2020届河北省衡水中学高三二调考试数学（文）试题（解析版）

2020届河北省衡水中学高三二调考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对集合进行化简，然后根据集合的交集运算，得到的值.

【详解】

集合，

集合

所以.

故选：C.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，属于简单题.

2．若函数在处的切线方程为，则，的值为(    )

A．2,1 B．-2，-1 C．3,1 D．-3，-1

【答案】C

【解析】将代入切线方程得到切点，将切点代入到解析式中，得到，利用导数的几何意义，对函数求导，代入，得到切线斜率，得的值.

【详解】

将代入切线，

得到切点坐标为，

将代入到函数解析式中，得到，

所以，

求导得，

代入得，

所以，得.

故选：C.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，根据导数的切线求参数的值，属于简单题.

3．已知命题使.命题.则命题是命题的（     ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】C

【解析】根据命题p、q的等价条件确定k的取值范围，即可得到本题答案.

【详解】

p:设，因为，得当时，取最小值0，且使的等价条件为在的值域即为k的范围，即;

q：的等价条件为;

所以，命题p是命题q的充要条件.

故选：C

【点睛】

本题主要考查根据全称命题、特称命题确定参数的取值范围，以及判断充分条件、必要条件.

4．设，，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由比较，的大小，利用中间量比较,，从而得解.

【详解】

∵，，∴.

∵，∴，∴.

又，∴，即.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了利用对数函数的单调性比较大小，解题的关键是找到合适的中间量进行比较大小，属于难题.

5．若函数在上单调递减，则的最小值是（  ）

A． B．-1 C． D．

【答案】A

【解析】对函数求导，则函数在上单调递减等价于在上恒成立，分离参数，即可求出的最小值。

【详解】

由，又在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立.又当时，，故，所以的最小值为.

故答案选A

【点睛】

本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题。

6．已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（   ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【解析】由为幂函数，即可得到的值，计算出，且经过的定点，代入中，即可得到的值．

【详解】

由于为幂函数，则，解得：，

函数，且，当时， ，故 的图像所经过的定点为，

所以，即，解得：,

故答案选B

【点睛】

本题考查幂函数的定义以及函数恒过点点的问题，属于基础题．

7．若函数为偶函数，且时，则不等式的解集为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据题意得到关于成轴对称，得到再利用导数，得到时的单调性，从而得到不等式的解集.

【详解】

因为函数函数为偶函数，

所以可得关于成轴对称，

所以，

当时，，

所以

设，则，

当，，单调递减，

，

即，所以在上单调递减，

在上单调递增，

所以不等式的解集为.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的单调性，根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.

8．已知函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为(  )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，这样原不等式可以转化为，构造新函数，求导，并结合已知条件，可以判断出的单调性，利用单调性，从而可以解得，也就可以求解出，得到答案.

【详解】

解:令，则，

令，则，

在上单调递增，

，故选A.

【点睛】

本题考查了利用转化法、构造函数法、求导法解决不等式解集问题，考查了数学运算能力和推理论证能力.

9．已知函数，若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】画出函数与的图像，根据两个函数图像有两个不同的交点，求得实数的取值范围.

【详解】

画出函数与的图像如下图所示，其中,由图可知，当时，两个函数图像有两个不同的交点.，故.注意到，即时，两个函数图像只有一个交点，不符合题意，由此排除B,C,D三个选项.故本小题选A.

【点睛】

本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

10．已知函数，若有且只有两个整数，使得，且，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】令，可得，原问题转化为直线有且只有两个整数点处的函数值大于函数的值，利用导函数研究函数的单调性得到关于a的不等式组，求解不等式组即可确定a的取值范围.

【详解】

令，则：，

，

设，，

故，

由可得，

在上，，为减函数，

在上，，为增函数，

的图像恒过点，

在同一坐标系中作出，的图像，

如图所示，若有且只有两个整数，使得，且，

则，即，

解得：.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查导函数研究函数的单调性，直线恒过定点问题，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

11．已知函数，对于任意，，不等式恒成立，则整数的最大值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】首先将原问题转化为恒成立的问题，然后结合导函数在特殊点处的值即可确定整数的最大值.

【详解】

，

设，则有且，即恒成立，

即，令，

则在上单调递增，即恒成立，

即，，得，

下证成立：

，易证当时，，

考查函数：，则，故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，函数的最小值为，

据此可得：，

当时，，

故成立.

故选C.

【点睛】

本题主要考查等价转化的数学思想，恒成立问题的处理方法，不等式的放缩等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数是定义在上的函数，所以有，

不等式可变形为： ，

构造函数 ， ，所以在上单增，由 ，可得 ，故选A.

点睛：本题考查的是构造函数，利用条件构造，进而将不等式转化为，即，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.

二、填空题

13．已知指数函数在上为减函数；，.则使“且”为真命题的实数的取值范围为______．

【答案】

【解析】由指数函数的单调性和一元二次不等式有解得出命题和，然后取交集即可.

【详解】

解：由函数在上为减函数，故，即

所以命题

由，，得有解，故，即

所以命题

因为“且”为真命题

所以、都是真命题

所以

故答案为.

【点睛】

本题考查了指数函数的单调性，一元二次不等式能成立问题，复合命题的真假性，属于基础题.

14．已知，，若对，，，则实数的取值范围是         .

【答案】

【解析】试题分析：因为对，，，所以只需即可，因为，，所以，，由故答案为.

【考点】1、函数的最值；2、全称量词与存在量词的应用.

【方法点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）只需；（2），只需；（3），只需；（4），，.

15．数学老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在 上函数单调递减；乙：在上函数单调递增；丙：在定义域R上函数的图象关于直线对称；丁：不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为____说的是错误的．

【答案】乙

【解析】根据四位同学的回答，不妨假设其中的任何三个同学回答正确，然后推出另一位同学的回答是否正确来分析，体现了反证法的思想.

【详解】

如果甲、乙两个同学回答正确，

因为在上函数单调递增，

所以丙说：在定义域R上函数的图象关于直线对称是错误的，

此时是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，与四个同学中恰好有三个人说的正确矛盾，

所以应该是甲、乙两个同学有一个回答错误，

此时丙正确，则乙就是错误的.

故答案为：乙.

【点睛】

本题利用函数的性质考查逻辑推理能力和反证法思想，考查数形结合思想的运用.

16．已知方程恰有四个不同实数根，当函数时，实数的取值范围是_______.

【答案】

【解析】求出函数单调区间及极值，作出其大致图象，设，对t的取值分类讨论，即可确定k的取值范围.

【详解】

，令，解得或，易得在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，函数取得极大值，当时，取得极小值，

作出的大致函数图象如图所示：

令，则当或时，关于x的方程只有1解；

当时，关于x的方程有2解；

当时，关于x的方程有3解；

因为恰有四个零点，

所以关于t的方程在上有1解，

在上有1解，

显然不是方程的解，

所以关于t的方程在和上各有1解，

所以，解得，即.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查根据方程零点的个数确定参数的取值范围，数形结合与分类讨论是解决此题的关键.

三、解答题

17．已知函数，.

(1)若，求曲线在处的切线方程；

(2)若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【解析】（1）对求导得到，代入，得到切线的斜率，结合切点，得到切线方程；（2）根据题意，得到，然后利用参变分离，得到，设，利用导数得到的最小值，从而得到的范围.

【详解】

（1）因为，所以函数，

所以，即切点为

所以，

代入，得到，

故所求的切线方程为，

即.

（2）对任意的，，恒成立，

可得，对任意的，恒成立，

，令得或，

所以时，，单调递减，

时，，单调递增，

而，，所以，

所以，对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

所以，对任意的恒成立，

设，，则

，

设，

因为，所以，所以单调递增，

即单调递增，而，

所以当，，单调递减，

当，,单调递增，

所以时，取得最小值，为，

所以.

【点睛】

本题考查根据导数的几何意义求函数在一点的切线，利用导数研究函数的单调性和最值，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.

18．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于7万件时，（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.

（1）写出年利润（万年）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）

（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？

（取）.

【答案】（1）  （2）当年产量约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元

【解析】（1）根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分和两种情况，得到与x的关系式即可；（2）求出两种情况的最大值，作比较即可得到本题答案.

【详解】

（1）产品售价为元，则万件产品销售收入为万元.

依题意得，当时，，

当时，，

；

（2）当时，，

当时，的最大值为（万元），

当时，，

当时，单调递增，当单调递减，

当时，取最大值（万元），

当时，取得最大值万元，

即当年产量约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元.

【点睛】

本题主要考查利用分段函数解决实际问题，其中涉及到二次函数的值域问题以及用导数求最值问题.

19．已知函数.

（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）令，若对任意的x＞0，a＞0，恒有f（x）≥g（a）成立，求实数k的最大整数.

【答案】（1）见解析（2）7

【解析】（1）讨论和两种情况；（2）由 成立转化为，分离k,构造函数求最值即可.

【详解】

（1）此函数的定义域为，

（1）当时， 在上单调递增，

（2）当时， 单调递减， 单调增

综上所述：当时，在上单调递增

当时， 单调递减， 单调递增.

（2）由（Ⅰ）知

恒成立，则只需恒成立，

则

，

令则只需

则 单调递减，

单调递增，

即的最大整数为

【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性，求最值，考查双变元恒成立问题，综合性强,第二问转化为是关键.

20．已知函数.

（Ⅰ）若，求实数取值的集合；

（Ⅱ）证明：.

【答案】（Ⅰ）  （Ⅱ）证明见解析

【解析】（1）当时，不满足题意，当时，求的最小值，即可得到本题答案；

（2）要证，只需证当时，，

求得的最小值，即可得到本题答案.

【详解】

（Ⅰ）由已知，有

当时，，与条件矛盾,

当时，若，则，单调递减,若，则，则单调递增.

所以在上有最小值，

由题意，所以.

令，所以，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在上有最大值，所以，，，，

综上，当时，实数取值的集合为；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：时，，即在时恒成立.

要证，只需证当时，

令

，令，

则，令，解得，

所以，函数在内单调递减，在上单调递增.

即函数在内单调递减，在上单调递增.

而.

存在，使得

当时，单调递增；当时，单调递减.

当时，单调递增，

又，

对恒成立，即，

综上可得：成立.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究含参函数的最值问题以及利用导数证明不等式.

21．已知函数，.

（1）求在区间上的值域；

（2）是否存在实数，对任意给定的，在存在两个不同的使得，若存在，求出的范围，若不存在，说出理由.

【答案】（1）（2）满足条件的不存在，详见解析

【解析】（1）对函数进行求导，知在区间上单调递增，在区间上单调递减，由此能求出的值域；（2）对函数进行求导，对进行分类讨论，当和时，不合题意，求出当时，判断单调性，，由（1）知在上值域为，根据数形结合思想原题意可等价于，解不等式即可.

【详解】

（1），时，，单调递增，

时，，单调递减，

，，，

∴在上值域为.

（2）由已知得，且，

当时，，在上单调递增，不合题意．

当时，，在上单调递减，不合题意．

当时，得．

当时，单调递减，

当时，，单调递增，∴.

由（1）知在上值域为，而，

所以对任意，在区间上总有两个不同的，使得.

当且仅当，即，

由（1）得.

设，，

，

当，，单调递减，∴.

∴无解.

综上，满足条件的不存在.

【点睛】

本题考查函数的值域的求法，探索是否存在满足条件的实数，探索函数图象上满足条件的两点是否存在．综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高，有一定的探索性．

22．已知函数．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值；

（Ⅱ）若在处取得极大值，求a的取值范围；

（Ⅲ）当a=2时，若函数有3个零点，求m的取值范围．（只需写出结论）

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）对函数求导，由点处的切线与轴平行可得，即可求出实数；

（Ⅱ）对函数求导可得，令导数等于零，解得，，分类讨论与的大小，即可求出实数的范围，使得在处取得极大值；

（Ⅲ）对求导，分别讨论大于零和小于零时函数的单调性，结合单调性，讨论函数极值的正负，即可求出使函数有3个零点时，的取值范围。

【详解】

（Ⅰ）函数的定义域为．．

因为曲线在点处的切线与x轴平行，

所以，解得．此时，所以的值为．

（Ⅱ）因为，

①若，

则当时，，所以；

当时，，所以．

所以在处取得极大值．

②若，则当时，，

所以．所以不是的极大值点．

综上可知，的取值范围为．

（Ⅲ）当时，，

，

当时，函数，不可能3个零点；

①当时，令，解得：，

令，得，则在区间上单调递增；

令，解得：或，则在区间和上单调递减；

由于当时，恒成立，， ，则当时， 恒成立，所以函数最多只有两个零点，即不满足题意；

②当时，令，解得：，

令，得：或，则在区间和上单调递增；

令，解得：，则在区间上单调递减；

要使函数有3个零点，则 ，解得：

综上所述的取值范围为 ．

【点睛】

本题考查了导数几何意义，以及导数在研究函数极值与零点中的应用，有一定难度。