2020届湖南省湘潭市第一中学高三上学期10月月考数学（理）试题（解析版）

这是一份2020届湖南省湘潭市第一中学高三上学期10月月考数学（理）试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020届湖南省湘潭市第一中学高三上学期10月月考数学（理）试题


一、单选题
1．已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由得到集合N为集合M的子集，根据子集的定义写出其子集，即可得到集合的个数.
【详解】

，即集合N为集合M的子集
则集合N可以为： ，共四个
故选：D
【点睛】
本题主要考查了集合间的基本关系，属于基础题.
2．复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：因为,所以共轭复数是,故选C.
【考点】1.复数的运算；2.共轭复数.
3．已知等差数列中，为其前项的和，，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据等差数列前n项和的性质得到=，=，，联立两式可得到公差，进而得到结果.
【详解】
等差数列中，为其前项的和，=，=,,联立两式得到
故答案为：C.
【点睛】
本题考查了等差数列前n项和的性质的应用，和基本量的计算，数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。
4．下列函数中是偶函数，且在区间(0，+)上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据函数表达式，判断f(x)和f(-x)的关系，得到奇偶性，再依次判断单调性即可得到结果.
【详解】
A.,,函数是偶函数，在上是增函数，故不正确；
B. ,是偶函数，，在区间上是减函数，故正确；
C. ，，是奇函数，故不正确；
D. ，，是偶函数，但是在上是增函数，故不正确；
故答案为B.
【点睛】
这个题目考查了函数的奇偶性和单调性，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和 的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性.
5．函数的零点是和，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用韦达定理求得和的值，再利用两角和的正切公式求得的值.
【详解】
因为函数的零点是和，
所以和是的两个实数根，
所以，，则，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系及两角和的正切展开，着重考查了学生公式的应用，属于基础题.
6．若中心在原点，焦点坐标为（0，±5）的椭圆被直线3x﹣y﹣2＝0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为（　　）
A．1 B．1
C． D．
【答案】C
【解析】先根据焦点坐标得出a2﹣b2＝50，根据直线方程求出AB中点为（，）．再设而不求的方法求得AB的斜率与中点坐标之间的关系式，求出a2＝3b2，联解两式即可得到该椭圆的标准方程．
【详解】
解：设椭圆：1（a＞b＞0），则a2﹣b2＝50①
又设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0）
∵x0，∴代入直线方程得y02
由，可得
∴AB的斜率k••3
∵1，∴a2＝3b2②
联解①②，可得a2＝75，b2＝25，得椭圆的方程为：1
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．
7．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为，以下结论中不正确的为（ ）

A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系，
C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米
D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，
【答案】D
【解析】根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B，根据回归方程可判断正相关；C将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D，根据回归方程x的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确.
【详解】
A，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；
B，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；
C，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；
D，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确.
故答案为D.
【点睛】
本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.
8．在的展开式中，含x5项的系数为（　　）
A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12
【答案】D
【解析】直接利用二项式的展开式的应用求出结果．
【详解】
解：的展开式中，
当r＝0时，，
所以的展开式为，
当s＝1时，系数为．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识要点：二项式展开式的应用，主要考查配对问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
9．已知角ø是曲线f（x）＝ln（ex+1）的切线的倾斜角，则ø的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】求出原函数的导函数，得到曲线f（x）的切线的斜率的范围，进一步求得ø的取值范围．
【详解】
解：由f（x）＝ln（ex+1），得f′（x），
∵ex＞0，∴1，则f′（x）∈（0，1），
即tanø∈（0，1），又直线倾斜角的范围为[0，π），
∴ø的取值范围为（0，）．
故选：C．
【点睛】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了由直线的斜率求倾斜角，是中档题．
10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的(单位:升)，则输入的值为，

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分析：模拟程序运行，依次写出每次循环得到的的值，当时，不满足条件，推出循环，输出的值为，即可求解.
详解：模拟程序的运行，可得，
满足条件，执行循环体，；
满足条件，执行循环体，；
满足条件，执行循环体，；
此时，不满足条件，推出循环，输出的值为，
根据题意可得，解得，故选D.
点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．
11．函数的图象在上恰有两个最大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三角函数图象确定满足条件，解得结果.
【详解】
由题意得，选C.
【点睛】
本题考查三角函数图象与性质，考查基本求解能力.
12．设函数f（x），若对任意x1∈[1，2]，总存在x0∈[0，a]，使得g（x0）＝f（x1）成立，则a的取值范围为（　　）
A．a≥4 B．0≤a≤4 C．a≥1 D．0＜a≤1
【答案】A
【解析】求出f（x），g（x）的值域，根据题意，[3，5]⊆[1﹣3a，a2﹣3a+1]，a＞0，求出a即可．
【详解】
解：若对任意x∈[1，2]，f（x），f'（x）＝2x0，f（x）递增，
故f（x）∈[3，5]，
在x∈[0，a]，a>0，
则g（x）＝ax+1﹣3a，在[0，a]单调递增，g（x）∈[1﹣3a，a2﹣3a+1]，
根据题意，[3，5]⊆[1﹣3a，a2﹣3a+1]，a＞0，
，解得a≥4，
综上，a≥4，
故选：A．
【点睛】
本题考查函数的存在性问题和恒成立问题，考查利用导数处理函数的最值问题，考查分类讨论思想与转化思想，中档题．


二、填空题
13．有一个几何体的三视图及其尺寸（单位cm），则该几何体的表面积为：_____.

【答案】24πcm2
【解析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm，底面直径是6cm．据此即可计算出答案．
【详解】
解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm，底面直径是6cm．
∴该三棱锥的表面积S＝π×3224πcm2．
故答案为：24πcm2．
【点睛】
本题考查由三视图还原几何体，考查锥体的表面积的计算，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
14．若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．
【答案】
【解析】先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.
【详解】
作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点时取最大值，过点时取最小值.

【点睛】
线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.
15．双曲线=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_________.
【答案】1
【解析】解：设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y), 则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2),
即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2, 又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|,
依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2
∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜, 又∵c2=4+b2＜,∴b2＜,∴b2=1. 答案：1

16．设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是__________．
【答案】
【解析】由为偶函数， 在上连续，且为减函数，可得，等价于，即有，由一次函数的单调性，解不等式即可得结果.
【详解】
因为当时，，
所以可得时，递减，；
当时，递减，且，
在上连续，且为减函数，
对任意的，不等式恒成立，
等价于，可得，
两边平方、移项分解因式可得，
由一次函数的单调性，
可得，且，
即为且，即有，
则的最大值为，故答案为.
【点睛】
化简函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.

三、解答题
17．在中，内角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求角；
(2)若,求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）先由正弦定理得到，再由三角形内角和的关系得到角A的正弦值，进而得到角A的大小；（2）由向量点积运算得到，再由余弦定理得到，再由重要不等式得到结果.
【详解】
（1）∵△ABC中，b﹣acosC=，
∴由正弦定理知，sinB﹣sinAcosC=sinC，∵A+B+C=π，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC﹣sinAcosC=sinC，
∴cosAsinC=sinC，∴cosA=，∴A=．
（2）由（1）及得，所以
，当且仅当时取等号，所以的最小值为.
【点睛】
解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题;注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等;正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.
18．某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中，随机抽取100名，按年龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图如图：

（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位）；
（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，现从这20人中，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2名市民年龄都在内的人数为，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）39，39（2）见解析
【解析】分析：(1)根据组中值与对应区间概率的乘积得平均数，根据中位数对应概率为0.5，列式可得结果，（2）先根据分层抽样得区间人数，再确定随机变量取法，利用组合数求对应区间概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.
详解：
解：(Ⅰ)平均值的估计值

中位数的估计值：
因为，

所以中位数位于区间年龄段中，设中位数为，所以，.
(Ⅱ)用分层抽样的方法，抽取的20人，应有6人位于年龄段内，14人位于年龄段外。
依题意，的可能值为0,1,2
,,

分布列为

0
1
2





.
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.
19．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
(2)求证：无论点E在BC边的何处，都有；
(3)当为何值时,与平面所成角的大小为45°.
【答案】(1)EF//面PAC (2) 因PA⊥底面ABCD，所以DA⊥PA，又DA⊥AB，所以DA⊥面PAB，又DA//CB，所以CB⊥面PAB所以，因为AF⊥PB所以AF⊥面PBC有 (3)
【解析】试题分析：⑴当E是BC中点时，因F是PB的中点，所以EF为的中位线，
故EF//PC，又因面PAC，面PAC，所以EF//面PAC 4分
⑵证明：因PA⊥底面ABCD，所以DA⊥PA，又DA⊥AB，所以DA⊥面PAB，
又DA//CB，所以CB⊥面PAB，而面PAB，所以，
又在等腰三角形PAB中，中线AF⊥PB，PBCB=B，所以AF⊥面PBC.
而PE面PBC，所以无论点E在BC上何处，都有 8分
⑶以A为原点，分别以AD、AB、AP为x\y\z轴建立坐标系，设，
则，，，设面PDE的法向量为，
由，得，取，又，
则由，得，解得.
故当时，PA与面PDE成角 12分
【考点】线面平行垂直的判定及线面角的求解
点评：证明线面平行时常借助于已知的中点转化为线线平行，第三问求线面角采用空间向量的方法思路较简单，只需求出直线的方向向量与平面的法向量，代入公式即可
20．已知平面上两定点M（0，﹣2）、N（0，2），P为一动点，满足•||•||
（I）求动点P的轨迹C的方程；
（II）若A、B是轨迹C上的两不同动点，且λ.分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设其交点Q，证明为定值.
【答案】（I）x2＝8y
（II）见解析
【解析】（I）先设P（x，y），求动点P的轨迹C的方程，即寻找x，y之间的关系，结合向量的坐标运算即可得到．
（II）先设出A，B两点的坐标，利用向量关系及向量运算法则，用A，B的坐标表示出，最后看其是不是定值即可．
【详解】
（I）设P（x，y）.
由已知 （x，y+2），（0，4），（﹣x，2﹣y），
•4y+8.
||•||＝4
∵•||•||
∴4y+8＝4整理，得x2＝8y
即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为x2＝8y.
（II）由已知N（0，2）.
即得（﹣x1，2﹣y1）＝λ（x2，y2﹣2）

设A（x1，y1），B（x2，y2）.由λ
即得（﹣x1，2﹣y1）＝λ（x2，y2﹣2），
∴﹣x1＝λx2…（1），
2﹣y1＝λ（y2﹣2）…（2）
将（1）式两边平方并把x12＝8y1，x22＝8y2代入得y1＝y2
解得 y1＝2λ，y2，
且有x1x2＝﹣λx22＝﹣8λy2＝﹣16.
抛物线方程为 y＝，求导得y′x.
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 yx1（x﹣x1）+y1，yx2（x﹣x2）+y2，
即yx1xx12，yx2xx22
解出两条切线的交点Q的坐标为 （，）＝（，﹣2）
所以 •（，﹣4）•（x2﹣x1，y1﹣y2）
（x22﹣x12）﹣4（x22x12）＝0
所以 为定值，其值为0.
【点睛】
求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．
21．已知函数f（x）＝[x2﹣（a+4）x+3a+4]ex，
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）求证不等式（x3﹣6x2+10x）ex＞10（lnx+1）成立.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）求导，讨论a与2的大小关系，解导不等式，得出结论；
（2）根据题意，当a＝2时，f（x）＝（x2﹣6x+10）ex，故原不等式可化为f（x）＞g（x），其中g（x）＝10（），求出f（x）和g（x）的值域，比较即可．
【详解】
（1）f'（x）＝ex（x﹣a）（x﹣2），x∈R，
当a＜2时，当x∈（﹣∞，a]，（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增；当x∈（a，2）时，f'（x）＜0，f（x）递减；
当a＞2时，当x∈（﹣∞，2]，（a，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增；当x∈（2，a）时，f'（x）＜0，f（x）递减；
当a＝2时，f'（x）≥0，f（x）在R上递增；
（2）当a＝2时，f（x）＝（x2﹣6x+10）ex，
故原不等式可化为f（x）＞g（x），其中g（x）＝10（），
由（1）知，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，故当x＞0时，f（x）＞f（0）＝10，
对于g（x）＝10（），g'（x），
当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）递增；当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）递减；
故g（x）的最大值为g（1）＝10，
故f（x）＞g（x）成立，
原命题得证.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性及证明不等式，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题.
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为
．
（1）若，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．
【答案】（1），；（2）或．
【解析】试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点，由点到直线距离公式求参数．
试题解析：（1）曲线的普通方程为.
当时，直线的普通方程为.
由解得或.
从而与的交点坐标为，.
（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为
.
当时，的最大值为.由题设得，所以；
当时，的最大值为.由题设得，所以.
综上，或.
点睛:本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数的值．
23．已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】【详解】试题分析：（1）分，，三种情况解不等式；（2）的解集包含，等价于当时，所以且，从而可得．
试题解析：（1）当时，不等式等价于.①
当时，①式化为，无解；
当时，①式化为，从而；
当时，①式化为，从而.
所以的解集为.
（2）当时，.
所以的解集包含，等价于当时.
又在的最小值必为与之一，所以且，得.
所以的取值范围为.
点睛:形如(或)型的不等式主要有两种解法：
(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，， (此处设)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．
(2)图像法：作出函数和的图像，结合图像求解．