2020届河北省张家口市高三12月阶段检测数学（理）试题（解析版）

2020届河北省张家口市高三12月阶段检测数学（理）试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】首先解不等式确定集合，再由交集定义求得交集．

【详解】

由题意，，∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查集合的交集运算，求解时需选确定集合中的元素，然后才可以求交集运算．

2．在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】由等差数列通项公式表示出再由等比数列性质可求得．

【详解】

由题意，，

∵，，成等比数列，

∴，即，解得．

故选：D．

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质．属于基础题．

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由（）＋（）＝，用诱导公式求解．

【详解】

．

故选：B．

【点睛】

本题考查诱导公式，解题时需分析“已知角”和“未知角”的关系，确定选用什么公式．

4．若直线（，）过点，则的最小值等于（    ）

A．9 B．8 C． D．

【答案】A

【解析】把代入直线方程得满足的等量关系，用“1”的代换把凑配出基本不等式中的定值，然后用基本不等式求最小值．

【详解】

∵直线（，）过点，∴，

∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为9．

故选：A．

【点睛】

本题考查基本不等式求最值，解题时要注意基本不等式求最值的条件：一正二定三相等，常常需要凑配出定值，“1”的代换是常用凑配方法．

5．已知，，，，则下列命题中必然成立的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【解析】由不等式的性质判断每一个命题是否正确，可举反例不等式不成立．

【详解】

若，则，A错；满足，但是，B错；若，则，∴，C正确；，，但，D错。

故选：C。

【点睛】

本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质成立的条件是解题基础．对不一定成立的不等式可通过举反例说明．

6．已知点为双曲线：上的动点，点，点.若，则（    ）

A．27 B．3 C．3或27 D．9或21

【答案】A

【解析】求出双曲线的半焦距，说明是双曲线的焦点，根据双曲线的定义计算，但要由已知条件确定点是否可能在两支上．

【详解】

由题意，则，∴是双曲线的焦点，

又，∴点在双曲线的左支上，

∴．

故选：A．

【点睛】

本题考查双曲线的定义，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离时，可用双曲线的定义求解．注意双曲线的定义是，解题时如不能确定双曲线上的点在哪支上，则两支都有可能．

7．已知菱形的边长为,,点是上靠近的四等分点,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】选取和为基底, 菱形的边长为,则,,用基底,,分别表示与即可求得.

【详解】

画出几何图像:

选取和为基底, 菱形的边长为

,点是上靠近的四等分点

由

可得:

故选:C.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理的运用,考查数形结合思想,求解过程中要注意基底选择的合理性,即一般是选择模和夹角已知的两个向量作为基底.

8．已知函数,若,则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为函数,判断的奇偶性和单调性,即可求解,进而求得实数的取值范围.

【详解】

则定义是.

又 ,可得:

是奇函数.

则

是单调增函数.

故: ,

化简可得: ,即

根据是单调减函数,

得: ,

故选:D.

【点睛】

本小题主要考查函数的单调性,考查函数的奇偶性,解题关键是掌握利用单调性和奇偶性解函数不等式,属于基础题.

9．已知三棱锥中,,,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据三棱锥中,,,,,,构建长方体,即长方体体对角线是外接球的直径,即可求得外接球的表面积.

【详解】

在中,, ,

,故是直角三角形且为直角.

中,,,

,故是直角三角形且为直角.

可得

结合已知 可得:面

可构建长方体,如图:

则三棱锥的外接球的直径是长方体体对角线,

外接球的

根据球的表面积公式:.

故选:B.

【点睛】

本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题,其中解答中根据几何体的结构特征,构建长方体,得到长方体的外接球是三棱锥的外接球是解答的关键,着重考查了数形结合思想,以及推理与运算能力.

10．已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,是直线与抛物线的一个交点,若,则（    ）

A．或 B．或 C．或 D．

【答案】D

【解析】因为抛物线的准线为,是上一点,所以设点,,利用,求得,即可求得答案.

【详解】

抛物线的准线的方程为,焦点为.

设点，，

，即

可得: ,即 ,代入

解得: 即:

由两点间距离公式可得:

故选:D.

【点睛】

本题考查抛物线定义的应用,同时也考查了共线向量的坐标运算,解题的关键就是求出点 的纵坐标,考查运算求解能力,属于中等题.

11．定义在上的运算：，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由新定义把不等式转化为，然后由不等式恒成立求得的范围．

【详解】

由题意，即对恒成立，

当时，，∴，解得或．

故选：A

【点睛】

本题考查新定义，考查不等式恒成立问题，解题关键是利用新定义把“新不等式”转化为我们熟悉的不等式，然后转化为求函数的最值并解不等式得参数范围．

12．已知函数,若存在实数,,满足,其中,则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为且,由图像可知在二次函数图像上且,数形结合求出的取值范围,即可求得的取值范围.

【详解】

画出图像,如图

且,

由图像可知在二次函数图像上且

由图可知,,即

的取值范围是:.

故选:D.

【点睛】

本题主要考查分段函数的图像与性质,考查了二次函数指数函数的性质以及数形结合思想的应用,数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,函数图像是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质.

二、填空题

13．已知的内角,,的对边分别为,,,且,,,则的面积为______.

______.

【答案】；

【解析】将化简可得: ,由余弦定理,解得,结合已知,由三角面积公式,即可求得的面积.

【详解】

可得 即

可得:

又,故

是等腰三角形,

由三角形面积公式:

故答案为:.

【点睛】

本题主要考查解三角形的问题,熟记余弦定理和三角形面积公式即可求解,属于基础题型.

14．已知圆：和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是______.

【答案】

【解析】根据双曲线的定义求轨迹方程．

【详解】

∵在的中垂线上，∴，∴，

又，∴点轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线，∴，，又关于原点对称，

∴点轨迹方程为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查用双曲线的定义求轨迹方程，属于基础题．根据双曲线定义确定动点轨迹是双曲线，然后求出得标准方程，要注意所求轨迹方程是不是圆锥曲线的标准方程．

15．已知,,,将,,按从小到大的顺序排列______.

【答案】；

【解析】根据指数函数是减函数,可得:,根据幂函数是增函数可得:,即可求得,,按从小到大关系.

【详解】

指数函数是减函数

可得:

幂函数是增函数

可得:

即:

有

综上所述,

故答案为:.

【点睛】

本题考查比较数值大小,这类大小比较一般是借助中间值,与中间值比较后可得它们的大小关系.

16．已知双曲线：（，）的右焦点为，，是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为______.

【答案】2

【解析】由得，从而有，因此可得坐标，于是有中点坐标，代入渐近线方程可得的等式，转化后可求得离心率．

【详解】

如图，设在渐近线上，∵，∴，∴，

∴，而，是中点，∴，由已知在渐近线上，

∴，，，∴．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，考查渐近线方程，考查向量的数量积与垂直的关系．解题关键是寻找关于的等式，然后转化后可求得．题中用到一个结论：在渐近线上在第一象限内的点，且．则有．

三、解答题

17．若数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）； （2）.

【解析】（1），时，由可得数列的递推关系，从而确定数列是等比数列，易得其通项公式；

（2）数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得，因此用错位相减法求和．

【详解】

（1）数列的前项和为，且①，

当时，，，

当时，②，

①－②得，即（常数），

故数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以.

（2）由于，所以，

所以③，④，

③－④得，整理得.

【点睛】

本题考查由与的关系求通项公式，考查错位相减法求数列的和．在由时，要注意，与它们的求法不同，要分类求解．数列求和问题中有两类数列的求和法一定要掌握：数列是等差数列，数列是等比数列，则数列的和的求法是裂项相消法，数列的和的求法是错位相减法．

18．在中,内角,,所对的边分别为,,,已知.

（1）求角的大小;

（2）若,求的周长的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）逆用二倍角公式将原式降幂,将化简为:, 根据辅助角公式: ,(),即可求得角的大小;

（2）由余弦定理,得,故,可得,即可求得的周长的取值范围.

【详解】

（1）

可得

即

根据辅助角公式: ,()

，

，由于.

解得.

（2）由余弦定理

得

即

由得

解得:.当且仅当时取等号;

又得;

所以

周长的取值范围为

【点睛】

本题主要考查由辅助角公式和余弦定理解三角形,解题关键是掌握辅助角公式: ,(),考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

19．如图（1）,在直角梯形中,,,,过点作,垂足为,现将沿折叠,使得,如图（2）.

（1）求证:平面平面;

（2）求二面角的大小.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）根据已知求证平面,即可求证:平面平面;

（2）设平面的法向量和平面的法向量,求出和,根据,即可求得二面角的大小.

【详解】

证明：（1） ,,

,,

又,故:平面,

平面,故:平面平面.

（2）以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,如图:

设,

,,,,

可得:,,

设平面的法向量,

则,取,得,

平面的法向量,

设二面角的大小为,

则,

,

二面角的大小为.

【点睛】

本题考查立体几何的翻折问题和求二面角的计算,在处理翻折问题时,要注意翻折前后相关直线的位置关系以及长度的变化,对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解.

20．已知抛物线：上一点到其焦点的距离为5.

（1）求与的值；

（2）设动直线与抛物线相交于，两点，问：在轴上是否存在与的取值无关的定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）,； （2）存在点.

【解析】（1）由抛物线上点的焦半径为可求得，从而再求得；

（2）假设设存在点满足条件，令，，条件转化为，即，整理得：，由直线方程与抛物线方程联立后消去（注意讨论的情形），得的方程，由韦达定理得，代入它是与无关的等式，从而可得．

【详解】

（1）根据抛物线定义，点到焦点的距离等于它到准线的距离，即

，解得，∴抛物线方程为，

点在抛物线上，得，∴.

（2）抛物线方程为：，

当，直线只与抛物线有一个交点，显然不成立，

当时，令，，设存在点满足条件，

即：，

即，

整理得：，

，整理得，

∴，，

∴，

∴，解的，

因此存在点满足题意.

【点睛】

本题考查抛物线的焦半径公式，考查直线与抛物线相交问题．对存在性命题，一般是假设存在，然后根据这个存在性去推导计算，方法是设而不求思想方法．如果能求出定点，说明真正存在，如果求不出说明假设错误，不存在定点满足题意．

21．已知椭圆:（）的左,右焦点分别为，,且经过点.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）若斜率为的直线与椭圆交于,两点,求面积的最大值（为坐标原点）.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由椭圆的定义,可知,解得,由,即可求得椭圆的标准方程;

（2）设直线的方程为,联立,消掉得得:, 根据韦达定理可得:,.根据弦长公式求,由点到直线:的距离,求得的边上的高,即可求得面积的最大值.

【详解】

（1）由椭圆的定义,可知.

解得.

又 .

椭圆的标准方程为.

（2）设直线的方程为,

联立,消掉得得:.

,得.

设,,

根据韦达定理可得:,.

根据弦长公式得:

点到直线:的距离:

当即,时取等号;

面积的最大值为.

【点睛】

本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决.

22．已知函数,.

（1）若,函数在点处切线方程为,求实数的值;

（2）证明时,.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）因为,,则,可得,故,即可求得实数的值;

（2）时,, 故求证,即可求证.

【详解】

,

（1） ,,

,

,可得:,

又 函数在点处切线方程为,故

,解得;

（2）时,,

下面求证:

令,则

可得:当时,,单调递增;

当时,,单调递减;

,

;即

而,

所以,得证.

时,

【点睛】

本题主要考查了导数的应用,利用导数处理切线及利用导数求最值证明不等式,掌握导数的相关知识是解本题的关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.