2020届四川省棠湖中学高三上学期期末考试数学（理）试题

2019年秋四川省棠湖中学高三期末考试

理科数学试题

第I卷(选择题  共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）

1.已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于

A．第一象限         B．第二象限       C．第三象限       D．第四象限

2．圆的方程为，则圆心坐标为 

A． B． C． D．

3．2019年第十三届女排世界杯共12支队伍参加，中国女排不负众望荣膺十冠王.将12支队伍的积分制成茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别为

A．17.5和17 B．17.5和16

C．17和16.5 D．17.5和16.5

4．某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是

A．44号 B．294号 C．1196号 D．2984号

5．已知直线，，若，则

实数的值为

A．8          B．2     C．      D．

6．执行如图所示的程序框图，则输出的值是 [来源:Z。xx。k.Com]

A．1           B．2      C．3       D．4

7．设，，则是的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件

8.若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围 [来源:学科网ZXXK]

A．         B．       C.         D．

9．已知两点A（－2，0），B（0，2），点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是

A．3－      B．3＋     C．3－     D．

10．将－颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则关于方程组，有实数解的概率为

A． B． C． D．

11．如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两 支分别交于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为

A．4 B． C． D．

12．如图，三棱锥的四个顶点恰是长、宽、高分别是m，2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为

A．        B．     C．     D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13．已知x、y满足约束条件，则的最小值为________.

14．斜率为2的直线l经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于两点,则线段AB的长为____.

15. 若倾斜角为的直线与曲线相切于点，则的值为_____.

16．若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为    .[来源:学科网]

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）

17．（12分）某公司在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.

（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；

（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；

（III）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：

表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.；附公式：，.

18. （12分）已知函数，

（Ⅰ）当时，求函数的最小值和最大值；

（Ⅱ）设的内角的对应边分别为，且，，若向量与向量共线，求的值.

19．(12分)如图1，在等腰中，，，分别为，的中点，为的中点，在线段上，且。将沿折起，使点到的位置（如图2所示），且。

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值

20．（12分）已知动圆在圆：外部且与圆相切，同时还在圆：内部与圆相切．

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；

（Ⅱ）记（1）中求出的轨迹为，与轴的两个交点分别为、，是上异于、的动点，又直线与轴交于点，直线、分别交直线于、两点，求证：为定值．

21.（12分）已知函数在点处的切线方程为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设函数（），求在上的单调区间；

（III）证明：（）

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.  [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xoy中，直线的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为．

（Ⅰ）写出直线的普通方程和圆C的直角坐标方程．

（Ⅱ）若点P坐标为（1，1），圆C与直线交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）设为正数，求证：.

2019年秋四川省棠湖中学高三期末考试

理科数学试题参考答案

1．A 2．D 3．D 4．B 5．A 6．D 7．A 8．D 9．A 10．B 11．B 12．C

13．－3        14．10     15．      16．

17．（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，故；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是，

其中点分别为，对应的频率分别为，

故可估计平均值为；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知空白栏中填5．

由题意可知，，，

，，

根据公式，可求得，，

即回归直线的方程为．

19．（1）证明：取的中点，连接.

∵，∴为的中点.

又为的中点，∴.

依题意可知，则四边形为平行四边形，

∴，从而.

又平面，平面，

∴平面.

（2），且，

平面，平面，

，

，且，

平面，

以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，

则，，，，，

，，，.

设平面的法向量为，

则，即，

令，得.

设平面的法向量为，

则，即，

令，得.

从而，

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

20．（1）设动圆的半径为，由已知得，，，

点的轨迹是以 ，为焦点的椭圆，

设椭圆方程：（），则，，则，

方程为：；

（2）解法一：设 ，由已知得， ，则，，

直线的方程为：，

直线的方程为：，

当时，，，

，

又满足，，

为定值．

解法二：由已知得，，设直线的斜率为，直线的斜率为，由已知得，，存在且不为零，

直线的方程为：，

直线的方程为：，

当时，，，

,

联立直线和直线的方程，可得点坐标为，

将点坐标代入椭圆方程中,得，

即，

整理得 ，，，

为定值．

21.解：（1）

依题意有 

（2）由（1）知，

故函数在的单调性为

当

当

当

当

（3）由（2）知时，            

即

令，得，

即,

所以

上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得

22．解析：（1）直线l的参数方程为（t为参数）．

消去参数t可得：直线l的普通方程为：..................2分

圆C的方程为．即，

可得圆C的直角坐标方程为：．.........................4分

（2）将代入得：..........6分

得..................................................8分

则.....................10分[来源:学科网ZXXK]