2019届山西省高三一轮复习阶段性测评（三）数学（理）试题（解析版）

2019届山西省高三一轮复习阶段性测评（三）数学（理）试题

一、单选题

1．设集合,,,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先化简集合,根据交集和补集定义,即可求得.

【详解】

∵,化简可得

∴，

∴，

故选:C.

【点睛】

本题考查了集合的交集和补集运算,在集合运算比较复杂时,可以使用韦恩图辅助分析问题.

2．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据二次根式下表达式非负和分数分母不为零,即可求得的定义域.

【详解】

因为

根据二次根式下表达式非负和分数分母不为零

故选:B.

【点睛】

本题主要考查了函数的定义域的求解,其中解答中熟记函数的定义域的概念,以及根据函数的解析式有意义进行求解,属于基础题.

3．命题“,”的否命题是（    ）

A．, B．,

C．, D．,

【答案】B

【解析】根据为原命题条件,为原命题结论,则否命题:若非则非,即可求得答案.

【详解】

根据为原命题条件,为原命题结论,则否命题:若非则非

结合,存在性命题的否定是全称命题

命题“,”的否命题是:,

故选:B.

【点睛】

本题考查了否命题,解题关键是理解否命题的定义,属于基础题.

4．下列函数中,既是奇函数又在上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据奇函数满足,且定义域关于原点对称.逐个选项判断其奇偶性和单调性即可得出答案.

【详解】

对于A, ,故,

,可得不是奇函数,故A不符合题意;

对于B, ,故

,可得是奇函数,

又 ,在是减函数,故B不符合题意;

对于C, ,故

,可得不是奇函数,故C不符合题意;

对于D, ,故

,可得是奇函数,

又在是增函数,故D符合题意

故选:D.

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性与单调性,熟练掌握函数单调性,奇偶性的定义是解题的关键,属于基础题.

5．已知向量,则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据平面向量共线和平面向量数量积的坐标表示,逐一判断即可得到答案.

【详解】

对于A,故,故A错误;

对于B,,故B错误;

对于C,,,不存在实数使:,所以不平行于,故C错误;

对于D,,故D正确.

故选:D.

【点睛】

本题考查了平面向量的坐标运算.考查了平面向量共线的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示,熟练掌握向量的基本知识是解本题关键,属于基础题.

6．在各项均为正数的数列中,,,为的前项和,若,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由,化简可得,得或,因为各项均为正数,故符合题意,不符题意舍去,所以数列为首项为,公比为的等比数列,根据等比数列前项和公式即可求得答案.

【详解】

,得，

或，

又各项均为正数,故符合题意,不符题意舍去.

,,所以数列为首项为,公比为的等比数列

则，解得，

故选:A.

【点睛】

本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的前项和公式的应用.解题关键是掌握等比数列前项和公式,考查了计算能力,属于中档题

7．“,”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案.

【详解】

当,时,能推出.

故“,”是“”充分条件

而时,可得或

,不能推出,

故“,”不是“”必要条件

综上所述, “,”是“”的充分不必要条件

故选:A.

【点睛】

本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题.

8．已知实数,满足,则下列结论一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据指数函数单调可知,是减函数,根据,可得,逐项判断即可求得答案.

【详解】

根据指数函数单调可知是减函数

由,可得

对于A,令,根据余弦函数图像可知,当时,不一定成立,故A错误.

对于B,因为,可取,,此时,,得,故B错误.

对于C,因为,可取,,此时,,得,故C错误.

对于D,因为是增函数,当,可得,故D正确.

故选:D.

【点睛】

本小题主要考查了不等式的性质和指数函数的单调性,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

9．已知函数，则函数的一个单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为,化简可得:,根据正弦函数的单调性,即可求得单调递减区间.

【详解】

，

根据正弦函数的单调性可知,其减区间为:，

∴

当时,

函数的一个单调递减区间为.

故选:A.

【点睛】

本题主要考查三角函数的单调区间的求法,利用正弦函数的图像和性质是解决本题的关键,考查了计算能力,属于基础题.

10．已知函数的图像如图所示,则函数的图像可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据函数图像,判断出正负号,结合二次函数图像性质,即可求得答案.

【详解】

由函数图像可知,当时,，

，即

又 渐近线方程为,,即

当时,，所以,.

是二次函数

对称轴:,

,图像开口向下.

,与轴正半轴相交

综上所述,只有B符合题意.

故选:B.

【点睛】

本题考查了根据函数图像判断参数的正负问题.解题关键是根据所给函数图像的特征,结合特殊点,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

11．设函数,在上可导,且,则当时,有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设,因为,可得,在给定的区间上是增函数,即可求得答案.

【详解】

设,当时,

∴

∴在给定的区间上是增函数,

当时,

解得:

故选:B.

【点睛】

本题主要考查函数的单调性,考查利用导数判断函数的单调性,并根据函数的单调性比较函数值的大小,属于中档题.

12．已知,当时,不等式（是整数）恒成立,则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为,代入,得.当时,得,得整数;当时,设可得,所以,即可得到结果.

【详解】

,代入

得

当时成立,得,所以整数.

又 可证时成立,设，

得,

，

所求的最大值是.

故选:B.

【点睛】

本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解,其中根据题意构造新函数,利用导数得到函数的单调性,求得函数的最小值是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力．

二、填空题

13．已知数列的前项和,,则________.

【答案】

【解析】因为,,即可求得答案.

【详解】

，

,

根据.

故答案为:.

【点睛】

本题的解题关键是掌握 ,考查了计算能力,属于基础题.

14．如图,在菱形中,,为的中点,则的值是________.

【答案】

【解析】因为,即可得出答案.

【详解】

在菱形中,

.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算.解题关键是掌握向量的平方等于向量模的平方,

属于基础题.

15．设,满足约束条件,则的最大值是________.

【答案】

【解析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合即可求得的最大值.

【详解】

不等式组表示的平面区域如下图所示.

由目标函数,可化为:

由图像可知当目标函数过点,在截距最小,此时取得最大值.

由解得:

目标函数在点处取得最大值,代入.故最大值为.

故答案为:.

【点睛】

本题考查线性规划的相关内容,解题关键是根据约束条件画出不等式组表示的平面区域,数形结合解决问题,属于中档题.

16．对于函数,若存在区间,使得,则称函数为“可等域函数”,区间为函数的一个“可等域区间”.给出下列四个函数:

①;

②;

③;

④.

其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的序号是________.

【答案】②③

【解析】根据存在区间,使得,则称函数为“可等域函数”,区间为函数的一个“可等域区间”,对四个函数逐一判断,即可得到答案.

【详解】

对于①,是的可等域区间,但不唯一,故①不成立;

对于②,,且在时递减,在时递增,

若,则,故

又,,而,故,故是一个可等域区间;

若,则,解得,,不合题意,

若,则有两个非负解,但此方程的两解为和,也不合题意,

函数只有一个等可域区间,故②成立;

对于③,函数的值域是,

,函数在上是增函数,

考察方程,由于函数与只有两个交点,,

即方程只有两个解和,

此函数只有一个等可域区间,故③成立;

对于④,函数在定义域上是增函数,

若函数有等可域区间,则,,

但方程无解,故此函数无可等域区间,故④不成立.

综上所述,只有②③正确.

故答案为:②③.

【点睛】

本题考查了函数的新定义.解题关键是理解所给的函数新定义:“可等域区间”的“可等域函数”,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.

三、解答题

17．记函数的定义域为集合,函数的定义域为集合.求:

（1）集合,;

（2）集合,.

【答案】（1）， （2），

【解析】（1）由,可得,即可求得.由

即可得到,即可求得.

（2）根据集合的交集,并集和补集定义,即可求得答案.

【详解】

解：（1）∵，∴

∵，∴.

（2），

,故

【点睛】

本题考查了集合的交集,并集和补集运算,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,考查了计算能力,属于基础题.

18．已知等差数列中,,,数列满足,.

（1）求数列的通项公式;

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）  （2），

【解析】（1）由,,可得: ,解得,故,即可求得.

（2）因为,,故,根据数列求和错位相减法,即可求得.

【详解】

（1）由已知得，

解得， 故，

代入

,即

∴.

（2）由（1）知,.

,

,

.

故,

【点睛】

本题考查求等差数列通项公式和数列求和.错位相减法求数列和,适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,考查了学生的计算能力,属于基础题型.

19．已知的内角,,的对边分别为,,且.

（1）求角;

（2）若点满足,且,,求的面积.

【答案】（1）  （2）

【解析】（1）因为,根据正弦定理:,可得,化简可得,即可求得,进而求得角.

（2）在中,根据余弦定理得,可得,结合已知,即可得到,由三角形面积公式,即可求得答案.

【详解】

（1）∵，

∴，

∴，

即

∵，∴，

∴，可得:.

（2）在中,根据余弦定理得，

即，

∴，

∵，

∴，

∴.

【点睛】

本题主要考查正弦定理,余弦定理解三角形和三角形面积公式,解题关键是利用正弦定理边化角,再利用和角的正弦公式化简所给式子,属于基础题.

20．（B）已知函数，的图象如图所示点，在函数的图象上，点在函数图象上，且线段平行于轴．

（1）证明：；

（2）若为以角为直角的等腰直角三角形，求点的坐标．　

说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】（1）由AC∥y轴，可得x1=x3．代入函数关系进而证明结论．（2）由△ABC为以角C为直角的等腰直角三角形，可得|AC|=|BC|，y2=y3．可得x3-x2=，．化简即可得出．

【详解】

（B）证明（1）因为线段平行于轴，所以，

又，，

则.

（2）由等腰直角三角形，和，且平行于轴，

所以，且，

又，，

则，解得，

所以，

所以点的坐标为.

【点睛】

本题考查了对数运算性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质.

21．设，函数

（Ⅰ）当时，求函数的最小值；

（Ⅱ）若，解关于的不等式.

【答案】(1) ;(2) 的解集为.

【解析】（Ⅰ）代入的值，讨论x的取值范围，根据x的范围判断函数的单调性。

（Ⅱ）讨论x的取值范围，去掉中绝对值，并根据不同范围内解析式解不等式即可。

【详解】

（Ⅰ）当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以.

（Ⅱ）①当时，， 解得，

因为，，所以此时.

②当时，， 解得，

因为，，所以此时.

③当时，， 解得，

因为，，所以此时.

综上可知，的解集为.

【点睛】

本题考查了绝对值不等式解法的综合应用，关键是分类时掌握好边界的选取，属于中档题。

22．已知函数.

（1）求函数的极值;

（2）当时,若恒成立,求实数的取值范围.

【答案】（1）极小值为，无极大值.   （2）

【解析】（1）由得,当,得,即可求得函数的极值.

（2）由题意有恒成立,即恒成立, 设,则, 求得的最小值,即可求得实数的取值范围.

【详解】

（1）由得,

令,得,

当时,当时,

函数在上单调递减;函数在单调递增.

函数存在极小值.其极小值为,无极大值.

（2）由题意有恒成立,即恒成立,

设,

则,

设,下面证明有唯一解.

易知单调递增,且,所以若有零点x,则,

令,可得,（※）

注意到,

所以方程（※）等价于,

又由（1）可知,当时,在上单调递增,

又当时,,

所以方程等价于方程,

设函数,则单调递增,

又,,所以存在,使得

,即方程有唯一解,即,

因此方程有唯一解,

所以有唯一解.

且当时,,单调递减;

当时,,单调递增;

所以的最小值为,

所以.

【点睛】

利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.