河北省唐山市第一中学2020届高三10月调研考试数学（理）试题 Word版含解析
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2019-2020学年河北省唐山一中高三（上）10月月考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题）
- i是虚数单位，
A. B. C. D.
- 设，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
- 圆截直线所得弦长为2，则实数
A. 2 B. C. 4 D.
- 已知，那么等于
A. B. 8 C. 18 D.
- 求函数零点的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
- 若直线与曲线有两个交点，则k的取值范围是
A. B. C. D.
- 已知函数，则
A. 在单调递增
B. 的最小值为4
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象关于点对称
- 己知椭圆的右焦点为F，过点F作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为
A. B. C. D.
- 已知P是边长为2的正三角形ABC边BC上的动点，则的值
A. 是定值6 B. 最大值为8 C. 最小值为2 D. 与P点位置有关
- 已知函数，若方程有五个不同的实数根，则a的取值范围是
A. B. C. D.
- 若点A的坐标为，F是抛物线的焦点，点M在抛物线上移动时，使取得最小值的M的坐标为
A. B. C. D.
- 已知函数的导函数为，若，，则下列结论正确的是
A. 在单调递减 B. 在单调递增
C. 在上有极小值 D. 在上有极大值
二、填空题（本大题共4小题）
- 已知向量，且，则______．
- 函数是常数，，，的部分图象如图所示，则______．
- 数列满足，，且，则等于______ ．
- 等差数列的前n项和满足，，则数列的前n项和为______．
三、解答题（本大题共6小题）
- 已知函数．
求的定义域与最小正周期；
讨论在区间上的单调性．
- 已知等差数列中，，，，顺次成等比数列．
求数列的通项公式；
记，的前n项和，求．
- 已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，．
Ⅰ若，求cosB；
Ⅱ设，且，求的面积．
- 已知数列满足
证明：是等比数列；
求
- 已知函数．
若是函数的极值点，求a的值及函数的极值；
讨论函数的单调性．
- 已知函数，曲线在点处的切线为．
求a，b的值；
若对任意的，恒成立，求正整数m的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：，
故选：C．
两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．
本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：，
，，
则，，
可得“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．
本题考查充分必要条件的判断，同时考查正弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：圆的标准方程为，
可得圆心坐标为，半径满足，
则圆心到直线的距离为，
由，得，
故选：D．
由已知圆的方程求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，利用垂径定理列式求解．
本题考查直线和圆相交以及弦长公式的应用，求出圆心和半径是解决本题的关键，是基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的含义，是基础题；本题也可以先求函数的解析式，代入求值即可．
考查的形式，把化为的形式，即可．
【解答】
解：，
故选D．
5.【答案】C
【解析】解：，，
在上单调递增，在上单调递减，在上上单调递增，
所以当时，取到极大值，
所以当时，取到极小值，
所以函数零点的个数为3
故选C
通过求导研究函数的单调性和极值与0的大小即可得到答案．
本题考查函数零点个数的判断，注意利用导数判断函数的单调性、极值在判断函数零点个数中的应用．
6.【答案】C
【解析】解：直线，
当时，，可得此直线恒过，
曲线为圆心在坐标原点，半径为2的半圆，
根据题意作出相应的图形，如图所示：
当直线与半圆相切切点在第二象限时，圆心到直线的距离，
，即，
解得：，
当直线过点C时，将，代入直线方程得：，
解得：，
则直线与曲线有2个交点时k的范围为．
故选C．
由直线方程的特点得到此直线恒过，由曲线方程的特点得到曲线为一个半圆，在平面直角坐标系中画出相应的图形，根据直线与半圆有2个交点，取两个特殊情况：当直线与半圆相切，且切点在第二象限时，可得出圆心到直线的距离等于圆的半径，即，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到此时k的值；当直线过点C时，将C的坐标代入直线方程，得到关于k的方程，求出方程的解得到此时k的值，由图象可得出满足题意k的取值范围．
此题考查了直线与圆的位置关系，利用了数形结合的数学思想，直线与圆的位置关系由d与r的大小来判断为圆心到直线的距离，r为圆的半径，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．
7.【答案】D
【解析】解：；
在单调递减，关于对称；
在上单调递减，关于点对称；
故选：D．
可将原函数变成，从而看出是由沿x轴向右平移1个单位，沿y轴向上平移2个单位得出，显然，关于原点对称，从而得出关于对称，从而选D．
考查图象的平移，奇函数的对称性，以及的奇偶性和单调性．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．
由题意画出图形，可得，两边平方后结合a，b，c之间的关系得答案．
【解答】
解：如图，
由题意可得，，则，
即，则，
，即．
故选：D．
9.【答案】A
【解析】解：设
则，
故选：A．
先设，，，然后用和表示出，再由将、代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．
本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起来考查综合题，平时要多注意这方面的练习．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了方程的解与函数图象的交点个数问题及利用导数求切线方程，属中档题．
由方程的解与函数图象的交点问题得：方程有五个不同的实数根等价于的图象与的图象有5个交点，作图可知，只需与曲线在第一象限由两个交点即可，利用导数求切线方程得：设过原点的直线与切于点，得，即，即过原点的直线与相切的直线方程为，即所求a的取值范围为，得解．
【解答】
解：设，则的图象与的图象关于原点对称，
方程有五个不同的实数根等价于函数的图象与的图象有5个交点，
由图可知，只需与曲线在第一象限有两个交点即可，
设过原点的直线与切于点，
由，
则切线方程为，
又此直线过点，
所以，所以，
即，
即过原点的直线与相切的直线方程为，
即所求a的取值范围为．
故选B．
11.【答案】D
【解析】解：由题意得，准线方程为，设点M到准线的距离为，
则由抛物线的定义得，
故当P、A、M三点共线时，取得最小值为．
把代入抛物线得，故点M的坐标是，
故选：D．
求出焦点坐标和准线方程，把转化为，利用当P、A、M三点共线时，取得最小值，
把代入抛物线解得x值，即得M的坐标．
本题考查抛物线的定义和性质得应用，解答的关键利用是抛物线定义，体现了转化的数学思想．
12.【答案】D
【解析】解：，
，
设，则，
由，解得：，，解得：，
时，函数取得最大值，
故选：D．
设，得到，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的极大值，从而求出答案．
本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，构造函数是解题的关键，本题是一道中档题．
13.【答案】
【解析】解：且，
，解得，
故答案为：
由向量共线可得m值，进而可得的坐标，由模长公式可得答案．
本题考查向量的模，涉及向量的共线的条件，属基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，考查了正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于基础题．
由函数的最值求出A，由周期求出，由点在函数图象上可得，，结合范围，可得：，得函数的解析式，即可计算得解的值．
【解答】
解：由函数 的部分图象，
可得，，解得：，解得：．
由点在函数图象上，可得：，，可得，，
又
可得：，
可得函数解析式为，可得．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：，
，
即数列为等差数列，
又，，
首项，
公差，
，
，
故答案为：．
通过可知数列为等差数列，进而计算可得结论．
本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：等差数列的公差设为d，前n项和为，，，
可得，，
解得，，即，
则，
前n项和，
，
相减可得
，
化简可得．
故答案为：．
等差数列的公差设为d，运用等差数列的求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到通项公式，以及，运用数列的错位相减法求和，可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的求和公式，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：．
，即函数的定义域为，
则
，
则函数的周期；
由，，
得，，
即函数的增区间为，，
当时，增区间为，，此时，
由，，
得，，
即函数的减区间为，，
当时，减区间为，，此时，
即在区间上，函数的减区间为，增区间为
【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式，两角和差的余弦公式以及辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．
利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可．
利用三角函数的单调性进行求解即可．
18.【答案】解：设等差数列的公差为d，因为，，，顺次成等比数列，所以，所以，化简得，解得．
所以，所以．
由得，
所以．
【解析】利用等比数列的通项公式列出方程求出数列的公差，然后求解通项公式．
化简通项公式，利用并项求和求解数列的和即可．
本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及数列求和的方法，考查计算能力．
19.【答案】解：，
由正弦定理可得：，
代入可得，
，
，，
由余弦定理可得：．
由可得：，
，且，
，解得．
．
【解析】，由正弦定理可得：，再利用余弦定理即可得出．
利用及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．
本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：证明：由得：，
因为，
所以，从而由，
得，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列；
由得，
所以
．
【解析】运用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；
由等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的分组求和，计算可得所求和．
本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的分组求和，考查运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：，
由已知，
此时，，
当和时， 0'/>，是增函数，
当时，，是减函数，
所以函数在和处分别取得极大值和极小值．
故函数的极大值为，
极小值为
，
当，即时，时，，时， 0'/>，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当，即时，和时， 0'/>，时，，
所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
当，即时，和时， 0'/>，时，，
所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
当，即时，，所以在定义域上单调递增；
综上：当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
当时，在定义域上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
【解析】本题考查函数的极值以及函数的单调性的判断，考查分类讨论思想的应用，是难题．
求出导函数，通过时导函数为0，求出a，然后求解极值点判断导函数的符号，求解函数的极值．
求出导函数，通过a的范围的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性即可．
22.【答案】解：由，得．
曲线在点处的切线为，
所以，，解得，．
由知，则时，恒成立，等价于时，恒成立．
令，，则．
令，则，所以， 0'/>，单调递增．
因为，，所以存在使．
且时，；时， 0'/>，所以，
因为，所以，所以，
所以，即正整数m的最大值为3．
【解析】通过曲线在点处的切线为，转化求解a，b即可．
通过恒成立．令，，则令，则，所以， 0'/>，单调递增．转化求解函数的最值推出结果即可．
本题考查函数的导数的应用，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．
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