2024届上海市华东师范大学松江实验高级中学高三上学期10月阶段检测数学试题含解析

这是一份2024届上海市华东师范大学松江实验高级中学高三上学期10月阶段检测数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．扇形的圆心角为1，半径为1，则扇形的面积为 ．
【答案】/
【分析】利用扇形的面积公式直接求解即可.
【详解】因为扇形的圆心角为1，半径为1，
所以该扇形的面积，
故答案为：
2．设集合，，则 .
【答案】
【分析】化简N集合，再用交集的运算即可.
【详解】由，得，所以.
故答案为：.
3．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ．
【答案】/
【分析】根据三角函数的定义和三角函数的诱导公式，即可求解.
【详解】由角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，
可得，根据三角函数的定义，可得，
又由
故答案为：.
4．已知，则 .
【答案】/
【分析】根据诱导公式、二倍角公式、商数关系式、平方关系式化简求值即可.
【详解】
.
故答案为：.
5．已知幂函数在上单调递增，则的解析式是 .
【答案】
【分析】根据幂函数的定义和性质求解.
【详解】解：是幂函数，
，解得或，
若，则，在上不单调递减，不满足条件；
若，则，在上单调递增，满足条件；
即.
故答案为：
6．方程的解是 ．
【答案】
【分析】根据对数真数大于零和对数函数的单调性可直接构造不等式组求得结果.
【详解】由得：，
即，解得：.
故答案为：.
7．不等式恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用绝对值三角不等式得到函数的最值，即可得到答案.
【详解】,
即函数的最小值是，若不等式恒成立，则.
故答案为：
8．已知命题或，命题或，若是的充分条件，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由充分条件列不等式组求参数范围.
【详解】由题意，所以.
故答案为：
9．在中，若，则这个三角形是 ．
【答案】等腰或直角三角形/直角或等腰三角形
【分析】利用正弦定理化简得出，再利用余弦定理化简得出，由此可判断出的形状.
【详解】因为，
所以，，
，则，所以，，
即，所以，，
，即，
整理可得，即或，
因此，为等腰或直角三角形.
故答案为：等腰或直角三角形.
10．若函数在区间上为严格减函数，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用复合函数单调性列出关于的不等式组，解之即可求得的取值范围.
【详解】由复合函数单调性可得，
函数在区间上为严格减函数，且，
则，解之得.
故答案为：
11．已知为上的奇函数，且，当时，，则 .
【答案】
【分析】根据题意，求得，得到，得出函数是周期为的周期函数，再由，即可求解.
【详解】由为上的奇函数，且，可得，
所以，所以函数是周期为的周期函数，
又由当时，，可得.
故答案为：.
12．声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是 ．(填序号)
①是的一个周期； ②在上是增函数；
③的最小值为； ④在上有3个零点．
【答案】①③④
【分析】分别计算和的最小正周期，再由其最小公倍数即可得到的最小正周期为，即可判断①选项；设，对求导，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，即可判断②③④选项.
【详解】解：因为：，
的最小正周期是，的最小正周期是，
所以的最小正周期是，故①正确；
由题可知，取一周期，不妨设，
由，
令得，，，
当，，为增函数，
当，，为减函数，
当，，为增函数，
所以在，上单调递增，在上为单调递减，故②不正确；
由于，，
所以的最小值为，所以③正确；
因为在，上单调递增，在上为单调递减，
，，所以在上有3个零点，故④正确.
故答案为：①③④
二、单选题
13．已知圆锥PO的底面半径为，轴截面的面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据轴截面面积和底面半径得到圆锥的高，进而得到圆锥的体积.
【详解】轴截面为等腰三角形，底边长为，设圆锥的高为，
则，解得，
故圆锥的体积为.
故选：B
14．若，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】因为，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故选：A.
15．函数在上严格增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数的单调性列式求解．
【详解】在上单调递增，
要使得在上单调递增，则，解得.
故选：A
16．关于函数有下述四个结论：
① 的极大值为0 ②有3个零点
③ 的图象关于直线对称 ④在区间严格递减
其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①②③B．①②④C．②③D．①③④
【答案】A
【分析】求得函数的定义域为，化简得到，结合二次函数的性质和对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定方法以及零点的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数的定义域为，
又由，
因为，
可得函数在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数的单调性知，可得在单调递减，在单调递增，所以当时，函数取得极大值，极大值为，所以①正确，④错误；
令，即，可得或或，
所以函数有3个零点，所以②正确；
由，所以的图象关于对称，所以③正确.
故选：A.
三、解答题
17．集合，集合，集合．
(1)求集合;
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据集合的基本运算，直接计算求解可得答案；
（2）根据集合之间的包含关系，计算可得答案.
【详解】（1）根据题意，，
，得；
由可得，
所以，，
，；
（2）对于，
由，得，
解得，由，得为非空集合，
又，可得，解得，
所以实数的取值范围为.
18．如图，在正方体中，点M，N，P，E，F分别是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求与面所成角的正弦值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明；
（2）设点D到平面的距离为d，则有，求出，设与平面所成角是，则代入求解即可得出答案.
【详解】（1）证明：正方体中，又，
∴平面平面，
∴平面.

（2）设正方体的棱长是2，，
平面，平面，则，，，
，
设点D到平面的距离为d，
则有，解得：，
设与平面所成角是，
则．
19．如图，某生态农庄内有一三角形区域，，百米，百米．现要修一条直道（宽度忽略不计），点在道路上（异于，两点）．
(1)若，求的长度；
(2)现计划在区域内种植观赏植物，在区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米4万元，种植经济作物的成本为每平方百米2万元，新建道路的成本为每百米2万元，求三项费用总和的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用正弦定理解三角形可得答案；
（2）应用正弦定理和三角形面积公式，结合导数可得答案.
【详解】（1）因为，所以，
在中，，
即，可得.
（2）设，则，
在中，，即，可得，
又，即，可得，
所以，，
故，
三项费用总和为，
则
故，
令，则，，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，，
故三项费用总和的最小值万元.
20．已知函数是奇函数，且，.
(1)求函数的解析式；
(2)判断并证明函数在上的单调性；
(3)令，若对任意的都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)在上单调递减，上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）由是奇函数，可知，，进而列出关系式，求出，即可得到函数的解析式；
（2）根据题意，利用定义法，可判断并证明函数在上的单调性；
（3）由对任意的，都有恒成立，可得，求出，进而可求出的取值范围.
【详解】（1），且是奇函数，，
，解得，
．
（2）证明如下：任取，，且，
则，
，且，
，，
∴，，即，
函数在上单调递减.
同理可证明函数在上单调递增．
（3）由题意知，
令，，
由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，
，
函数的对称轴方程为，
函数在上单调递增，
当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，.
所以，，
又对任意的，都有恒成立，
，
即，
解得，又，
的取值范围是．
21．已知函数 .
(1)若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值；
(2)设，若函数在区间为减函数时，求实数的取值范围;
(3)对于函数，若函数有两个极值点为、，且不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用导数求出函数在处的切线方程，将原点的坐标代入切线方程，即可求得实数的值；
（2）分析可知对任意的，恒成立，由参变量分离法可得，利用导数求出函数在区间上的最大值，即可得出实数的取值范围；
（3）分析可知，方程在上有两个不等的实根、，根据判别式以及韦达定理求出的取值范围，由参变量分离法可得，令，，利用导数求出函数的值域，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为，其中，则，
所以，，，
所以，函数的图象在点处的切线方程为，
将原点的坐标代入切线方程可得，解得.
（2）解：，则，
因为函数在区间上为减函数，
故对任意的，恒成立，可得，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
因为，，则，故.
故实数的取值范围是.
（3）解：因为，
由题意可知，方程在上有两个不等的实根，
即方程在上有两个不等的实根，
则，可得，
由可得，
又因为
，
所以，，
令，令，其中，，
所以，函数在上为减函数，
故当时，，所以，，
因此，实数的取值范围是.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.