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河北省衡水中学2020届高三上学期四调考试数学（文）试题 Word版含解析
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这是一份河北省衡水中学2020届高三上学期四调考试数学（文）试题 Word版含解析，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．设集合M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，则实数a的值为（ ）
A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．2
2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，那么a3+a5的值等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
4．与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（﹣3，）的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
5．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝2+，则下列结论正确的是（ ）
A．||＝1 B．⊥ C．•＝1 D．（4+）⊥
6．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（ ）
A．f（sin2x）＝sinx B．f（sin2x）＝x2+x
C．f（x2+1）＝|x+1| D．f（x2+2x）＝|x+1|
7．已知双﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别曲线为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2﹣|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为（ ）
A．2 B．2+2 C．2+4 D．2+4
8．已知函数f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且f（x）＝，在△ABC中，f（A）＝f'（B）＝1，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰锐角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰钝角三角形
9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B．过F，B，C作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）．当m+n＞0时，椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（ ）
A． B． C．+1 D．+1
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得 斤金．（不作近似计算）
14．已知直线l经过抛物线C：y＝的焦点F，与抛物线交于A，B，且xA+xB＝8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为 ．
15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB＝ ．
16．已知△ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足，且△ABC的外接圆的面积为3π，则f（x）＝cos2x+4（a+c）sinx+1的最大值的取值范围为
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26．{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
18．如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．
（1）求cosA﹣cosC的值；
（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1，S2，求S12+S22的最大值．
19．已知抛物线C的方程y2＝2px（p＞0），焦点为F，已知点P在C上，且点P到点F的距离比它到y轴的距离大1．
（1）试求出抛物线C的方程；
（2）若抛物线C上存在两动点M，N（M，N在对称轴两侧），满足OM⊥ON（O为坐标原点），过点F作直线交C于A，B两点，若AB∥MN，线段MN上是否存在定点E，使得＝4恒成立？若存在，请求出E的坐标，若不存在，请说明理由．
20．椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．
21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．
（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；
（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；
（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．
22．已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性．
（2）试问是否存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．设集合M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，则实数a的值为（ ）
A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：∵M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，
∴a+2＝3，或a2+2＝3，解得a＝1或﹣1，
a＝1时不满足集合元素的互异性，a＝1舍去，
∴a＝﹣1．
故选：B．
2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义可知
|AB|＝x1+x2+p＝x1+x2+1＝4，
∴＝，
故选：C．
3．已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，那么a3+a5的值等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【解答】解：由等比数列的性质得：a2•a4＝a32，a4•a6＝a52
∴a2a4+2a3a5+a4a6＝25可化为
（a3+a5）2＝25又∵an＞0
∴a3+a5＝5
故选：A．
4．与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（﹣3，）的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【解答】解：∵与双曲线有共同的渐近线，
∴设双曲线方程为 ，
将点 代入双曲线方程，
解得 ，⇒
从而所求双曲线方程的焦点坐标为（，0），一条渐近线方程为 ，
所以焦点到一条渐近线的距离是＝2，
故选：C．
5．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝2+，则下列结论正确的是（ ）
A．||＝1 B．⊥ C．•＝1 D．（4+）⊥
【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足＝2，＝2+，又，∴的方向应该为的方向．
所以，，
所以＝2，＝1×2×cos120°＝﹣1，
4＝4×1×2×cos120°＝﹣4，＝4，所以＝0，即（4）＝0，即＝0，所以；
故选：D．
6．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（ ）
A．f（sin2x）＝sinx B．f（sin2x）＝x2+x
C．f（x2+1）＝|x+1| D．f（x2+2x）＝|x+1|
【解答】解：A．取x＝0，则sin2x＝0，∴f（0）＝0；
取x＝，则sin2x＝0，∴f（0）＝1；
∴f（0）＝0，和1，不符合函数的定义；
∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）＝sinx；
B．取x＝0，则f（0）＝0；
取x＝π，则f（0）＝π2+π；
∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；
∴该选项错误；
C．取x＝1，则f（2）＝2，取x＝﹣1，则f（2）＝0；
这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；
∴该选项错误；
D．令x+1＝t，则f（x2+2x）＝|x+1|，化为f（t2﹣1）＝|t|；
令t2﹣1＝x，则t＝±；
∴；
即存在函数f（x）＝，对任意x∈R，都有f（x2+2x）＝|x+1|；
∴该选项正确．
故选：D．
7．已知双﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别曲线为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2﹣|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为（ ）
A．2 B．2+2 C．2+4 D．2+4
【解答】解：由题意可得b＝1，c＝，
即有e＝＝，
可得a＝，c＝2，
P为双曲线右支上一点，
可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，
又|PF1|2﹣|PF2|2＝4，
可得|PF1|+|PF2|＝2，
则△PF1F2的周长为2+2c＝4+2，
故选：C．
8．已知函数f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且f（x）＝，在△ABC中，f（A）＝f'（B）＝1，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰锐角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰钝角三角形
【解答】解：函数的导数f′（x）＝f′（）cosx﹣sinx，
则f′（）＝f′（）cos﹣sin＝×f′（）﹣＝f′（）﹣，
则f′（）＝，则f′（）＝1，
则f′（x）＝cosx﹣sinx＝2cos（x+），
f（x）＝sinx+cosx＝2cos（x﹣），
∵f（A）＝f'（B）＝1，
∴f′（B）＝2cos（B+）＝1，即cos（B+）＝，
则B+＝，得B＝，
f（A）＝2cos（A﹣）＝1，即cos（A﹣）＝，
则A﹣＝，则A＝，
则C＝π﹣﹣＝，
则B＝C，
即△ABC是等腰钝角三角形，
故选：D．
9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，
可得该几何体是三棱锥，
由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P﹣ABC所示：
顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，
故该锥体的正视图是：
故选：A．
10．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：依题意f（x）＝sin2019xcos+cos2019xsin+cos2019xcos+sin2019xsin
＝sin2019x+cos2019x
＝2sin（2019x+），
∴A＝2，T＝，
∴|x1﹣x2|min＝＝，
∴A|x1﹣x2|的最小值为，
故选：C．
11．已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B．过F，B，C作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）．当m+n＞0时，椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，
线段FC的垂直平分线为：x＝，
线段BC的中点（，）．
∵kBC＝﹣b，
∴线段BC的垂直平分线的斜率k＝．
∴线段BC的垂直平分线方程为：y﹣＝（x﹣），
把x＝＝m代入上述方程可得：y＝＝n．
∵m+n＞0，
∴＞0．
化为：b＞，又0＜b＜1，
解得＜b＜1．
∴e＝＝c＝∈（0，）．
故选：A．
12．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（ ）
A． B． C．+1 D．+1
【解答】解：由题意可得a≥0，D＝+a+2，
由表示两点C（x，ex）与点A（a，2）的距离，
而A在抛物线y2＝4x（x≥0）上，抛物线的焦点F（1，0），准线为x＝﹣1，
则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和再加上1，
由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和A与F的距离的和再加上1，
由图象可得当F，A，C三点共线，且QF为曲线y＝ex的法线，D取得最小值，
即Q为切点，设为（m，em），
由•em＝﹣1，可得m+e2m＝1，
设g（m）＝m+e2m，则g（m）递增，且g（0）＝1，
可得切点Q（0，1），
即有|FQ|＝＝，
则D的最小值为+1．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得 斤金．（不作近似计算）
【解答】解：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，
则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，
由题意得，即，
解得d＝，
所以每一等人比下一等人多得斤金．
14．已知直线l经过抛物线C：y＝的焦点F，与抛物线交于A，B，且xA+xB＝8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为 （x﹣4）2+（y﹣4）2＝5 ．
【解答】解：抛物线的标准方程为x2＝4y，抛物线的焦点坐标为F（0，1），
直线AB的斜率k＝＝＝（xA+xB）＝＝2，
则l的方程为y＝2x+1，即2x﹣y+1＝0，
点D到直线l距离最大时，圆D的面积最大，
令y′＝＝2，解得x＝4，此时y＝4，即D（4，4）到直线l距离最大，此时d＝＝＝，
所以所求圆的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5，
故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5．
15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB＝ ．
【解答】
解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．
根据题意，CD⊥平面A'BD，
取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，
因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，
所以A'和B关于平面CDG对称，
在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过
O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，
则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，
因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，
即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R＝，
∴A'F＝＝＝2，
所以，BF＝2，
所以四边形A'DBF为菱形，
又知OD＝R，三角形ODE为直角三角形，
∴OE＝＝＝2，
∴三角形A'DF为等边三角形，
∴∠A'DF＝，
故∠A'DB＝，
故填：．
16．已知△ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足，且△ABC的外接圆的面积为3π，则f（x）＝cos2x+4（a+c）sinx+1的最大值的取值范围为 （12，24]
【解答】解：由，
可得：＝，
可得a2+2b2+c2+2ac+3ab+3bc＝3ab+3b2+3ac+3bc，
即a2+c2﹣b2＝ac，那么2ac•cosB＝ac，
即cosB＝∵0＜B＜π，∴B＝．
∵△ABC的外接圆的面积为3π，∴△ABC的外接圆的半径为R＝，
∴，
a+c＝2R（sinA+sinc）＝6sin（A+）．
∵A，∴a+c∈（3，6]，
f（x）＝cos2x+4（a+c）sinx+1＝﹣2sin2x++4（a+c）sinx+2
令g（t）＝﹣2t2+4（a+c）t+2，t∈[﹣1，1]，
g（t）在[﹣1，1]单调递增，∴g（t）max＝g（1）＝4（a+c）∈（12，24]
则f（x）＝cos2x+4（a+c）sinx+1的最大值的取值范围为（12，24]'
故答案为：（12，24]．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26．{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Sn＝＝n2+2n．
（Ⅱ）＝＝＝，
∴Tn＝＝＝．
18．如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．
（1）求cosA﹣cosC的值；
（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1，S2，求S12+S22的最大值．
【解答】解：（1）在△ABD中，BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cosA＝12﹣8cosA，
在△BDC中，BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cosC，
所以12﹣8cosA＝8﹣8cosC，
整理得．
（2）由题意知：＝8sin2A，，
所以＝8sin2A+4sin2C＝＝
＝，
由于，所以，
故，解得．
当cosA＝时，．
19．已知抛物线C的方程y2＝2px（p＞0），焦点为F，已知点P在C上，且点P到点F的距离比它到y轴的距离大1．
（1）试求出抛物线C的方程；
（2）若抛物线C上存在两动点M，N（M，N在对称轴两侧），满足OM⊥ON（O为坐标原点），过点F作直线交C于A，B两点，若AB∥MN，线段MN上是否存在定点E，使得＝4恒成立？若存在，请求出E的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意和抛物线定义可得＝1，即p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x，
（2）由题意可知，kMN≠0，
设M（y12，y1），N（y22，y2），（y2＞y1），
由OM⊥ON，
∴y12y22+y1y2＝0，即y1y2＝﹣16，
直线MN的斜率k＝＝，
∴直线MN的方程为y﹣y1＝（x﹣），即y＝（x﹣4），
直线AB，①斜率存在，设斜率为k，则y＝k（x﹣1），与C联立可得ky2﹣4y﹣4k＝0，
∴|AB|＝•＝4（1+），
设点E存在，并设为E（x0，y0），
则|EM|•|EN|＝（y0﹣y1）（y2﹣y0）＝（1+）[﹣y1y2﹣y02+（y1+y2）y0]＝（1+）（16﹣y02+），
∵＝4，
∴16﹣y02+＝16，
解得y0＝0，y0＝（不是定点，舍去），
则点E（4，0），经检验，此点满足y2＜4x，所以在线段MN上，
②若斜率不存在，则|AB|＝4，|EM|•|EN|＝4×4＝16，此时点E（4，0）满足题意，
综上所述，定点为（4，0）
20．椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由已知椭圆过点，可得，
解得a2＝9，b2＝4所以椭圆的E方程为．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0）
由消去y得（4+9k2）x2+18kx﹣27＝0，
所以．
当k≠0时，
设过点C且与l垂直的直线方程，
将M（m，0）代入得：，
若k＞0，则，
若k＜0，则
所以或，
当k＝0时，m＝0
综上所述，存在点M满足条件，m取值范围是．
21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．
（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；
（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；
（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．
【解答】解：（1）由x＝3可得y＝±，可得2＝6，解得p＝；
（2）A是点F（，0）关于顶点O的对称点，可得A（﹣，0），
设过A的直线为y＝k（x+），k＝tanα，
联立抛物线方程可得k2x2+（k2p﹣2p）x+＝0，
由直线和抛物线相切可得△＝（k2p﹣2p）2﹣k4p2＝0，解得k＝±1，
可取k＝1，可得切线的倾斜角为45°，
由抛物线的定义可得＝＝，而α的最小值为45°，
的最大值为；
（3）由y2＝4x，可得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），
设l1：y＝k（x﹣1），联立抛物线y2＝4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
即有x1+x2＝2+，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k＝，
由两直线垂直的条件，可将k换为﹣，可得
x3+x4＝2+4k2，y3+y4＝﹣4k，
点G满足4＝+++，
可得4（x，y）＝（x1+x2+x3+x4﹣4，y1+y2+y3+y4），
即为4x＝x1+x2+x3+x4﹣4＝4k2+，
4y＝y1+y2+y3+y4＝﹣4k+，
可得y2＝（k﹣）2＝k2+﹣2＝x﹣2，
则G的轨迹方程为y2＝x﹣2．
22．已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性．
（2）试问是否存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）f′（x）＝xlnx﹣alnx+a﹣x＝（x﹣a）（lnx﹣1），x∈（0，+∞），
①当a≤0时，由f′（x）＞0，解得x＞e，由f′（x）＜0，解得0＜x＜e，
∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
②0＜a＜e时，令f′（x）＝0，解得x＝a，或x＝e，
由f′（x）＞0，解得0＜x＜a，或x＞e，由f′（x）＜0，解得a＜x＜e，
∴f（x）在（a，e）上单调递减，在（0，a），（e，+∞）上单调递增，
③当a＝e时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
④当a＞e时，由f′（x）＞0，解得0＜x＜e，或x＞a，由f′（x）＜0，解得e＜x＜a，
∴f（x）在（e，a）上单调递减，在（0，e），（a，+∞）上单调递增．
（2）假设存在a∈（﹣∞，e]，使得f（x）＞3+sin对x∈[1，+∞）恒成立，
则f（1）＝2a﹣＞3+sin，即8a﹣sin﹣15＞0，
设g（x）＝8x﹣sin﹣15，
则g′（x）＝8﹣cos＞0，
则g（x）单调递增，
∵g（2）＝0，
∴a＞2，
当a＝e时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴f（x）min＝f（1），
∴a＞2，从而a＝e满足题意，
当2＜a＜e时，f（x）在（a，e）上单调递减，在[1，a），（e，+∞）上单调递增，
∴，
∴，（*），
设h（x）＝4ex﹣sin﹣e2﹣12，
则h′（x）＝4e﹣cos＞0，
则h（x）单调递增，
∵h（2）＝8e﹣e2﹣13＞0，
∴h（x）的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为（2，+∞），
∴2＜a＜e，
综上，存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立，且a的取值范围为（2，e]．
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．设集合M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，则实数a的值为（ ）
A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．2
2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，那么a3+a5的值等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
4．与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（﹣3，）的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
5．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝2+，则下列结论正确的是（ ）
A．||＝1 B．⊥ C．•＝1 D．（4+）⊥
6．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（ ）
A．f（sin2x）＝sinx B．f（sin2x）＝x2+x
C．f（x2+1）＝|x+1| D．f（x2+2x）＝|x+1|
7．已知双﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别曲线为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2﹣|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为（ ）
A．2 B．2+2 C．2+4 D．2+4
8．已知函数f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且f（x）＝，在△ABC中，f（A）＝f'（B）＝1，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰锐角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰钝角三角形
9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B．过F，B，C作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）．当m+n＞0时，椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（ ）
A． B． C．+1 D．+1
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得 斤金．（不作近似计算）
14．已知直线l经过抛物线C：y＝的焦点F，与抛物线交于A，B，且xA+xB＝8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为 ．
15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB＝ ．
16．已知△ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足，且△ABC的外接圆的面积为3π，则f（x）＝cos2x+4（a+c）sinx+1的最大值的取值范围为
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26．{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
18．如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．
（1）求cosA﹣cosC的值；
（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1，S2，求S12+S22的最大值．
19．已知抛物线C的方程y2＝2px（p＞0），焦点为F，已知点P在C上，且点P到点F的距离比它到y轴的距离大1．
（1）试求出抛物线C的方程；
（2）若抛物线C上存在两动点M，N（M，N在对称轴两侧），满足OM⊥ON（O为坐标原点），过点F作直线交C于A，B两点，若AB∥MN，线段MN上是否存在定点E，使得＝4恒成立？若存在，请求出E的坐标，若不存在，请说明理由．
20．椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．
21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．
（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；
（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；
（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．
22．已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性．
（2）试问是否存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．设集合M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，则实数a的值为（ ）
A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：∵M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，
∴a+2＝3，或a2+2＝3，解得a＝1或﹣1，
a＝1时不满足集合元素的互异性，a＝1舍去，
∴a＝﹣1．
故选：B．
2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义可知
|AB|＝x1+x2+p＝x1+x2+1＝4，
∴＝，
故选：C．
3．已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，那么a3+a5的值等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【解答】解：由等比数列的性质得：a2•a4＝a32，a4•a6＝a52
∴a2a4+2a3a5+a4a6＝25可化为
（a3+a5）2＝25又∵an＞0
∴a3+a5＝5
故选：A．
4．与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（﹣3，）的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【解答】解：∵与双曲线有共同的渐近线，
∴设双曲线方程为 ，
将点 代入双曲线方程，
解得 ，⇒
从而所求双曲线方程的焦点坐标为（，0），一条渐近线方程为 ，
所以焦点到一条渐近线的距离是＝2，
故选：C．
5．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝2+，则下列结论正确的是（ ）
A．||＝1 B．⊥ C．•＝1 D．（4+）⊥
【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足＝2，＝2+，又，∴的方向应该为的方向．
所以，，
所以＝2，＝1×2×cos120°＝﹣1，
4＝4×1×2×cos120°＝﹣4，＝4，所以＝0，即（4）＝0，即＝0，所以；
故选：D．
6．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（ ）
A．f（sin2x）＝sinx B．f（sin2x）＝x2+x
C．f（x2+1）＝|x+1| D．f（x2+2x）＝|x+1|
【解答】解：A．取x＝0，则sin2x＝0，∴f（0）＝0；
取x＝，则sin2x＝0，∴f（0）＝1；
∴f（0）＝0，和1，不符合函数的定义；
∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）＝sinx；
B．取x＝0，则f（0）＝0；
取x＝π，则f（0）＝π2+π；
∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；
∴该选项错误；
C．取x＝1，则f（2）＝2，取x＝﹣1，则f（2）＝0；
这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；
∴该选项错误；
D．令x+1＝t，则f（x2+2x）＝|x+1|，化为f（t2﹣1）＝|t|；
令t2﹣1＝x，则t＝±；
∴；
即存在函数f（x）＝，对任意x∈R，都有f（x2+2x）＝|x+1|；
∴该选项正确．
故选：D．
7．已知双﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别曲线为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2﹣|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为（ ）
A．2 B．2+2 C．2+4 D．2+4
【解答】解：由题意可得b＝1，c＝，
即有e＝＝，
可得a＝，c＝2，
P为双曲线右支上一点，
可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，
又|PF1|2﹣|PF2|2＝4，
可得|PF1|+|PF2|＝2，
则△PF1F2的周长为2+2c＝4+2，
故选：C．
8．已知函数f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且f（x）＝，在△ABC中，f（A）＝f'（B）＝1，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰锐角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰钝角三角形
【解答】解：函数的导数f′（x）＝f′（）cosx﹣sinx，
则f′（）＝f′（）cos﹣sin＝×f′（）﹣＝f′（）﹣，
则f′（）＝，则f′（）＝1，
则f′（x）＝cosx﹣sinx＝2cos（x+），
f（x）＝sinx+cosx＝2cos（x﹣），
∵f（A）＝f'（B）＝1，
∴f′（B）＝2cos（B+）＝1，即cos（B+）＝，
则B+＝，得B＝，
f（A）＝2cos（A﹣）＝1，即cos（A﹣）＝，
则A﹣＝，则A＝，
则C＝π﹣﹣＝，
则B＝C，
即△ABC是等腰钝角三角形，
故选：D．
9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，
可得该几何体是三棱锥，
由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P﹣ABC所示：
顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，
故该锥体的正视图是：
故选：A．
10．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：依题意f（x）＝sin2019xcos+cos2019xsin+cos2019xcos+sin2019xsin
＝sin2019x+cos2019x
＝2sin（2019x+），
∴A＝2，T＝，
∴|x1﹣x2|min＝＝，
∴A|x1﹣x2|的最小值为，
故选：C．
11．已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B．过F，B，C作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）．当m+n＞0时，椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，
线段FC的垂直平分线为：x＝，
线段BC的中点（，）．
∵kBC＝﹣b，
∴线段BC的垂直平分线的斜率k＝．
∴线段BC的垂直平分线方程为：y﹣＝（x﹣），
把x＝＝m代入上述方程可得：y＝＝n．
∵m+n＞0，
∴＞0．
化为：b＞，又0＜b＜1，
解得＜b＜1．
∴e＝＝c＝∈（0，）．
故选：A．
12．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（ ）
A． B． C．+1 D．+1
【解答】解：由题意可得a≥0，D＝+a+2，
由表示两点C（x，ex）与点A（a，2）的距离，
而A在抛物线y2＝4x（x≥0）上，抛物线的焦点F（1，0），准线为x＝﹣1，
则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和再加上1，
由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和A与F的距离的和再加上1，
由图象可得当F，A，C三点共线，且QF为曲线y＝ex的法线，D取得最小值，
即Q为切点，设为（m，em），
由•em＝﹣1，可得m+e2m＝1，
设g（m）＝m+e2m，则g（m）递增，且g（0）＝1，
可得切点Q（0，1），
即有|FQ|＝＝，
则D的最小值为+1．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得 斤金．（不作近似计算）
【解答】解：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，
则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，
由题意得，即，
解得d＝，
所以每一等人比下一等人多得斤金．
14．已知直线l经过抛物线C：y＝的焦点F，与抛物线交于A，B，且xA+xB＝8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为 （x﹣4）2+（y﹣4）2＝5 ．
【解答】解：抛物线的标准方程为x2＝4y，抛物线的焦点坐标为F（0，1），
直线AB的斜率k＝＝＝（xA+xB）＝＝2，
则l的方程为y＝2x+1，即2x﹣y+1＝0，
点D到直线l距离最大时，圆D的面积最大，
令y′＝＝2，解得x＝4，此时y＝4，即D（4，4）到直线l距离最大，此时d＝＝＝，
所以所求圆的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5，
故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5．
15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB＝ ．
【解答】
解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．
根据题意，CD⊥平面A'BD，
取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，
因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，
所以A'和B关于平面CDG对称，
在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过
O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，
则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，
因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，
即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R＝，
∴A'F＝＝＝2，
所以，BF＝2，
所以四边形A'DBF为菱形，
又知OD＝R，三角形ODE为直角三角形，
∴OE＝＝＝2，
∴三角形A'DF为等边三角形，
∴∠A'DF＝，
故∠A'DB＝，
故填：．
16．已知△ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足，且△ABC的外接圆的面积为3π，则f（x）＝cos2x+4（a+c）sinx+1的最大值的取值范围为 （12，24]
【解答】解：由，
可得：＝，
可得a2+2b2+c2+2ac+3ab+3bc＝3ab+3b2+3ac+3bc，
即a2+c2﹣b2＝ac，那么2ac•cosB＝ac，
即cosB＝∵0＜B＜π，∴B＝．
∵△ABC的外接圆的面积为3π，∴△ABC的外接圆的半径为R＝，
∴，
a+c＝2R（sinA+sinc）＝6sin（A+）．
∵A，∴a+c∈（3，6]，
f（x）＝cos2x+4（a+c）sinx+1＝﹣2sin2x++4（a+c）sinx+2
令g（t）＝﹣2t2+4（a+c）t+2，t∈[﹣1，1]，
g（t）在[﹣1，1]单调递增，∴g（t）max＝g（1）＝4（a+c）∈（12，24]
则f（x）＝cos2x+4（a+c）sinx+1的最大值的取值范围为（12，24]'
故答案为：（12，24]．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26．{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Sn＝＝n2+2n．
（Ⅱ）＝＝＝，
∴Tn＝＝＝．
18．如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．
（1）求cosA﹣cosC的值；
（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1，S2，求S12+S22的最大值．
【解答】解：（1）在△ABD中，BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cosA＝12﹣8cosA，
在△BDC中，BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cosC，
所以12﹣8cosA＝8﹣8cosC，
整理得．
（2）由题意知：＝8sin2A，，
所以＝8sin2A+4sin2C＝＝
＝，
由于，所以，
故，解得．
当cosA＝时，．
19．已知抛物线C的方程y2＝2px（p＞0），焦点为F，已知点P在C上，且点P到点F的距离比它到y轴的距离大1．
（1）试求出抛物线C的方程；
（2）若抛物线C上存在两动点M，N（M，N在对称轴两侧），满足OM⊥ON（O为坐标原点），过点F作直线交C于A，B两点，若AB∥MN，线段MN上是否存在定点E，使得＝4恒成立？若存在，请求出E的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意和抛物线定义可得＝1，即p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x，
（2）由题意可知，kMN≠0，
设M（y12，y1），N（y22，y2），（y2＞y1），
由OM⊥ON，
∴y12y22+y1y2＝0，即y1y2＝﹣16，
直线MN的斜率k＝＝，
∴直线MN的方程为y﹣y1＝（x﹣），即y＝（x﹣4），
直线AB，①斜率存在，设斜率为k，则y＝k（x﹣1），与C联立可得ky2﹣4y﹣4k＝0，
∴|AB|＝•＝4（1+），
设点E存在，并设为E（x0，y0），
则|EM|•|EN|＝（y0﹣y1）（y2﹣y0）＝（1+）[﹣y1y2﹣y02+（y1+y2）y0]＝（1+）（16﹣y02+），
∵＝4，
∴16﹣y02+＝16，
解得y0＝0，y0＝（不是定点，舍去），
则点E（4，0），经检验，此点满足y2＜4x，所以在线段MN上，
②若斜率不存在，则|AB|＝4，|EM|•|EN|＝4×4＝16，此时点E（4，0）满足题意，
综上所述，定点为（4，0）
20．椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由已知椭圆过点，可得，
解得a2＝9，b2＝4所以椭圆的E方程为．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0）
由消去y得（4+9k2）x2+18kx﹣27＝0，
所以．
当k≠0时，
设过点C且与l垂直的直线方程，
将M（m，0）代入得：，
若k＞0，则，
若k＜0，则
所以或，
当k＝0时，m＝0
综上所述，存在点M满足条件，m取值范围是．
21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．
（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；
（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；
（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．
【解答】解：（1）由x＝3可得y＝±，可得2＝6，解得p＝；
（2）A是点F（，0）关于顶点O的对称点，可得A（﹣，0），
设过A的直线为y＝k（x+），k＝tanα，
联立抛物线方程可得k2x2+（k2p﹣2p）x+＝0，
由直线和抛物线相切可得△＝（k2p﹣2p）2﹣k4p2＝0，解得k＝±1，
可取k＝1，可得切线的倾斜角为45°，
由抛物线的定义可得＝＝，而α的最小值为45°，
的最大值为；
（3）由y2＝4x，可得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），
设l1：y＝k（x﹣1），联立抛物线y2＝4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
即有x1+x2＝2+，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k＝，
由两直线垂直的条件，可将k换为﹣，可得
x3+x4＝2+4k2，y3+y4＝﹣4k，
点G满足4＝+++，
可得4（x，y）＝（x1+x2+x3+x4﹣4，y1+y2+y3+y4），
即为4x＝x1+x2+x3+x4﹣4＝4k2+，
4y＝y1+y2+y3+y4＝﹣4k+，
可得y2＝（k﹣）2＝k2+﹣2＝x﹣2，
则G的轨迹方程为y2＝x﹣2．
22．已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性．
（2）试问是否存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）f′（x）＝xlnx﹣alnx+a﹣x＝（x﹣a）（lnx﹣1），x∈（0，+∞），
①当a≤0时，由f′（x）＞0，解得x＞e，由f′（x）＜0，解得0＜x＜e，
∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
②0＜a＜e时，令f′（x）＝0，解得x＝a，或x＝e，
由f′（x）＞0，解得0＜x＜a，或x＞e，由f′（x）＜0，解得a＜x＜e，
∴f（x）在（a，e）上单调递减，在（0，a），（e，+∞）上单调递增，
③当a＝e时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
④当a＞e时，由f′（x）＞0，解得0＜x＜e，或x＞a，由f′（x）＜0，解得e＜x＜a，
∴f（x）在（e，a）上单调递减，在（0，e），（a，+∞）上单调递增．
（2）假设存在a∈（﹣∞，e]，使得f（x）＞3+sin对x∈[1，+∞）恒成立，
则f（1）＝2a﹣＞3+sin，即8a﹣sin﹣15＞0，
设g（x）＝8x﹣sin﹣15，
则g′（x）＝8﹣cos＞0，
则g（x）单调递增，
∵g（2）＝0，
∴a＞2，
当a＝e时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴f（x）min＝f（1），
∴a＞2，从而a＝e满足题意，
当2＜a＜e时，f（x）在（a，e）上单调递减，在[1，a），（e，+∞）上单调递增，
∴，
∴，（*），
设h（x）＝4ex﹣sin﹣e2﹣12，
则h′（x）＝4e﹣cos＞0，
则h（x）单调递增，
∵h（2）＝8e﹣e2﹣13＞0，
∴h（x）的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为（2，+∞），
∴2＜a＜e，
综上，存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立，且a的取值范围为（2，e]．
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