分)(2019秋•浦东新区校级月考)有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有 1248
【解答】解:根据题意,分2步进行分析:
①,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则中间行的数字只能为1,4或2,3,共有种排法,
②,然后确定其余4个数字,其排法总数为,
其中不合题意的有:中间行数字和为5,还有一行数字和为5,有4种排法,
余下两个数字有种排法,
所以此时余下的这4个数字共有种方法;
则有种不同的排法,
故答案为:1248.
11.(3分)(2016•上海)如图,在平面直角坐标系中,为正八边形的中心,任取不同的两点,,点满足,则点落在第一象限的概率是 .
【解答】解:从正八边形的八个顶点中任取两个,基本事件总数为.
满足,且点落在第一象限,对应的,,为:
,,,,,,,,,共5种取法.
点落在第一象限的概率是,
故答案为:.
12.(3分)(2019秋•浦东新区校级月考)设、、是定义域为的三个函数,对于命题:①若、、均为增函数,则、、中至少有一个增函数;②若、、均是以为周期的函数,则、、均是以为周期的函数;③若、、均为奇函数,则、、均是奇函数;④若、、的值域均是,则、、均是值域为的函数,其中所有正确的命题是 ②③
【解答】解:①,可举反例:.,.均不是增函数,
但、、均为增函数,故①错误;
②,,
,
前两式作差可得:,
结合第三式可得:,,
同理可得:,因此②正确.
③若、、均是奇函数,
、是奇函数,
即是奇函数,
同理、均是奇函数,故③正确;
④,由①可得、、的值域均是,
但、、值域均不为的函数,故④错误.
故答案为:②③.
二.选择题
13.(3分)(2008•天津)设,是两条直线,,是两个平面,则的一个充分条件是
A.,, B.,, C.,, D.,,
【解答】解:、、的反例如图.
故选:.
14.(3分)(2008•天津)设函数,则函数是
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
【解答】解:
所以,且为奇函数.
故选:.
15.(3分)(2008•天津)设函数的反函数为,则
A.在其定义域上是增函数且最大值为1
B.在其定义域上是减函数且最小值为0
C.在其定义域上是减函数且最大值为1
D.在其定义域上是增函数且最小值为0
【解答】解:为减函数,
由复合函数单调性知为增函数,
单调递增,排除、;
又的值域为的定义域,
最小值为0
故选:.
16.(3分)(2019秋•浦东新区校级月考)下列命题中正确的命题有几个
(1)是,,,依次构成等差数列的必要非充分条件.
(2)若是等比数列,,,则也是等比数列.
(3)若,,依次成等差数列,则,,也依次成等差数列.
(4)数列所有项均为正数,则数列,构成等比数列的充要条件是构成等比数列.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解答】解:若,,,依次构成等差数列,则,
但,,,时,,但,,,依次不构成等差数列,
故是,,,依次构成等差数列的必要非充分条件,即(1)正确;
若是等比数列,公比为,则若和是也是等比数列,公比均为1,但对应项相反.
则,可得不是等比数列,即(2)不正确.
若,,依次成等差数列,,则,即,,也依次成等差数列.故(3)正确.
(4)若为等比数列,则数列显然也是等比数列,但若是所有奇数项均相等,所有偶数项也均相等的摆动数列,则显然也是等比数列,
故数列,构成等比数列的充分为必要条件是构成等比数列.故(4)正确.
三.解答题
17.(2019秋•浦东新区校级月考)如图,四边形与均为菱形,,且,与交于点.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【解答】解:(1)证明:连结,,
四边形与均为菱形,,
,
,与交于点,是中点,且是中点,
,,
,平面.
(2)解:以为的点,,,所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,
设,则平面的法向量,1,,
,0,,,1,,,0,,
,1,,,0,,
设平面的法向量,,,
则,取,得,,,
设二面角的平面角为,
则.
二面角的余弦值为.
18.(2011•无锡模拟)如图所示:一吊灯的下圆环直径为,圆心为,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离(即为,在圆环上设置三个等分点,,.点为上一点(不包含端点、,同时点与点,,,均用细绳相连接,且细绳,,的长度相等.设细绳的总长为.
(1)设,将表示成的函数关系式;
(2)请你设计,当角正弦值的大小是多少时,细绳总长最小,并指明此时应为多长.
【解答】解:(1)在中,,,(2分)(7分)
(2),
令,则(12分)
当时,;时,,
在上是增函数
当角满足时,最小,最小为;此时 (16分)
19.(2019•北京)已知抛物线经过点.
(Ⅰ)求抛物线的方程及其准线方程;
(Ⅱ)设为原点,过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点,,直线分别交直线,于点和点.求证:以为直径的圆经过轴上的两个定点.
【解答】解:(Ⅰ)抛物线经过点.可得,即,
可得抛物线的方程为,准线方程为;
(Ⅱ)证明:抛物线的焦点为,
设直线方程为,联立抛物线方程,可得,
设,,,,
可得,,
直线的方程为,即,
直线的方程为,即,
可得,,,,
可得的中点的横坐标为,
即有为直径的圆心为,
半径为,
可得圆的方程为,
化为,
由,可得或.
则以为直径的圆经过轴上的两个定点,.
20.(2008•浦东新区一模)由函数确定数列,,若函数的反函数能确定数列,,则称数列是数列的“反数列”.
(1)若函数确定数列的反数列为,求的通项公式;
(2)对(1)中,不等式对任意的正整数恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,若数列的反数列为,与的公共项组成的数列为,求数列前项和.
【解答】解:(1)为正整数),
所以数列的反数列为的通项为正整数)(2分)
(2)对于(1)中,不等式化为(3分)
,,
数列单调递增,(5分)
所以,要是不等式恒成立,只要.(6分)
,,又
所以,使不等式对于任意正整数恒成立的的取值范围是(8分)
(3)设公共项,、、为正整数,
当为奇数时,(9分)
,则(表示是的子数列),
所以的前项和(11分)
当为偶数时,,(12分)
,则,同样有,
所以的前项和(14分)
21.(2019秋•浦东新区校级月考)若函数定义在区间上时存在反函数,那么就称区间为函数的“单射区间”,如果不存在单射区间,使得,那么就称为函数的“极大单射区间”,例如,是函数的“单射区间”, ,是函数的“极大单射区间”.
(1)求的所有极大单射区间表示包含的区间,;
(2)求的所有极大单射区间上的反函数,用表示;
(3)判断,是否有意义,若有意义,求出它的值,若没有意义,请说明理由.
【解答】解:(1),;
(2),;
(3),没意义,因为,.
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