2020届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第6次月考试题 数学理

衡阳市八中2020届高三第六次月考试题

理科数学

考试时量：120分钟       试卷满分：150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合，则

A．    B．         C．     D．

2. 设为虚数单位，若是纯虚数，则 

A．          B．           C．1         D．

3. 已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：

根据该折线图可知，下列说法错误的是

A．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高

B．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低

C．该超市2019年1~6月份的总收益低于2019年7~12月份的总收益

D．该超市2019年7~12月份的总收益比2019年1~6月份的总收益增长了90万元

4．已知，则

A．           B．             C．            D．

5. 已知，满足，则

A． B． C． D．

6. 函数图象的大致形状是

A                 B                  C                   D

7.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米，……所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为

 A．米 B．米 C．米 D．米

8.已知函数，且在上单调.则下列说法正确的是

A．                               B．        

C．函数在上单调递增       D．函数的图象关于点对称

9.在中，，满足，则的面积的最大值为

A.          B. 2           C.           D.

10．已知双曲线C：，分别为其左、右焦点，为坐标原点，

若点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则C的离心率是

A．  B．          C．2             D．

11. 在正方体中，，分别为，上的动点，且满足，则下列4个命题中：

①存在，某一位置，使；   ②的面积为定值；

③当时，直线与直线一定异面；       

④无论，运动到何位置，均有.    其中所有正确命题的序号是 

A. ①②④         B. ①③④ C. ①③            D. ②④

12．若函数在区间内有两个不同的零点，则实数

的取值范围是

A.       B.        C.        D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中的横线上）

13．若的展开式中的系数为，则实数__     __．

14．在菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平

面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为         ．

15.已知数列满足，，，则(1)        ，

(2)             .

16．如图，衡阳市有相交于点的一条东西走向的公路与一条南北走向的公路，有一商城的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位:千米). 根据市民建议，欲新建一条公路，点分别在公路上，且要求与椭圆形商城相切，当公路长最短时，的长为________千米.

三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

（一）必考题：60分．

17．(本小题满分12分) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角B的值；

（2）若△ABC的面积为，设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值．

18．(本小题满分12分) 已知正方形ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，使△ACD为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为.

（1）证明：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上；

（2）求角的正弦值.

19．(本小题满分12分) 如图，已知椭圆的长轴长为4，过椭圆的右焦点为F作斜率为的直线交椭圆于B，C两点，直线的斜率之积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线，直线分别与相交于

两点，设为线段的中点，求证：

20．(本小题满分12分)已知函数．

（1）当时，求函数在区间上的值域；

（2）对于任意，都有，求实数的取值范围.

21. (本小题满分12分) 随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次类推；y表示人数)：

(1)试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；

(2)该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次。若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从到）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值。

附：在线性回归方程中，.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22. (本小题满分10分) [选修4－4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系中，点，直线的参数方程为（t为参数），在以

为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程，直线与曲线C交于A、B两点．

（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）求的值．

23. (本小题满分10分) [选修4－5：不等式选讲]

已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；；

（2）证明：．

2020届衡阳市八中高三第六次月考理科数学

参考答案

考试时量：120分钟       试卷满分：150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中的横线上）

13． __  -2   __．                        14．         ．

15. (1)       ，  (2)         .

16．    __     

三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

（一）必考题：60分．

17．(本小题满分12分) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角B的值；

（2）若△ABC的面积为，设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值．

【详解】(1)由，得，

即，即.

由正弦定理得，因，

所以，则，

所以， 所以，即.

(2)由△ABC的面积为，即，得.

因为D为边AC的中点，所以，所以，

即，

当且仅当时取“=”，所以，即线段BD长的最小值为.

18．(本小题满分12分) 已知正方形ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，使△ACD为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为.

（1）证明：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上；

（2）求角的正弦值.

【详解】(1)证明：过点A作AG⊥平面BCDE，垂足为G，连接GC，GD.

因为△ACD为等边三角形，所以AC=AD，所以点G在CD的垂直平分线上.

又因为EF是CD的垂直平线，所以点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

另证：过点A作AG⊥EF，再证AG⊥CD，从而证得AG⊥平面BCDE，

即点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上

(2) 解：以G为坐标原点，GA所在直线为z轴，GF所在直线为y轴，过点G作平行于DC的直线为x轴建立空间直角坐标系.设正方形ABCD的边长为2a，连接AF，

则AF= a，AE= a，EF=2 a. 

所以

设平面ADE的一个法向量为m=(x，y，z)，则，

取y=1，得m=，又平面DEC的一个法向量n=(0，0，1)

所以，即.

19．(本小题满分12分) 如图，已知椭圆的长轴长为4，过椭圆的右焦点为F作斜率为的直线交椭圆于B，C两点，直线的斜率之积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线，直线分别与相交于两点，设为线段的中点，求证：

【详解】(1)设，

因点B在椭圆上，所以，故

又， 所以，即

因  所以，所以，

所以椭圆的方程为.

(2)设直线BC的方程为，

由，得，

则.

直线的方程为，令，得；

同理；

所以，

即点，又，所以，所以.

20．(本小题满分12分)已知函数．

（1）当时，求函数在区间上的值域；

（2）对于任意，都有，求实数的取值范围.

【详解】(1) 当时，，则

令，则.

当时，

当时，，得，解得

当时，，得，解得

所以在上单调递增，在上单调递减，故

即，在上单调递减，

所以

所以函数在区间上的值域为.

(2)因为，故

可化为

即函数在区间上为增函数，

所以当时，即恒成立.

①当时，；

②当时，，

令，则.

当时，，

当时，，当时，.

所以在上单调递减，故，所以.

综上，实数的取值范围是.

21. (本小题满分12分) 随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次类推；y表示人数)：

(1)试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；

(2)该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次。若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从到）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值。

附：在线性回归方程中，.

(1)  

故  从而

所以所求线性回归方程为，

令，解得.

故预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人

（3）遥控车开始在第0格为必然事件，，第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为,即。遥控车移到第n（）格的情况是下列两种，而且也只有两种。

  ①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为

  ②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为

所以，

  当时，数列是公比为的等比数列                               

以上各式相加，得

 （），  获胜的概率

失败的概率

设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为元，或

X的期望

参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为，约400元.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22. (本小题满分10分) [选修4－4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系中，点，直线的参数方程为（t为参数），在以

为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程，直线与曲线C交于A、B两点．

（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）求的值．

【解析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），

消去参数，可得直线l的普通方程，

曲线C的极坐标方程为，即，

曲线C的直角坐标方程为，

（2）直线的参数方程改写为（t为参数），

代入，

．

23. (本小题满分10分) [选修4－5：不等式选讲]

已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）证明：．

【解析】(1)略解：，

所以不等式的解集为；

(2)证明：因为，所以，当且仅当时取“=”

所以

当且仅当且时取“=”，故得证.