2020届宁夏银川一中高三第五次月考数学（理）试题

银川一中2020届高三年级第五次月考

理 科 数 学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，集合，，

则图中阴影部分所表示的集合

A．   B． 

C．   D．

2．在复平面内与复数所对应的点关于

实轴对称的点为，则对应的复数为

A． B． 

C． D．

3．执行如图所示的程序框图，输出的值为

A． B． 

C．4 D．2

4．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12，则椭圆C的方程为

A． B． C． D．

5．已知（），则

A． B．

C． D．

6．已知数列为等比数列，且，则

A． B． C． D．

7．设抛物线的焦点为F，准线为，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么

A． B． C． D．4

8．若，且，则

A． B． C． D．

9．已知三棱锥中，，，，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为

A． B． C． D．

10．在中，已知为线段AB上的一点，且，则的最小值为

A． B． C． D．

11．已知函数是上的偶函数，且在区间上是单调递增的，、、是锐角三角形的三个内角，则下列不等式中一定成立的是

A． B．

C． D．

12．已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为______.

14．已知实数x，y满足不等式组，且z=2x-y的最大值为a，

则=______．

15．已知点，，点在圆上，则使 的点的个数为__________.

16．已知函数，若方程有4个不同的实数根，则的取值范围是____．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：(共60分)

17．(12分)

已知等差数列满足：，其前项和为．

（1）求数列的通项公式及；

（2）若，求数列的前项和．

18．(12分)

已知函数.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，求的面积.

19．(12分)

如图，在四边形中，，，四边形

为矩形，且平面，.

（1）求证：平面；

（2）点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.

20．(12分)

已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，轴，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值.

21．(12分)

已知函数有两个极值点，且.

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)记，求的取值范围，使得.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，曲线的参数方程为为参数．

(1)求曲线，的普通方程；

(2)求曲线上一点P到曲线距离的取值范围．

23．[选修4－5：不等式选讲]

已知

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，，求的取值范围.

银川一中2020届高三年级第五次月考（理科）参考答案

一、选择题：

二、填空题

13. 4   14. 6  15.  1  16. (7,8)

三、解答题

17. 解：（1）设等差数列的公差为，则，…………2分

解得：，                                   …………4分      

∴，．           …………6分

（2），     …………8分

∴数列的前项和为

            …………10分     

                                  …………12分

18. 解（1）∵sin2x﹣cos2x＝2sin（2x），…2分

令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z，         …4分

∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z．                  …6分

（2）∵f（A）＝2sin（2A）＝2，∴sin（2A）＝1，

∵A∈（0，π），2A∈（，），∴2A，解得A，      …8分

∵C，c＝2，

∴由正弦定理，可得a，         …10分

∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得6＝b2+4﹣2，解得b＝1，（负值舍去），                                                           …11分

∴S△ABCabsinC（1）．             …12分

19.

（Ⅰ）证明：在梯形中，∵,设，

又∵,∴,∴    

∴.则.                                   ……2分

∵平面,平面，∴,                 ……4分

而,∴平面.∵,∴平面.     ……6分

（Ⅱ）解：分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，令，

则，    ……8分

∴

设为平面的一个法向量，

由得，取，则，∵是平面的一个法向量，                                          ……10分

∴

∵，∴当时，有最小值为，

∴点与点重合时，平面与平面所成二面角最大，此时二面角的余弦值为.                                                         ……12分

20.解：（1）设椭圆的焦距为，由题知，点，， ……2分

则有，，又，，，

因此，椭圆的标准方程为；                            ……4分

（2）当轴时，位于轴上，且，

由可得，此时；      ……5分

当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，，

由，得.

，，从而   ……7分

已知，可得.                        ……8分

.

设到直线的距离为，则，

.                     …10分

将代入化简得.

令，

则.

当且仅当时取等号，此时的面积最大，最大值为.

综上：的面积最大，最大值为.                             ……12分

21。解：(1)时，           ……2分

所以，点处的切线方程是；                  ……4分

(2)

由己知得，，，且，，  ……6分

因为，     ……8分

令，得，且.

所以，                  ……10分

令

则

所以在上单调递增，

因为，所以，

又因为在上单调递增，所以. ……12分

22.解：由题意，为参数），则，平方相加，

即可得：，                                     ……2分

由为参数），消去参数，得：，

即.                                        ……4分

（2）设，

到的距离 ，  ……6分

∵，当时，即，，

当时，即，.                        ……8分

∴取值范围为.                                       ……10分

23.解：（1）当时，原不等式可化为；       ……2分

当时，原不等式可化为，即，显然成立，

此时解集为；

当时，原不等式可化为，解得，此时解集为空集；

当时，原不等式可化为，即，显然不成立；此时解集为空集；

综上，原不等式的解集为；                               ……5分

（2）当时，因为，所以由可得，

即，显然恒成立；所以满足题意；          ……7分

当时，，因为时， 显然不能成立，所以不满足题意；                                       ……9分

综上，的取值范围是.                                ……10分