2020届河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（文）试题（解析版）

2020届河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，且，则实数a的值为(    )

A．1或-1 B．-1 C．1 D．2

【答案】B

【解析】由A与B的交集，得到元素3属于A，且属于B，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，经检验即可得到满足题意a值．

【详解】

∵A∩B＝{3}，

∴3∈A且3∈B，

∴a+2＝3或a2+2＝3，

解得：a＝1或a＝﹣1，

当a＝1时，a+2＝3，a2+2＝3，与集合元素互异性矛盾，舍去；

则a＝﹣1．

故选：B

【点睛】

此题考查了交集及其运算，以及集合元素的互异性，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．已知AB是抛物线的一条焦点弦，，则AB中点C的横坐标是 (　　)

A．2 B． C． D．

【答案】B

【解析】先设两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标.

【详解】

设，C的横坐标为，则，

因为是抛物线的一条焦点弦，所以，

所以，故.

故选B

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.

3．已知是等比数列，且，，那么的值等于（    ）

A．5 B．10 C．15 D．20

【答案】A

【解析】试题分析：由于是等比数列，，，

又.故选A.

【考点】等比中项.

4．与双曲线有共同的渐近线,且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 ( )

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】B

【解析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.

【详解】

设双曲线方程为，

将点代入双曲线方程，

解得.

从而所求双曲线方程的焦点坐标为,一条渐近线方程为，

即4x-3y=0，

所以焦点到一条渐近线的距离是，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查共焦点双曲线方程的求解，双曲线的焦点坐标、渐近线方程的求解，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5．是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】试题分析：,,．

由题意知．

．．故D正确．

【考点】1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．

6．存在函数满足，对任意都有（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】【详解】

A：取，可知，即，再取，可知

，即，矛盾，∴A错误；同理可知B错误，C：取，可知

，再取，可知，矛盾，∴C错误，D：令，

∴，符合题意，故选D.

【考点】函数的概念

7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，，可得，，① 

，②   由①②得，的周长为，故选C.

8．函数为上的可导函数，其导函数为，且，在中，，则的形状为 

A．等腰锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰钝角三角形

【答案】D

【解析】求函数的导数，先求出，然后利用辅助角公式进行化简，求出A，B的大小即可判断三角形的形状．

【详解】

函数的导数，

则，

则，则，

则，

，

，

，即，

则，得，

，即，

则，则，

则，

则，

即是等腰钝角三角形，

故选D．

【点睛】

本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数和的解析式是解决本题的关键．

9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该三棱锥的主视图可能是（  ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】试题分析：由已知中锥体的侧视图和俯视图，

可得该几何体是三棱锥，

由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P-ABC所示：

顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，

故该锥体的正视图是：A

【考点】三视图

10．已知的最大值为，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先化简，得，根据题意即求半个周期的A倍．

【详解】

解：依题意

,

，

，，

，

的最小值为，

故选：C．

【点睛】

本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题．

11．已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为，上顶点为．过作圆，其中圆心的坐标为．当时，椭圆离心率的取值范围为（          ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分别求出线段FA与AB的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P，利用m+n＞0，与离心率计算公式即可得出．

【详解】

如图所示，

线段的垂直平分线为：，

线段的中点．

∵，

∴线段的垂直平分线的斜率．

∴线段的垂直平分线方程为：，

把代入上述方程可得：．

∵，

∴．

化为：，又，

解得．

∴．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质、线段的垂直平分线方程、三角形外心性质，离心率，考查了推理能力与计算能力，属于中档.

12．设,其中，则的最小值为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分析：由表示两点与点的距离，而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，画出图象，当三点共线时，可求得最小值.

详解：由题意，，

由表示两点与点的距离，

而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，

则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，

由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，

由图象可知三点共线时，且为曲线的垂线，此时取得最小值，

即为切点，设，

由，可得，

设，则递增，且，可得切点，

即有，则的最小值为，故选C.

点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

二、填空题

13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得________斤金．（不作近似计算）

【答案】

【解析】根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d，根据题意和等差数列的前n项和公式列出方程组，求出公差d即可得到答案．

【详解】

设第十等人得金斤，第九等人得金斤，以此类推，第一等人得金斤，

则数列构成等差数列，设公差为，则每一等人比下一等人多得斤金，

由题意得，即，

解得，

所以每一等人比下一等人多得斤金．

【点睛】

本题主要考查了等差数列的定义、前n项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于中档题．

14．已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于、，且，点是弧（为原点）上一动点，以为圆心的圆与直线相切，当圆的面积最大时，圆的标准方程为_____．

【答案】

【解析】作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线的斜率，可得出直线的方程，再利用当点到直线的距离最大时，圆的面积最大，由此求出点的坐标，并计算出点到直线的距离，作为圆的半径，由此可得出圆的标准方程.

【详解】

抛物线的标准方程为，抛物线的焦点坐标为，

直线的斜率，

所以，直线的方程为，即.

当点到直线的距离最大时，圆的面积最大，如下图所示：

设点，点在直线的下方，则，

点到直线的距离为，当时，取最大值，

此时，点的坐标为，因此，圆的标准方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

15．如图（1），在等腰直角中，斜边，D为的中点，将沿折叠得到如图（2）所示的三棱锥，若三棱锥的外接球的半径为，则_________.

图（1）  图（2） 

【答案】

【解析】根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是，以及已有的边的长度和角度关系，分析即可解决．

【详解】

解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．

根据题意，CD⊥平面A'BD，

取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，

因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，

所以A'和B关于平面CDG对称，

在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过

O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，

则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，

因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，

即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R，

∴A'F2，

所以，BF＝2，

所以四边形A'DBF为菱形，

又知OD＝R，三角形ODE为直角三角形，

∴OE2，

∴三角形A'DF为等边三角形，

∴∠A'DF，

故∠A'DB，

故填：．

【点睛】

本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题．

16．已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．

【答案】

【解析】由的三边分别为，，可得：

，

可知：

，

，

，

可知

可知当时，

则的最大值的取值范围为

点睛：本题主要考查了三角函数与解三角形综合题目，需要学生有一定计算能力，并能熟练运用公式进行化简求值，在解答此类题目时往往将边的范围转化为求角的范围问题，利用辅助角公式进行化简，本题还是有一定难度。

三、解答题

17．已知等差数列满足：，数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式及前项和；

（2）令，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）利用等差数列的通项公式列,的方程组求解再求前n项和公式即可得出．

（2）变形，利用裂项相消求和

【详解】

（1）设等差数列的公差为d,

∵,,

∴,解得,,

∴;

.

（2）,

∴.

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，考查裂项相消求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．如图,在平面四边形ABCD中,已知AB=BC=CD=2，AD=

(1)求的值;

(2)记△ABD与△BCD的面积分别是S1与S2,求的最大值,

【答案】（1）；(2).

【解析】试题分析：(1)在∆ABD ，∆BCD中,分别用余弦定理,列出等式,得出 的值;(2)利用(1)的结果,得到是关于的二次函数,利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,求出的范围,由的范围求出的范围,再求出的最大值.

试题解析：（1）在∆ABD中：

在∆BCD中：

所以，整理得：；

由题意

所以：

，

，解之得：

所以当时，.

点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.

19．已知抛物线的方程，焦点为，已知点在上，且点到点的距离比它到轴的距离大1.

（1）试求出抛物线的方程；

（2）若抛物线上存在两动点（在对称轴两侧），满足（为坐标原点），过点作直线交于两点，若，线段上是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】(1) (2)存在，且坐标为

【解析】（1）由到点的距离比它到轴的距离大1，结合抛物线定义可得，从而可得结果；（2）设，结合，可得直线，直线，与联立，利用弦长公式求得若点存在，设点坐标为，可得，时，，从而可得结果.

【详解】

（1）因为到点的距离比它到轴的距离大1，由题意和抛物线定义，，所以抛物线的方程为，

（2）由题意，，

设由，得，直线，

整理可得，

直线①若斜率存在，设斜率为，与联立得

，

，

若点存在，设点坐标为，

，

时，，

解得或（不是定点，舍去）

则点为经检验，此点满足，所以在线段上，

②若斜率不存在，则，

此时点满足题意，

综合上述，定点为.

【点睛】

本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.

20．椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．

（1）求椭圆E的方程；

（2）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析。

【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为得到，于是椭圆方程为．有根据题意得到椭圆过点，将坐标代入方程后求得，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在点，使得是以为底的等腰三角形，则点为线段AB的垂直平分线与x轴的交点．由题意得设出直线的方程，借助二次方程的知识求得线段的中点的坐标，进而得到线段的垂直平分线的方程，在求出点的坐标后根据基本不等式可求出的取值范围．

【详解】

（Ⅰ）因为椭圆的离心率为，

所以，整理得．

故椭圆的方程为．

由已知得椭圆过点，

所以，解得，

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）由题意得直线的方程为．

由消去整理得，

其中．

设，的中点

则，

所以

∴，

∴点C的坐标为．

假设在轴存在点，使得是以为底的等腰三角形，

则点为线段的垂直平分线与x轴的交点．

①当时，则过点且与垂直的直线方程，

令，则得．

若，则，

∴．

若，则，

∴．

②当时，则有．

综上可得．

所以存在点满足条件,且m的取值范围是.

【点睛】

求圆锥曲线中的最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式的形式，然后再求出这个式子的最值或范围即可．求最值或范围时一般先考虑基本不等式，此时需要注意不等式中等号成立的条件；若无法利用基本不等式求解，则要根据函数的单调性求解．由于此类问题一般要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，合理利用变形、换元等方法进行求解．

21．设抛物线的方程为，其中常数，是抛物线的焦点.

（1）若直线被抛物线所截得的弦长为6，求的值；

（2）设是点关于顶点的对称点，是抛物线上的动点，求的最大值；

（3）设，、是两条互相垂直，且均经过点的直线，与抛物线交于点、，与抛物线交于点、，若点满足，求点的轨迹方程.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）当时，代入抛物线方程，求得，可得弦长，解方程可得；

（2）求得的坐标，设出过的直线为，，联立抛物线方程，若要使取到最大值，则直线和抛物线相切，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；

（3）求得，设，，，，，，，，，设，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直斜率之积为-1的条件，结合向量的坐标表示，和消元法，可求得轨迹方程

【详解】

（1）由可得，可得，解得；

（2）是点，关于顶点的对称点，可得，，

设过的直线为，，

联立抛物线方程可得，

由直线和抛物线相切可得△，解得，

可取，可得切线的倾斜角为，

由抛物线的定义可得，而的最小值为，

的最大值为；

（3）由，可得，设，，，，，，，，，

设，联立抛物线，可得，

即有，，

由两直线垂直的条件，可将换为，可得

，，

点满足，

可得，，，

即为①，

②，

联立①②式消元可得，

则的轨迹方程为

【点睛】

本题考查抛物线的定义、方程、性质，直线和抛物线的位置关系，判别式和韦达定理的具体运用，向量的坐标表示，运算及化简求值能力，属于中档题

22．已知函数.

（1）讨论的单调性.

（2）试问是否存在，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)见解析；(2) 存在；的取值范围为.

【解析】（1），，

所以得，所以通过对与的大小关系进行分类讨论得的单调性；

(2)假设存在满足题意的的值，由题意需，所以由(1)的单调性求即可；

又因为对恒成立，所以可以考虑从区间内任取一个值代入，解出的取值范围，从而将的范围缩小减少讨论.

【详解】

解：（1），.

当时，，在上单调递增

当时，，在上单调递减，在上单调递增

当时，在上单调递减，在，上单调递增；

当时，在上单调递减，在，上单调递增.

（2）假设存在，使得对恒成立.

则，即，

设，则存在，使得，

因为，所以在上单调递增，

因为，所以时即.

又因为对恒成立时，需，

所以由（1）得：

当时，在上单调递增，所以，

且成立，从而满足题意.

当时，在上单调递减，在，上单调递增，

所以

所以（）

设，，则在上单调递增，

因为，

所以的零点小于2，从而不等式组（）的解集为，

所以即.

综上，存在，使得对恒成立，且的取值范围为.

【点睛】

求可导函数的单调区间的一般步骤是：

（1）求定义域；

（2）求；

（3）讨论的零点是否存在；若的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；

（4）判断在每个区间内的正负号，得的单调区间.

当在区间上恒成立时，需.