2020届河北省武邑中学高三12月月考数学（理）试题

河北武邑中学2019-2020学年上学期高三12月月考

数学（理）试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合,，若，则

   A．   B．     C．  D．

2．已知复数，若是实数，则实数的值为（     ）

3．设,是两条不同的直线，,是两个不同的平面，是下列命题正确的是（     ）

A．若，，则 B．若，，，则

C．若，，，则  D．若，，，则

4．若直线的倾斜角为，则的值为（     ）

A.  B.  C. D.

5．已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确

的是（    ）

A．若，则　B．若，则

C. 若，则　　　　

D．若，，且，则

6、已知，则（    ）

A. B. C. D.

7.函数的单调递减区间是（    ）

A.     B.

C.     D.

8．若，且．则下列结论正确的是 （   ）

A．      B． C．    D．

9．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

10．定义在上的偶函数满足，对且，都有，则有（     ）

A.             B. 

C.              D.

11．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律．现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列，若数列的前n项和为，则（   ）

A．265             B．521             C．1034            D．2059

12．已知奇函数是定义在上的连续可导函数，其导函数是，当时，恒成立，则下列不等关系一定正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．的内角的对边分别为，若，

则__________．

14．已知向量满足，则          ．

15．在平面内，三角形的面积为，周长为，则它的内切圆的半径．在空间中，三棱锥的体积为，表面积为，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径=______________________．

16．已知四边形ABCD为矩形，AB=2AD=4，M为AB的中点，将沿DM折起，得到四棱锥，设的中点为N，在翻折过程中，得到如下三个命题：

①，且的长度为定值；

②三棱锥的体积最大值为；

③在翻折过程中，存在某个位置，使得

其中正确命题的序号为__________．

三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.第17～21题为必考题，

第22、23题为选考题.

（一）必考题：共60分

17.（12分）

设函数

（Ⅰ）求的最小正周期和对称中心；

（Ⅱ）若函数，求函数在区间上的最值．

18.（12分）

设等差数列前项和为，满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求数列的通项公式 …

19．（12分）

如图，菱形的边长为，，与交于点．将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，

点是棱的中点，．

（1）求证：平面⊥平面；

（2）求二面角的余弦值．

20．（12分）

如图，在平面四边形ABCD中， AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°.

(1)若BC＝2，求∠CBD的大小；

(2)设△BCD的面积为S，求S的取值范围．

21．（12分）

已知函数

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]

已知曲线的参数方程为 (为参数)，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）射线：与曲线交于点，射线：与曲线交于点，求的取值范围．

23．[选修4－5：不等式选讲]

已知函数，．
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围．

参考答案

1. C  2. D  3. D  4. D  5. B  6. A  7. B   8. D  9. A   10. D   11. B  12. C 

13．   14．  15.    16. 

三、解答题：

17. 解：（Ⅰ）由已知，有f(x)＝cos x·(sin x＋cos x)－cos2x＋

＝sin x·cos x－cos2x＋＝sin 2x－(1＋cos 2x)+＝sin 2x－cos 2x

＝sin(2x－)．           ……………………………………………4分最小正周期为，对称中心为…………………5分

（Ⅱ）                     …… ……………………6分

在区间上单调递增,在区间上单调递减     .………7分                ………………………8分

<           …………………………10分

                    …………………………12分

18. 解：（1）设等差数列首项为，公差为．

由已知得，解得．

于是．

（2）当时，．

  当时，，

当时上式也成立．

于是．

故．

19.解：（1）证明：是菱形，

,                         ………1分

中，,

又是中点，

                 ………3分

面面   ………5分 

又 平面

平面⊥平面                         ………6分

（2）由题意，,  又由（Ⅰ）知   建立如图所示空间直角坐标系，由条件易知  ……7分

     故  设平面的法向量，则

   即       令，则

     所以，                                  ………9分

     由条件易证平面，故取其法向量为   ………10分

     所以，                    ………11分 

由图知二面角为锐二面角，故其余弦值为     ………12分

20．解：（1）在中，因为，，，

则，所以．(3分)

在中，因为，，，由，

得，则．(5分)

所以．(6分)

（2）设，则．

在中，因为，则．(8分)

所以

．(11分)

因为，则，，所以．

故的取值范围是．(12分)

21.解（1）              ………1分

（ⅰ）时，当时，；当时，

所以f(x)在单调递减，在单调递增；                   ……2分

（ⅱ）时

若，则，所以f(x)在单调递增；……3分

若，则，故当时，，

，；所以f(x)在单调递增，在

单调递减；                                         ………5分

若，则，故当，，

，；所以f(x)在单调递增，在

单调递减；                                        ………6分 

（2）（ⅰ）当a>0,则由（1）知f(x)在单调递减，在单调递增，

又，，取b满足，且，

则，所以f(x)有两个零点；………8分

（ⅱ）当a=0,则，所以f(x)只有一个零点                    ………9分

（ⅲ）当a<0,若,则由（1）知，f(x)在单调递增。又当时，

     故f(x)不存在两个零点，                              ………10分

   ，则由（1）知，f(x)在单调递减，在单调递增

     又当，f(x)<0,故f(x)不存在两个零点。          ………11分

综上，a的取值范围为.                             ………12分

22. 【答案】（1）的极坐标方程为，的直角方程为；（2）.

【详解】（1）由曲线的参数方程(为参数)得：，即曲线的普通方程为，又，

曲线的极坐标方程为，即

曲线的极坐标方程可化为，故曲线的直角方程为

（2）由已知，设点和点的极坐标分别为，，其中

则，

于是，由，得

故的取值范围是.

23.试题解析：

（1）由得，，解得．
所以原不等式的解集为
（2）因为对任意，都有，使得成立
所以，
有，
，所以从而或