2023届上海市向明中学高三上学期开学考试数学试题含解析

这是一份2023届上海市向明中学高三上学期开学考试数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】探讨给定函数的性质，结合当时函数值的符号即可判断作答.
【详解】函数定义域为，，
则有函数是奇函数，其图象关于原点对称，选项B，C不满足；
当时，，即，因此，选项A不满足，D符合条件.
故选：D
2．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据与的关系图可得正确的选项.
【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.
当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
3．设抛物线的焦点为F，准线为，为C上一动点，，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，的值为6
B．当时，抛物线C在点P处的切线方程为
C．的最小值为3
D．的最大值为
【答案】B
【分析】由焦半径求出的值判断A，利用导数的几何意义可得切线方程判断B，利用抛物线定义结合图象可判断CD.
【详解】当时，，故，故A正确；
当时，，由可得，所以，
所以抛物线C在点P处的切线方程为，整理得：，故B错误；
如图，过点P作PB⊥准线于点B，则由抛物线定义可知：，
则，当A、P、B三点共线时，和最小，最小值为1+2=3，故C正确；
由题意得：，连接AF并延长，交抛物线于点P，
此点即为取最大值的点，此时，
其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：，
故的最大值为，故D正确.
故选：B.
4．直线与函数的图像在y轴右侧交点的横坐标从左到右依次为，下列结论：①；②在上是减函数；③为等差数列；④．其中正确的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【分析】利用图像的平移变换、诱导公式、三角函数的整体代换技巧以及正弦函数的图像与性质、等差数列的概念进行判断求解.
【详解】因为函数，所以，
故①错误；
当，，因为在上不单调，故②错误；
因为与的图像在y轴右侧交点的横坐标从左到右依次为，
即，解得或，，
因为，所以，不是等差数列，
故③错误；
因为，
所以
，故④正确.故A，B，D错误.
故选：C.
二、填空题
5．已知集合，则_________．
【答案】
【分析】利用集合的并集运算求解.
【详解】因为集合，
所以.
故答案为：.
6．已知，则“”是“”的___________条件.
【答案】充分不必要
【分析】根据题意解出，通过逻辑推理得到答案.
【详解】因为或a<0，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
7．复数（是虚数单位）的虚部是_______．
【答案】
【详解】试题分析：因，故其虚部为，应填．
【解析】复数的有关概念和运算．
8．已知向量与的夹角为，，，则________________.
【答案】4
【详解】试题分析：向量与的夹角为， ，则， .所以，则 （舍去）或.
【解析】平面向量的数量积.
9．若为等差数列的前n项和，且，则数列的通项公式是______________．
【答案】，
【分析】根据已知，利用等差数列的性质以及通项公式求解.
【详解】因为等差数列满足，
所以，所以，
又因为，
所以，即，所以，
所以，.
故答案为：，.
10．过点作圆的切线，则切线方程是_____________．
【答案】或
【分析】对斜率是否存在进行分类讨论，利用待定系数法，根据切线的性质进行求解.
【详解】当切线的斜率存在时，设切线方程为，
即，
又圆的圆心为，半径，
所以，解得，
所以切线的方程为，
当切线的斜率不存在时，切线方程为，
与圆相切，满足题意，所以切线的方程为.
故答案为：或.
11．某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为_________________．
【答案】550
【分析】分选派的主任医师只有一名男主任，只有一名女主任，男，女主任医师均选派，三种情况，结合组合知识进行求解，再相加即可.
【详解】若选派的主任医师只有一名男主任，此时再从剩余的6名男医生选派3名男医生，从5名女医生（主任医师除外）选派3名医生，有种，
若选派的主任医师只有一名女主任，此时再从剩余的6名男医生（主任医师除外）中选派4名男医生，从5名女医生中选派2名医生，有种，
若男，女主任医师均选派，此时再从剩余的6名男医生中选派3名，5名女医生中选派2名，有种，
综上：不同的选派方案有200+150+200=550种.
故答案为：550
12．某地区教研部门开展高三教师座谈会，每名教师被抽到发言的概率均为p，且是否被抽到发言相互独立，已知某校共有8名教师参加座谈会，记X为该校教师中被抽到发言的人数，若，且，则_____.
【答案】
【分析】根据题意得到随机变量，结合二项分布的期望与方差的计算公式，求得，进而求得的值.
【详解】由题意，每名教师被抽到发言的概率均为p，且是否被抽到发言相互独立，
所以随机变量，
因为，可得，解得或，
又因为，可得，所以，
所以.
故答案为：.
13．在三棱锥中，，且两两互相垂直，则三棱锥的外接球的体积为__________．
【答案】
【分析】根据题意，将三棱锥补形为立方体，从而求出立方体的体对角线即为外接球的直径，求出半径，进而求出外接球的体积.
【详解】因为，且两两互相垂直，
所以三棱锥可补形为立方体，三棱锥的外接球即为立方体的外接球，
则立方体的体对角线为其外接球的直径，设三棱锥的外接球的半径为，
则，
所以，则外接球体积为.
故答案为：
14．已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，其中发现两个歧义点和偏差过大，去除这两点后，得到新的回归直线的斜率为3，则新的回归直线方程为______________．
【答案】
【分析】由题可得，进而可得新的平均数，根据回归直线方程过样本中心结合条件即得.
【详解】因为，且，
所以，
去除两个歧义点和后新的平均数为：
，，又新的回归直线的斜率为3，
所以，
所以新的回归直线方程为.
故答案为：.
15．已知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则的最小值是_______________.
【答案】4
【分析】由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得、，进而可得，再利用，结合基本不等式即可得解.
【详解】对求导得，
因为直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，
所以即，
所以，所以切点为，
由切点在切线y=x－a上可得即，
所以，
当且仅当时，等号成立.
所以的最小值是.
故答案为：.
【点睛】本题考查了导数的运算、导数几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用及运算求解能力，属于中档题.
16．已知函数满足，函数恰有5个零点，则实数a的取值范围为____________．
【答案】
【分析】把函数零点问题转化为两函数交点问题，再结合函数图像，利用导数求切线进行求解.
【详解】因为函数满足，
所以，，
因为函数恰有5个零点，
所以函数与恰有5个交点，如图，
因为与交于原点，要恰有5个交点，
与必有2个交点，
设与相切，切点为，
此时切线斜率为，解得，
解得，所以切点为，所以，解得，
所以要使函数恰有5个零点，则.
故答案为：.
三、解答题
17．记关于的不等式的解集为，不等式的解集为.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，分式不等式化为，结合分式不等式解法的结论，即可得到解．
（2）由含绝对值不等式的解法，得，并且集合是的子集，由此建立不等式关系，即可得到的取值范围．
【详解】(1)当时，，即，化简得，即，所以， 所以不等式的解集为，由此可得．
(2)，可得,
，得，再解，即
①当时，无解，，满足；
②当时，解得，此时，由此可得，即a的取值范围是．
③当时，解得，此时，由此可得，即a的取值范围是．
综上所述，a的取值范围是
18．某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）.通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产该商品能全部销售完.
（1）写出年利涧L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【答案】（1）L(x)＝ （2）100
【分析】（1）分别求出0（2）分别借助二次函数的最值和均值不等式求出0【详解】（1）当0L(x)＝x2－10x－250
＝x2＋40x－250，
当x≥80，x∈N时，
L(x)＝－51x－＋1 450－250
＝1 200－，
∴L(x)＝.
（2）当0L(x)＝(x－60)2＋950，
∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950，
当x≥80，x∈N时，
L(x)＝1 200－≤1 200－2
＝1 200－200＝1 000，
∴当x＝，即x＝100时，
L(x)取得最大值L(100)＝1 000>950，
综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1 000，
即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．
19．在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等，更要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况.某调查中心为了调查中学生在考试中有无作弊现象，随机选取150名男学生和150名女学生进行问卷调查.问卷调查中设置了两个问题：①你是否为男生？②你是否在考试中有作弊现象.调查分两个环节，第一个环节：确定回答的问题，让被调查者从装有3个红球，3个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球，摸到同色两球的学生如实回答第一个问题，摸到异色两球的学生如实回答第二个问题.第二个环节：填写问卷（问卷中不含问题，只有“是”与“否”）.已知统计问卷中有70张答案为“是”.
(1)根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计中学生在考试中有作弊现象的概率；
(2)据核实，以上的300名学生中有20名学生在考试中有作弊现象，其中男生15人，女生5人，试判断是否有97.5%的把握认为中学生在考试中有无作弊现象与性别有关.
参考公式和数据如下：，.
【答案】(1)；
(2)有97.5%的把握认为中学生在考试中有无作弊现象与性别有关.
【分析】（1）由题可得摸到同色两球的概率，进而可得回答第一个问题的人数及选择“是”的人数，再利用古典概型概率公式即得；
（2）通过计算，进而即得.
【详解】(1)因为摸到同色两球的概率，
所以回答第一个问题的人数为，回答第二个问题的人数为180.
因为男女人数相等，是等可能的，
所以回答第一个问题，选择“是”的同学人数为，
则回答第二个问题，选择“是”的同学人数为10，
所以估计中学生在考试中有作弊现象的概率为.
(2)由题知，列联表如下：
因为，
所以有97.5%的把握认为中学生在考试中有无作弊现象与性别有关.
20．设有椭圆方程，直线，下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为.
(1)，AM的中点在x轴上，求点M的坐标；
(2)直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求b；
(3)在椭圆上存在一点P到l距离为d，使，随a的变化，求d的最小值.
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）由题意可得椭圆方程为，从而确定点的纵坐标，进一步可得点的坐标；
（2）由直线方程可知，分类讨论和两种情况确定的值即可；
（3）设，利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得，进一步整理计算，结合三角函数的有界性求得即可确定的最小值．
【详解】(1)解：由题意可得，所以，
的中点在轴上，
的纵坐标为，代入得；
(2)解：由直线方程可知，，
①若，则，即，
，
.
②若，则，
，，
，，即，
，.
综上，或；
(3)解：设，结合已知条件，由椭圆的定义及点到直线距离公式可得，
显然椭圆在直线的左下方，则，即，
，，即，
，整理可得，即，
，即的最小值为．
0.15
0.10
0.05
0.025
0.005
2.072
2.706
3.841
5.024
7.879
男生
女生
合计
有作弊现象
15
5
20
没有作弊现象
135
145
280
合计
150
150
300